§1-1 从梯子的倾斜程度谈起(2)锐角三角函数——正弦与余弦

1、九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系1.1.从梯子的倾斜程度谈起从梯子的倾斜程度谈起(2)(2)锐角三角函数锐角三角函数 正弦与余弦正弦与余弦正切函数与余切函数正切函数与余切函数w直角三角形中边与角的关系直角三角形中边与角的关系: :锐角三角锐角三角函数函数回顾与反思回顾与反思w在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的对边与邻边的的对边与邻边的比叫做比叫做AA的的正切正切, ,记作记作tanAtanA, ,即即的邻边的对边AAtanAtanA= =ABCA的对边A的邻边斜边正切函数与余切函数正切函数与余切函数回顾与反思回顾与反思ABCA的对边A的邻边斜边余切的定义余切的定义:

2、 :正切的倒数叫做正切的倒数叫做AA的的余切余切, ,即在即在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的邻边与对边的的邻边与对边的比叫做比叫做AA的的余切余切, ,记作记作cotAcotA, ,即即的对边的邻边AAcotAcotA= =本领大不大 悟心来当家w如图如图, ,我们知道我们知道: :当当RtRtABCABC中中的的一个锐一个锐角角A A确定时确定时, ,它它的对边与邻边的比的对边与邻边的比便便随之随之确定确定. .此时此时, ,其它边之间的比值也确其它边之间的比值也确定定吗吗? ? 想一想想一想P1w结论结论: :w在在RtRtABCABC中中, ,如果如果锐锐角角A A确定时

3、确定时, ,那么那么 A A的的对边与对边与斜斜边边的比的比, ,邻邻边与边与斜斜边边的比的比也也随之随之确定确定. .ABCA的对边A的邻边斜边正弦函数与余弦函数正弦函数与余弦函数w在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的对边与的对边与斜斜边的比边的比叫做叫做AA的的正正弦弦, ,记作记作sinAsinA, ,即即 想一想想一想P2w在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的的邻邻边与边与斜斜边的比边的比叫做叫做AA的的余弦余弦, ,记作记作cosAcosA, ,即即w锐角锐角A A的正弦的正弦, ,余弦余弦, ,正切和正切和余切都叫做余切都叫做AA的的三角函数三角函数.

4、.ABCA的对边A的邻边斜边斜边A的对边sinAsinA= =斜边A的邻边cosAcosA= =生活问题数学化梯子的倾斜程度与梯子的倾斜程度与sinAsinA和和cosAcosA有关有关: :sinAsinA越大越大, ,梯子越陡梯子越陡; ;cosAcosA越小越小, ,梯子越陡梯子越陡. . 想一想想一想P7w如图如图, ,梯子的倾斜梯子的倾斜程度与程度与sinAsinA和和cosAcosA有关吗有关吗? ?例例2 2 如图如图: :在在RtRtABCABC中中,B=90B=900 0,AC=200,AC=200,sinAsinA=0.6.=0.6.求求:BC:BC的长的长. . 例题欣赏

5、例题欣赏P8你能求出你能求出cosA,tanA,sinC,cosCcosA,tanA,sinC,cosC和和tanCtanC的值吗的值吗? ?200ACB?怎样怎样解答解答行家看“门道”已知正弦求边长知识的内在联系求求AB,sinBAB,sinB. . 做一做做一做P8怎样思考？10ABC.1312cosAw如图如图: :在在RtRtABCABC中中,C=90C=900 0,AC=10,AC=10,注意到这里注意到这里cosA=sinBcosA=sinB, ,其其中有没有什么内有的关系中有没有什么内有的关系? ?真知在实践中诞生w1.1.如图如图: :在在等腰等腰ABCABC中中, ,AB=A

