无穷小与无穷大及四则运算

1、宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics &知识目标知识目标 1、理解无穷大与无穷小的概念 2、掌握无穷小的性质&能力目标能力目标 1、会用无穷小计算函数的极限 2、会将无穷小的数学概念与专业问题互译宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 实例实例1在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑丸会变得

2、越来越小，最后樟脑丸的质量将会如何变化？宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 实例实例2v将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个过程中，角的变化趋势如何？ 宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 一、一、 无穷小概念无穷小概念1.无穷小的定义无穷小的定义, 027lim 33xx , 01limxx例例时为无穷小是当函数xx1.327 3时为无穷小是当 xx如果当 （或 ）时，函数f(x)的极限是零，那么

3、称函数f(x)当 （或 ）时为无穷小。0 xx x0 xx x表示常用,宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 例1 判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。0是当3x 时为无穷小是当1x 时不是无穷小1x)3(0)() 1 (xxf00lim3x) 1(1)2(xx11lim1xx宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 简言之，极限为简言之，极限为 0 的量叫做无穷小量。的量叫做无穷小量。.,无无穷穷小小是是变变量量等等同同无无穷穷小小与与很很小小

4、的的数数不不能能 (1) . (2)的变化趋向无穷小必须指明自变量，即若即若 0)(lim 0)(lim 0 xfxfxxx )( 0时的无穷小。时的无穷小。是当是当则则 xxxxf.一一的的常常数数一一的的常常数数零零是是可可作作为为无无穷穷小小的的惟惟 宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 2.无穷小性质无穷小性质（1）有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。）有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。)sin(lim. 10 xxx求例得有性质时无穷小都是及函数解1,0sin:xxyxy0)sin(lim0 xxx)21

5、(lim. 2222nnnnn求例但均为无穷小时当解,2,1,:222nnnnn21)2121(lim2) 1(lim)21(lim2222nnnnnnnnnnn宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics . (2)仍为无穷小有界函数与无穷小的积例例3 求极限求极限.1sinlim0 xxx 解解, 0lim 0 xx因为由性质（由性质（2）. 01sinlim0 xxx , 11sinx而例例4 求极限求极限.sin1lim xxx解解, 01lim xx因为, 1sinx而由性质（由性质（2）. 0sin1lim xxx宁

6、波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 当0 x时，xxx3 ,2都是无穷小，他们的积xxx3 ,2趋向于零的速度。 仍为无穷小，那么它们的商是否也是无穷小呢？并通过列表观察20 lim0,3xxx,3lim20 xxx3232lim0 xxxx10.50.10.013x31.50.30.03x210.250.010.0001例5：宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 3、无穷小的比较、无穷小的比较定义设和是同一变化过程中的两个无穷小， 即lim =0

7、和lim=0() 如果，那么称是的高阶无穷小0lim() 如果，那么称是的低阶无穷小lim() 如果，那么称是的同阶无穷小)0(limcc特别是当c=1时，即当时，则称与是等价无穷小,记作： 1lim宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 1sinlim,3232lim,3lim, 03lim 002020 xxxxxxxxxxxx高阶的无穷小是比 xx32低阶的无穷小是比23xx同阶的无穷小是比 xx32是等价无穷小与xxsin宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mat

8、hematics 宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics ,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用等价无穷小 :第八节 目录 上页 下页 返回 结束 宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 实例实例3小王有本金A元，银行存款的年利率为 r，不考虑个人所得税，按复利计算，小王第一年末的本利和为A(1+r), 第二年末的本利和为A(1+r) 2 ，第n年末的本利和为A(1+r) n ，那么随着存款时间推移

9、，本利和会如何变化？宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 二、无穷大的概念二、无穷大的概念,1)(xxf观察时，当 0 x无限增大无限增大| )(|xf记作记作 )(lim)(0 xfxxx如如 ,1lim 0 xx称称x1是当是当.0时的无穷大时的无穷大 x ,3lim nn称称n3是当是当.时的无穷大时的无穷大 n ,) 1(limxx称称1 x是当是当.时的无穷大时的无穷大 x如果当 （或 ）时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)当 （或 ）时为无穷大。0 xx x0 xx x定义: 宁波职业技术学院

