9.3点到直线的距离

1、9.39.3点到直线的距离点到直线的距离学习目标：学习目标：掌握点到直线的距离公式，并能熟练掌握点到直线的距离公式，并能熟练应用公式解决有关问题。应用公式解决有关问题。通过通过点到直线的距离公式点到直线的距离公式的探究，的探究，发现数学规律，培养数学思维。发现数学规律，培养数学思维。能力目标：能力目标：知识目标知识目标：引例引例1、右图是人行横道、右图是人行横道线。如果从线。如果从A点穿过点穿过马路，怎样走路线最马路，怎样走路线最短？为什么？把最短短？为什么？把最短的路线画出来。的路线画出来。2、要从大街边上把、要从大街边上把自来水管接到小明自来水管接到小明家，怎样接最短？家，怎样接最短？把最

2、短的路线画出把最短的路线画出来。来。B温故知新温故知新点点到直线的距离是指到直线的距离是指:过该点过该点(如图所示点如图所示点P)作直线作直线(图图中中l)的的垂线垂线，点，点P与垂足与垂足Q之间的线段之间的线段PQ长度长度.lPQ 若若 P（3，4），直线），直线 l 的方程为的方程为 x40 ，求求出出 P点到直线点到直线 l的距离的距离.例例P（3，4）xyO342112345lQ巩固巩固练习：练习：1、若若A(3，5),直线直线 l 的方程为的方程为 y=10，求求出出 P点到直线点到直线 l的距离的距离. 已知点已知点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )和直线和直线l:Ax

3、+By+C=0,l:Ax+By+C=0,求点求点P P0 0到直线到直线l l的距离的距离d.d.如图，过点如图，过点P P0 0作作直线直线l l的的垂线，垂足为垂线，垂足为P P1 1(x(x1 1,y,y1 1).).则：则：P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )xylnP P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )do|P|P1 1P P0 0| |即为点即为点P P0 0到直线到直线l l的距离的距离d.d.P1P0=(x0-x1,y0-y1)又因为又因为P1P0与直线与直线l l的一个法向量的一个法向量n=(A,B)平行平行，所以所以 P1P0 ,n =0或或180.xyl

4、nP P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )dP P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )on n, ,P PP Pcoscosn nP PP P0 01 10 01 1n ndn nn nP PP Pd d0 01 1因此：n nn nP PP Pd d0 01 12 22 21 10 01 10 0B BA AB B) )( (A A, ,) )y yy y, ,x x( (x x2 22 21 10 01 10 0B BA Ay y(y(y) )x xA(xA(x)BxylnP P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )dP P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )o2 22 2

5、1 11 10 00 0B BA AByByAxAxByByAxAx)(xylnP P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )dP P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )o0CByAx11所以上一个点，)是直线y,(x由于P111l)By-(AxC11从而得代入上式得)By-(AxC把112 22 20 00 0B BA AC CByByAxAxd d的距离公式的距离公式到直线到直线0 0C CByByAxAx: :) )y y, ,(x(x这就是点P这就是点P0 00 00 0lxylnP P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )dP P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )o一般地

6、，求点一般地，求点 P(x0,y0) 到直线到直线 l:AxByC0 的距离的距离 d 的公式是的公式是点点到直线的距离公到直线的距离公式式2200|BACByAxd（1 1）分子是将）分子是将P P点坐标代入直线方程左端的点坐标代入直线方程左端的绝对值绝对值, ,直线直线方程形式为一般式方程形式为一般式, ,否则否则先整理成一般式先整理成一般式；（2 2）分母是直线方程中）分母是直线方程中x x、y y的系数平方和的的系数平方和的算术平方根算术平方根; ;（3 3）公式对）公式对A=0A=0或或B=0B=0仍然成立仍然成立. .你是你是怎样去理解和记忆这个公式的？怎样去理解和记忆这个公式的？

7、例例1 求点求点 P（1，2）分别到直线）分别到直线 l1：2 xy5，l2： x2 的距离的距离 d1 和和 d2 解：将直线解：将直线 l1，l2 的方程化为一般式的方程化为一般式2 xy50， x20，由点到直线的距离公式，得由点到直线的距离公式，得，512|52) 1(2|221d301|2) 1(1 |222d例题解析例题解析经验交流：求点到直线的距离的步骤：求点到直线的距离的步骤：1、化一般形式、化一般形式2、代入公式、代入公式3、计算求解、计算求解1.1.点点B B（5 5，0 0）到直线）到直线3x+4y-5=03x+4y-5=0的距离的距离是是( ( ) )A.5 B.2 C

8、.3 D.4A.5 B.2 C.3 D.4B BA A综合应用综合应用1、如图，画出两平行线、如图，画出两平行线l1与与l2间的距离间的距离l1l23、PQ的长即为的长即为l1与与l2间的间的距离距离总结：总结：PQ方法：方法：1、在、在l2上任取一点上任取一点P2、过点、过点P做做PQ垂垂直直l1与点与点Q平行线上平行线上任意一点任意一点到另一条直线的距离到另一条直线的距离两平行线间的距离就是：两平行线间的距离就是：解：在解：在直线直线l2 上取上取一点一点 P(2，0) ，则两条，则两条平行平行线之间的线之间的距离距离就是点就是点P(2，0) 到到直线直线l1的的距离距离例例 2 求两条平

9、行直线求两条平行直线 l1：12 x5 y20 和和 l2 ：12 x5 y240 之间的之间的距离距离2512|2212|即：22d例题解析例题解析1.平行线平行线4x3y2=0与与4x3y8=0的距离是的距离是( ) A. 4 B. 5 C. 3 D. 22.平行线平行线2x3y6=0与与4x6y-7=0的的距离距离是是( )13131313A.A.262613135 5B.B.131313132 2C.C.26261313D.D.DB3两平行直线间的距离两平行直线间的距离 1 点到直线的距离的概念；点到直线的距离的概念； 2点到直线的距离公式；点到直线的距离公式；2200|BACByAx

10、d平行线上平行线上任意一点任意一点到另一条直线的距离到另一条直线的距离练习练习9-79-7第第2 2题题(2)(4)(2)(4)题、题、第第4 4题题能力提高能力提高1.1.点点P(2P(2，a)a)为第一象限内的点，且为第一象限内的点，且到直线到直线4x-3y+2=04x-3y+2=0的距离的距离等于等于4 4，则，则a a的的值为值为( )( )A A 4 4 B B 6 C6 C. . 8 8 D D1010D D例例4:求两条平行直线求两条平行直线Ax+By+ C1=0与与Ax+By+C2=0的距离的距离. 故所求距离故所求距离d=22200BACByAx解：在直线解：在直线Ax+By+ C