6、C=5,AB=AC=5,wBC=6.BC=6.求求: : sinB,cosB,tanBsinB,cosB,tanB. . 随堂练习随堂练习P9咋办?w友情提示友情提示: :过点过点A A作作ADBCADBC于于D.D.556ABCD,:中则在于作过解ABDRtDBCADA. 4, 3, 5ADBDAB易知,54sinABADB,53cosABBDB.34tanBDADB真知在实践中诞生w2.2.在在RtRtABCABC中中,C=90C=900 0,BC=20,BC=20, 求求: :ABCABC的周长和面积的周长和面积. . 随堂练习随堂练习P9咋办?w解解: :在在RtRtABCABC中中,

7、 ,w友情提示友情提示: :分别求出分别求出AB,AC.AB,AC.54sinA2020ABC,20,54sinBCABBCA.5420AB,254205AB.15202522AC.60152025ABCC.15021520ABCS八仙过海,尽显才能w3.3.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的对边和的对边和邻边同时扩大邻边同时扩大100100倍倍, ,sinAsinA的值（的值（ ）wA.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100100倍倍 wC.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定随堂练习随堂练习P9w4.4.已知已知A,BA,B为锐角为锐角w(1)

8、(1)若若A=A=B,B,则则sinAsinA sinBsinB; ;w(2)(2)若若sinsinA=sinBA=sinB, ,则则AA BB. .ABCC=八仙过海八仙过海,尽显才能w5.5.如图如图, , C=90C=90CDABCDAB. .随堂练习随堂练习P6w6.6.在上图中在上图中, ,若若BD=6,CD=12.BD=6,CD=12.求求cosAcosA的值的值. .ACBD sin B 八仙过海,尽显才能w7.7.如图如图, ,根据图根据图(1) (1) 求求AA的四个三角的四个三角函数值函数值. .随堂练习随堂练习P6w友情提示友情提示: :求锐角三角函数时求锐角三角函数时,

9、 ,勾股定勾股定理的运用是很重要的理的运用是很重要的. .ACB34(1), 3, 4,BCACABCRt中在. 5AB,53sinABBCA,54cosABACA,43tanACBCA.34cotBCACA八仙过海,尽显才能w7.7.如图如图, ,根据图根据图(2)(2)求求AA的四个三角函的四个三角函数值数值. .随堂练习随堂练习P6友情提示友情提示求锐角三角函数时求锐角三角函数时, ,勾股定理的勾股定理的运用是很重要的运用是很重要的. ., 3, 4,BCABABCRt中在. 73422AC,43sinABBCA,47cosABACA,77373tanACBCA.37cotBCACAAC

10、B34(2)八仙过海,尽显才能w8.8.在在RtRtABCABC中中, ,C=90C=90, ,如图如图(1)(1)已已知知AC=AC=3 3,AB=,AB=6 6, ,求求sinAsinA和和cosBcosB随堂练习随堂练习P6当再次注意到这里当再次注意到这里sinA=cosBsinA=cosB, ,其中的内其中的内在联系你可否掌握在联系你可否掌握? ?BCA36(1), 3, 6,:ACABABCRt中在解.23633cosABBCB.23633sinABBCA. 333622BC33八仙过海,尽显才能w8.8.在在RtRtABCABC中中, ,C=90C=90, ,如图如图(2),(2)

11、,已已知知BC=3,sinABC=3,sinA= ,= ,求求ACAC和和ABAB. .随堂练习随堂练习P6友情提示友情提示: :求锐角三角函数时求锐角三角函数时, ,勾股定理勾股定理的运用是很重要的的运用是很重要的. .135ACB3(2), 3,135sin,:BCABBCAABCRt中在解.1353AB.5395133AB.53635392222BCABAC八仙过海,尽显才能w10.10.在在RtRtABCABC中中,C=90C=90,AB=15,AB=15,wsinAsinA= ,= ,求求ACAC和和BC.BC.随堂练习随堂练习P653ACB15,15,53sin,:ABABBCA如

12、图解.95153 BC.5315BC.129152222BCABAC9八仙过海,尽显才能w11.11.在等腰在等腰ABCABC中中, ,AB=AC=13,BC=10.AB=AC=13,BC=10.w求求sinB,cosBsinB,cosB. .随堂练习随堂练习P6w友情提示友情提示: :过点过点A A作作ADAD垂直于垂直于BCBC于点于点D.D.w求锐角三角函数时求锐角三角函数时, ,勾股定理的运用是勾股定理的运用是很重要的很重要的. .ACBD,:DBCADA于点作过点如图解.12, 5,ADBDABDRt易知中在.1312sinABADB.135cosABBDB相信自己相信自己w12.

