有理函数的不定积分

1、直接积分法直接积分法; 换元积分法换元积分法; 分部积分法分部积分法一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例本节内容本节内容: 一、一、 有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数有理函数:nm 时时,)(xR为假分式为假分式;nm 时时,)(xR为真分式为真分式有理函数有理函数多项式多项式 + 真分式真分式其中部分分式的形式为其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和若干部分分式之和例例1. 将下列真分式分解为部分分式将下列真分

2、式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653) 2(2xxx.)1)(21 (1) 3(2xx解解:(1) 用拼凑法用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx(2) 用赋值法用赋值法6532xxx) 3)(2(3xxx2xA3xB)3)(2()2()3(xxxBxA)2()3(3xBxAxAx得取2故故25x原式36x-5,Bx得取36)1)(21 ()21)()1 (22xxxCBxxA),21)()1 (12xCBxxAAx得取21)1)(21 (12xx xA2121xCB

3、x52B,51C原式原式 =x214512112xx,54,10CAx 得取),(3211CBAx 得取四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为变分子为 2(2)Mxp2pMN 再分项积分再分项积分 因为分母的导数为因为分母的导数为2xp例例2. 求求.)1)(21 (d2xxx解解: 已知已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx

4、21ln52)1 (ln512xCxarctan51例例3. 求求.d3222xxxx解解: 原式原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解: 说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行分虽可行,但不一定简便但不一定简便

5、, 因此要注意根据被因此要注意根据被积函数的结构寻求积函数的结构寻求简便的方法简便的方法. 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC例例6. 求求解解: 原式原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx2)(2121xx)d(1xxxx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0(

6、 x按常规方法较繁按常规方法较繁二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式表示三角函数有理式,xxxRd)cos,(sin令令2tanxt t 的有理函数的积分的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则则例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令令,2tanxt 则则222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (

7、sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21例例8. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明说明: 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时的积分时,xttan往往更方便往往更方便.的有理式的有理式用代换用代换解解: xttan令令原式原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)coss

8、in(cos例例9. 求求)0(d)cossin(12baxxbxa2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令令nbxat,d),(xxRndxcbxa令令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根可通过根 根式代换根式代换化为有理函数的积分化为有理函数的积分. 例如例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令令., 的最小公倍数为nmp例例10. 求求.21d3xx解解: 令令,23xu则则,23 uxuuxd3d2原式原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2(

9、x323x321ln3xC例例11. 求求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数取根指数,6tx 则有则有原式原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令令2, 3 的最小公倍数的最小公倍数 6,例例12. 求求.d11xxxx解解: 令令,1xxt则则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式简单无理函数简单无理函数2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定简便但不一定简便, 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法,简便计算简便计算.思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便如何求下列积分更简便?)0(d. 1662axxa