函数性质的综合应用

1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.3.2函数性质的综合应用（1+1练习）问题1.函数单调性的应用1.已知函数，试确定该函数的单调区间 2.试判断函数的单调性3.已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围。4.定义在上的偶函数在区间上是减函数，若，求实数的取值范围。5.已知奇函数在上是减函数，试问：它在上是增函数还是减函数，请证明它。若是偶函数呢？6.已知函数在I上均为增函数，试讨论函数在I上的单调性。7.已知是定义在R上的奇函数，且。试判断函数的单调性。问题2.函数最值的应用1.求下列函数的最值（1）（2）（3）2.讨论函数的最值3.讨论函数的最值问题3.函数奇偶性的应用1.判断函数的奇偶性2

2、.已知函数，若，求的值3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则f(6)的值为( )A.-1 B.0 C.1 D.2问题4.函数性质的综合应用1.函数f(x)=x22ax+a在区间（，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+）上一定( )A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数分析：函数f(x)=x22ax+a的对称轴是直线x=a，由于函数f(x)在开区间（，1）上有最小值，所以直线x=a位于区间（，1）内，即a<1.g(x)=x+-2，下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+）上的单调性.设1<x1<x2，则g(x1)-g(x2

3、)=(x1+2)-(x2+2)=(x1-x2)+()=(x1-x2)(1)=(x1-x2).1<x1<x2，x1-x2<0，x1x2>1>0.又a<1，x1x2>a.x1x2-a>0.g(x1)-g(x2)<0.g(x1)<g(x2).函数g(x)在区间（1，+）上是增函数，函数g (x)在区间（1，+）上没有最值.答案：D2已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1，（1）求证：f(x)是偶函数；（2）

4、求证:f(x)在(0,+)上是增函数；（3）试比较f()与f()的大小.活动：（1）转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f()和f()转化为同一个单调区间上的函数值.解：（1）令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，f(1)=0.令x1=x2=-1，得f(1)=f-1×(-1)=f(-1)+f(-1)，2f(-1)=0.f(-1)=0.f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).f(x)是偶函数.（2

5、）设x2>x1>0，则f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().x2>x1>0，>1.f()>0，即f(x2)-f(x1)>0.f(x2)>f(x1).f(x)在(0,+)上是增函数.（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f()f().由（2）知f(x)在(0,+)上是增函数，则f()>f().f()>f().点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键

6、是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.变式训练已知f(x)是定义在(-,+)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).（1）求f(1)、f(-1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由.分析：（1）利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=1，得f(-1)的值；（2）利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).解：（1）f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1).f(1)=0.令x=y=1时，有f(-1)·(-1)=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).f(1)=0.（2）是奇函数.f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，令y=1,有f(-x) =-f(x)+xf(-1).将f(-