13、12. 在在RtRtABCABC中中,C=90C=90.AC=.AC=2525. .wAB=AB=2727. .求求sinA,cosA,tanA,cotAsinA,cosA,tanA,cotA. .随堂练习随堂练习P6(1)ACB2725 ,25,27,1:ACABABCRt中在如图解,27262sinABBCA,2725cosABACA.262252722BC262,25262tanACBCA.52262526225cotBCACA相信自己相信自己w12. 12. 在在RtRtABCABC中中,C=90C=90.BC=3,.BC=3,wsinAsinA= =0.60.6, ,求求AC AC

14、和和AB.AB.随堂练习随堂练习P6 , 3,536 . 0sin2BCABBCA,533AB, 5AB. 43522AC(2)CB3A5相信自己相信自己w12. 12. 在在RtRtABCABC中中,C=90C=90. .AC=4,cosAAC=4,cosA=0.8,=0.8,求求BC.BC.随堂练习随堂练习P6A(3)CB4 , 4,548 . 0cos3ACABACA,544AB. 34522BC. 5AB5相信自己相信自己w13.13.在梯形在梯形ABCDABCD中中, ,AD/BC,AB=DC=13,AD/BC,AB=DC=13,wAD=8,BC=18.AD=8,BC=18.求求si

15、nB,cosB,tanB,cotBsinB,cosB,tanB,cotB. .随堂练习随堂练习P6w老师提示老师提示: :作梯形的高是梯形的常用辅作梯形的高是梯形的常用辅助助, ,借助它可以转化为直角三角形借助它可以转化为直角三角形. .ADBCFE.,:BCCFBCAE分别作如图解.12, 5,13,AEBEABABERt易知中则在,1312sinABAEB,135cosABBEB,512tanBEAEB.125cotAEBEB回味无穷n回顾,反思,深化小结 拓展1.1.锐角三角函数定义锐角三角函数定义: :驶向胜利的彼岸请思考请思考: :在在RtRtABCABC中中, ,sinAsinA和

16、和cosBcosB有什么关系有什么关系? ? tanAtanA和和cotBcotB有什么关系有什么关系? ?你能写出它们的关系吗你能写出它们的关系吗? ?的对边的邻边AAcotAcotA= =的邻边的对边AAtanAtanA= =ABCA的对边A的邻边斜边斜边A的对边sinAsinA= =斜边A的邻边cosAcosA= =回味无穷n定义中应该注意的几个问题:小结 拓展w 1.1.sinA,cosAsinA,cosA, ,tanA,cotAtanA,cotA是在直角三是在直角三角形中定义的角形中定义的, ,A A是锐角是锐角( (注意数形注意数形结合结合, ,构造直角三角形构造直角三角形). )

17、.w 2.2.sinA,cosA,tanAsinA,cosA,tanA,cotA,cotA是一个完整是一个完整的符号的符号, ,分别表示分别表示A A的正弦的正弦, ,余弦余弦, ,正正切切, ,余切余切( (习惯省去习惯省去“”号号) ). .驶向胜利的彼岸n定义中应该注意的几个问题:小结 拓展3.3.sinA,cosAsinA,cosA, ,tanAtanA,cotA,cotA是一个比值是一个比值. .注意比的顺序注意比的顺序. .且且sinA,cosAsinA,cosA, ,tanAtanA,cotA,cotA均均0,0,无单位无单位w 4.4.sinA,cosAsinA,cosA, ,tanAtanA,cotA,cotA的大小只与的大小只与A A的大小有关的大小有关, ,而与直角三角形的边而与直角三角形的边长无关长无关. .w 5.5