无穷级数的概念与性质

1、9.19.1 级数的概念与性质级数的概念与性质级数的基本概念级数的基本概念级数的收敛和发散级数的收敛和发散级数的基本性质级数的基本性质收敛的必要条件收敛的必要条件无穷级数的定义无穷级数的定义设有数列设有数列 uun n: u: u1 1 , u, u2 2 , , u, , un n , , nnnuuuu211注：和以前学习的数列区别在于项数。注：和以前学习的数列区别在于项数。称称 为级数的一般项或通项为级数的一般项或通项. .则称表达式则称表达式nu为一个无穷级数为一个无穷级数, , 简称为级数简称为级数. . ., 1数则称该级数为常数项级均为常数的每一项若级数nnnuu . )( ),

2、( :1数项级数为函则称级数函数一个变量的若级数的每一项均为同nnnnxuxuu下列各式均为常数项级数下列各式均为常数项级数; 214121211nnn; 211nnn. cos2cos1coscos1nnn例例这是一个函数项级数通项是nxnxxxxsin.sin.3sin2sinsin例例 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :如果如果ns没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数 1nnu发散发散. .即即 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )是否收敛例：判断级数.21.41211n否有和分析：判断收敛即指是211)21(1 1

3、nnS解：)21(1 2nn上式中nnSlim）（1212limnn2上级数收敛是否收敛例：判断级数.321nnS解：部分和2) 1( nn)(等差数列求和公式2limlim2nnSnnn上级数发散是否收敛例：判断级数.) 1(1.431321211nn规律可循解：上述数列的通项有)111 (limlimnSnnn上级数收敛)111(.)4131()3121()2111(nnSn部分和111) 1(1nnnnan111n1)(关系无穷小与无穷大的互逆是否收敛例：判断级数.1ln.34ln23ln12lnnn化简用公式解：上述数列的通项可BABAlnlnlnnnnnanln) 1ln(1ln)l

4、n) 1(ln(.)3ln4(ln)2ln3(ln) 1ln2(lnnnSn部分和) 1ln(1ln) 1ln(nn) 1ln(limlimnSnnn上级数发散讨论等比级数讨论等比级数的敛散性的敛散性.11nnaq等比级数的部分和为：等比级数的部分和为：nkknaqS11当公比当公比 | r | 1 时,. 1)1 (limlimqqaSnnnn当公比 r =1时,. limlimnaSnnnSn=a, n为奇数0, n为偶数当公比当公比 | r | 1 时时, 等比级数收敛；等比级数收敛；当公比 r = 1时,当公比当公比 | r | 1 时时, 等比级数发散等比级数发散.综上所述: . l

5、im ,不存在故nnS该结论需要记忆，用于判定各种等比数列是否该结论需要记忆，用于判定各种等比数列是否收敛收敛。 1 qaS基本基本性质性质是否收敛例：判断级数113) 1(2nnn两个部分解：上述级数可以分为1113) 1(32nnnnn和;31321的等比数列是公比为nn;313) 1(11的等比数列是公比为nnn上级数收敛)31- (-13131-131和为45然收敛, 且其和不变.对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍性质：性质：在一个级数的前面加上或者去掉有限项后, 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.性质：性质：收敛收敛的必要条件的必要条件. 0lim nnu证明证明sunn 1设设,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss .