二次函数知识小结

1、 二次函数知识小结一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 二次函数图像表达式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）顶点式：y=a(x-h)2+k 抛物线的顶点P（h，k）交点式：y=a(x-x)(x-x ) 仅限于与x轴有交点A（x ，0）和 B（x，0）的抛物线注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/

2、2a k=(4ac-b2)/4a x,x=(-b±b2-4ac)/2a图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则

3、抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数= b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。= b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±b24ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）位置关系二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k，y=ax2+bx+c

4、(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴y=ax2 (0，0) x=0y=a(x-h)2 (h，0) x=hy=a(x-h)2+k (h，k) x=hy=ax2+bx+c (-b/2a，4ac-b2/4a) x=-b/2a当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2 +k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y

5、=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便 2抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时

6、开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2/4a) 3抛物线y=ax2+bx+c(a0)，若a>0，当x -b/2a时，y随x的增大而减小；当x -b/2a时，y随x的增大而增大若a<0，当x -b/2a时，y随x的增大而增大；当x -b/2a时，y随x的增大而减小 4抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x-x| 当=0图象与x轴只有一个交点； 当<0图象与x轴没有交点当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0