25个高数定理证明

1、东南大学东南大学贺传富贺传富高等数学考研辅导高等数学考研辅导 （题型思路与必证定理）（题型思路与必证定理）东南大学东南大学贺传富贺传富一、不等式的证明思路01 1 (0,) (1+)(0,) )0 lim= )xxxexf xf xfxxf xx 、如如果果区区间间上上成成立立的的不不等等式式，一一般般用用单单调调性性证证明明. .如如，当当时时, ,2 2、已已知知条条件件中中导导数数的的阶阶数数是是二二阶阶以以上上，又又知知道道最最 高高阶阶导导数数的的符符号号，一一般般要要用用泰泰勒勒公公式式考考虑虑. .( ( 如如，已已知知 ( (在在内内二二阶阶可可导导, , 且且( (，0. 0

2、. 证证明明：( (东南大学东南大学贺传富贺传富 0,)(1)1xe xex e 3 3、 利利用用最最大大值值，最最小小值值证证明明不不等等式式. .如如， 当当时时，4 4、 常常值值不不等等式式的的证证明明转转化化成成函函数数的的单单调调性性， 或或函函数数不不等等式式. . 如如， 比比较较 ，的的大大小小东南大学东南大学贺传富贺传富二、等式的证明思路xffg01 =+= 、如如果果结结论论是是不不带带导导数数的的等等式式，一一般般用用零零点点定定理理考考虑虑如如，F F（ ）0 02 2、已已知知结结论论中中含含导导数数： （A A）是是一一个个点点的的导导数数，如如 （ ）0 0，

3、用用罗罗尔尔定定理理考考虑虑 （B B）是是二二个个点点的的导导数数，如如 （ ）（ ）0 0，用用两两次次拉拉 格格朗朗日日中中值值定定理理或或一一 次次 拉拉 格格 朗朗 日日 中中 值值 定定 理理， 一一次次柯柯西西中中值值定定理理东南大学东南大学贺传富贺传富abbaf bff afabbaf bf afbaf233 ()( )2( )( )24() ( )( )()( )224 、 如如果果结结论论是是函函数数值值与与某某点点 的的二二阶阶导导数数的的等等式式， 要要用用泰泰勒勒公公式式考考虑虑. . 如如，结结论论是是或或 东南大学东南大学贺传富贺传富三、级数收敛的证明思路11 (

4、)nnnaa 、如如果果涉涉及及的的级级数数的的部部分分和和是是两两项项和和或或差差 一一般般要要用用级级数数的的部部分分和和S S 考考虑虑. . 如如， 2 nnnanaa 2 2、如如果果已已知知级级数数通通项项的的性性质质，如如收收敛敛， 有有界界等等，要要证证明明级级数数收收敛敛，一一般般用用比比较较判判别别法法的的不不等等式式形形式式. . 如如，有有界界收收敛敛 东南大学东南大学贺传富贺传富2nnnaaa 3 3、 如如果果已已知知级级数数的的性性质质，如如收收敛敛等等，要要证证明明 级级数数收收敛敛，一一般般也也用用比比较较判判别别法法，但但是是用用不不等等 式式形形式式居居多

5、多. . 如如，收收敛敛收收敛敛 东南大学东南大学贺传富贺传富1. 1.介值定理的证明介值定理的证明2. 2.可导与可微等价可导与可微等价3. 3.斜渐近线公式的推导斜渐近线公式的推导4. 4.一元函数取得极值的必要条件是什么？给出证明一元函数取得极值的必要条件是什么？给出证明5. 5.三个中值定理的证明三个中值定理的证明四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：东南大学东南大学贺传富贺传富0006.yf xfxfxx设设（ ）满满足足 （ ）=0=0， （ ） 0 0，证证明明 是是极极值值点点 00007.yf xfxfxxf x设设（ ）满满足足 （

6、 ）=0=0， （ ） 0 0，证证明明，（ ）是是拐拐点点8.利利用用级级数数收收敛敛的的定定义义证证明明正正项项级级数数的的比比较较法法9.叙叙述述并并证证明明正正项项级级数数收收敛敛的的比比值值法法东南大学东南大学贺传富贺传富9.绝绝对对收收敛敛级级数数本本身身是是收收敛敛的的10.若若级级数数每每一一项项取取绝绝对对值值后后的的正正项项级级数数用用比比值值法法判判定定是是发发散散的的，证证明明原原级级数数发发散散11.正正项项级级数数收收敛敛的的充充要要条条件件: :部部分分和和有有界界12.交交错错级级数数收收敛敛的的阿阿贝贝尔尔定定理理东南大学东南大学贺传富贺传富2214.oLFF

7、y zy,zxy ,z 设设坐坐标标面面内内的的曲曲线线 的的方方程程为为（）=0=0，求求其其绕绕z z轴轴旋旋转转一一周周所所得得到到的的旋旋转转曲曲面面的的方方程程为为 （+ +）=0=013.二二阶阶欧欧拉拉微微分分方方程程化化为为常常系系数数微微分分方方程程的的推推导导过过程程东南大学东南大学贺传富贺传富LPQ15.DPQPQdDyxyxdxy 设设单单连连通通区区域域 内内，连连续续，且且满满足足，证证明明曲曲线线积积分分在在 内内与与路路径径无无关关东南大学东南大学贺传富贺传富 0016.( ),( )( )()2( )( ) = 0 ( )aaaaf xa af x dxf x

8、fxdxf x dxf xf x 设设在在上上连连续续，证证明明，若若是是偶偶函函数数，若若是是偶偶函函数数东南大学东南大学贺传富贺传富17Ta+TT2Ta0-2.f(x)Ta,f(x)dx =f(x)dx =f(x)dx 设设是是以以 为为周周期期的的连连续续函函数数，证证明明对对 18.D( )(0),0D2( )bay f xfxa bxa xb yyxf x dx 设设 是是由由 = =和和所所围围成成，用用微微元元法法证证明明 绕绕 轴轴旋旋转转所所得得的的旋旋转转体体的的体体积积是是: :东南大学东南大学贺传富贺传富 I=ddI=2200sincos!1 !1 ! 2nnx xx

9、xnnnnnn 1 19 9. .证证明明：（1 1），为为奇奇数数（2 2），为为奇奇数数2bbb22aaa20. f,gf(x)g(x)dxf (x)dxg (x)dx 连连续续，则则东南大学东南大学贺传富贺传富 C,dt0( ),( )( )( )( )xf xaaxaaf xF xf tf x 2 21 1. .，则则，有有奇奇函函数数为为偶偶函函数数偶偶函函数数，为为奇奇函函数数 12babbaaf xabg xababf xdxfbaabf xg xdxfg xdx 2 22 2. .若若（ ）在在，上上连连续续，（ ）在在，上上可可积积且且不不变变号号则则（ ） ，使使得得（ ）（ ）( () )（ ） ，使使得得（ ）（ ）（ ） （ ）东南大学东南大学贺传富贺传富23. 多多元元函函