北师大数学八年级上册第二章平方根和开平方(基础)

1、平方根和开平方（基础）【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1 .平方根的定义2如果xa,那么x叫做a的平万根.求一个数a的平万根的运算，叫做开平万.a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2 .算术平方根的定义正数a的两个平方根可以用“忖表示，其中J3表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；百表示a的负平方根，读作“负根号a要点诠释：当式子JR有意义时，a一定表示一个非负数，即Va>0,a>0.要点二、平方

2、根和算术平方根的区别与联系1 .区别：（1）定义不同；（2）结果不同：ja和ja2 .联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质aa0a2|a|0a0aa0要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：762500250

3、, /625 25, 7625 2.5, 70.0625 0.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念、下列说法错误的是（A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根2C.4的平方根是4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.因为225=5,所以本说法正确;B.因为土/=±1所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为土442=±J16=±4,所以本说法错误；D.因为J0=0,J0=0,所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题.举一反三：【

4、变式】判断下列各题正误，并将错误改正：(1)9没有平方根.()(2)炳4.()(3)(2)2的平方根是*.()(4)I2是4的算术平方根.()5|25【答案】，；x；，；乂,提示：(2)JT64;(4)2是£的算术平方根.52502、填空：(1) 4是的负平方根.(2) 条表示的算术平方根，J1.(3) 的算术平方根为.(4)若Xx3,则x,若xx3,则x【思路点拨】(3) J1就是上的算术平方根= 8181111 ,此题求的是-的算术平方根99【答案与解析】(1)16 ; (2)【总结升华】要审清楚题意,111；(3)(4) 916 43不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之

5、间的转化举一反三：【变式1】下列说法中正确的有()：3是9的平方根.9的平方根是3.4是8的正的平方根.8是64的负的平方根.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B；提示：是正确的.【变式2】(2015?凉山州)“T的平方根是.【答案】土3.解：因为国=9,9的平方根是土3,所以答案为土3.C3、(2016?古冶区二模)如果一个正数的平方根为2a+1和3a-11，则a=()A.±1B.1C.2D.9【思路点拨】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值.【答案】C.【解析】解：根据题意得：2a+1+3a-11=0解得：a=2.故选C.【总结升华】

6、此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.举一反三：【变式】代数式y=，x3有意义,则x的取值范围是.【答案】x3.类型二、利用平方根解方程4、(2015春?鄂州校级期中)求下列各式中的x值，(1) 169x2=144，一、，一、2一一一(2) (x-2)-36=0.【思路点拨】(1)移项后，根据平方根定义求解；(2)移项后，根据平方根定义求解.【答案与解析】解：(1)169x2=144,2144x=，169_144x-'169'12x=一.13(3) (x-2)2-36=0,(x-2)2=36,-2=36,x2=±6,x=8或x=-4.【总结

7、升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数.类型三、平方根的应用“5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米.求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x,长为3x,由题意得，x3x=1323C23x=1323x21x=21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数【巩固练习】-.选择题1 21 D .638B. 1.69的平方根是土 1.3D. - (13)没有平方根1. （2016?泰州）4的平方根是（）A.±2B.-2C.2D.2,下列各数中没有平方根的是（

8、）2A.3B.0C3.下列说法正确的是（）A.169的平方根是13C.132的平方根是134. 要使代数式2有意义,则范的取值范围是（）A.一二B.上一二C.二D.二5. （2015酊西校级模拟）下列各等式中，正确的是（）。2=-3D-后=±36. 一个数的算术平方根是a,则比这个数大8数是（）2_D. a+82A.a+8Ba4C.a8二.填空题7. 计算：（1）JT2?;（2）7256;（3）8. (2016?广东)9的算术平方根是.11259. 1一的平万根是;0.0001算术平万根是:0的平万根是10. J(4)2的算术平方根是:J所的算术平方根的相反数是.11. (2015春

9、?丹江口市期末)若一个正数的两个平方根是2a-1和-a+2,则a=这个正数是.12. J3表不'3的;v3表不'3的.三.解答题13. 求下列各式中的x.(1) x21431;(2)4x210；(3)4(x2)225.14 .(2015春?福清市期中)福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长.15 .思考题：估计与病最接近的整数.【答案与解析】一.选择题1 .【答案】A;【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数2 .【答案】D;【解析】负数没有平方根.3

10、 .【答案】B;2【解析】169的平万根是13,13的平方根是13.4 .【答案】B;【解析】被开方数为非负数.5 .【答案】A;【解析】解：A、-(3)23,故A正确；=±3,故B错误;被开方数是非负数，故C错误;6.故选：A.【答案】D;【解析】一个数的算术平方根是a,则这个数是a2.填空题7 .【答案】11;16;12;9;3;-.28 .【答案】3;9 .【答案】6；0.01；0.510 .【答案】2;3;(4)2=4,。81=9,此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反11 .【答案】-1,9;【解析】解：依题意得，2aT+(-a+2)=0,解得：a=-1.则这个数是(2a-1)2=(-3)2=9.故答案为：-1,9.12 .【答案】算术平方根；平方根.三.解答题13.【解析】2=221斛：(1)x144x=(3)4x1=, x2