10、数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 注意！注意！ 时时极极限限或或而而是是当当无无穷穷大大不不是是数数 xxx0,1 .2量量的的变变化化趋趋向向无无穷穷大大必必须须指指明明自自变变 ，但但极极限限仍仍然然不不存存在在。为为极极限限 3 简言之简言之 ，极限为，极限为 无穷无穷 的量叫做无穷大量的量叫做无穷大量. , 的数分开因此要把无穷大与很大的函数为宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics , 0)( ,)( xfxf且且为无穷小为无穷小如果如果, )(为为无无

11、穷穷大大如如果果xf; )(1 为无穷小为无穷小则则xf, 程程中中在在自自变变量量的的同同一一变变化化过过三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系. )(1 为无穷大为无穷大则则xf无穷小与无穷大互为无穷小与无穷大互为“倒数倒数”.例例, 0)1(lim1 xx.11lim1 xx宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 训练：训练： 当推出一种新的电子游戏程序时，其销售量与时间的函数关系为 ， 为月份，100200)(2tttst（1）请计算游戏推出后第6个月、第12个月和第三年的 销售量。（2）请对该产品的长期

12、销售做出预测。解：8235. 8136120010066200)6() 1 (2s8361. 924424001001212200)12(2s宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 1576. 51003636200)36(2s（2）随着时间的推移，该产品的长期销售应为时间 时的销售量，即t0100200lim100200lim2tttttt上式说明当时间 时，销售量的极限为0，即购买此游戏的人会越来越少，人们转向购买新的游戏。t宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mat

13、hematics 引例10000coslim20 xxx求10000cos2xx ？0.000000005 0.009900.24919 0 0.01 0.1 0.5 x宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 则设 ,)(lim ,)(lim BxgAxf.)(lim)(lim )()(lim . 1BAxgxfxgxf.)(lim )(lim )()(lim . 2ABxgxfxgxf ),( 为为常常数数ccAxfcxcf )(lim)(lim)1( .)(lim)(limnnxfxf (2)BAxgxfxgxf )(

14、lim )(lim)()(lim . 3)0( B四、极限的四则运算法则四、极限的四则运算法则宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 例例1 求求).23(lim21 xxx解解)23(lim21 xxx2lim3limlim1121 xxxxx2lim3)lim(121 xxxx0231 例例2 求求.41lim23 xxx解解41lim23 xxx)4(lim)1(lim323 xxxx4lim1lim323 xxxx4319 .10 宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advance

15、d Mathematics 例例3 求求.23lim2 xxx解解 因为因为xxx32lim2 ,03lim)2(lim22 xxxx所以所以.23lim2 xxx例例4 求求39lim23 xxx解解 39lim23 xxx3) 3)(3(lim3 xxxx) 3(lim3 xx. 633 宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 000)()(lim 0ABAxgxfxx直接计算)()(lim00)()(lim00 xgxfAxfxgxxxx分解因式分解或分母有理化例例5 求求11lim220 xxx解解 11lim22

16、0 xxx) 11)(11() 11(lim22220 xxxxx) 11(lim20 xx2小结小结:宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 例例6 求求.1332lim22 xxx解解 1332lim22 xxx221332limxxx )13(lim)32(lim22xxxx .32 宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 例例7 求求.32423lim32 xxxxx解解 )324(lim)213(lim3232xxxxxxx 32423lim

17、32 xxxxx. 040 宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 例例8 求求.11lim2 xxxx解解 ,)11(lim)111(lim22xxxxxx 11lim2 xxxx因为因为 , 0)11(lim2 xxx, 0)111(lim2 xxx所以所以 , 011111lim22 xxxxx,11111lim22 xxxxx所以所以 .11lim2 xxxx宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 一般地，有结论一般地，有结论mmmmkkkkm

18、kxaxaxaxabxbxbxbxQxP 11101110)()(lim , 0,00mkmkabmk其中，其中，k、m为非负整数，为非负整数， 都不为都不为0.00,ba 宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 训练训练1 1：tetP5 .02020)( 设一产品的价格满足 （单位：元），请你对该产品的长期价格作一预测 解解 可通过求该产品价格在 时的极限来预测长期价格，因为ttttttteetP5 . 05 . 020lim20lim)2020(lim)(lim20020lim2020lim5 . 0ttte所以该产

19、品的长期价格为20元宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics 训练训练2 2： 100个细菌放在培养器中，其中有足够的食物，但空间有限，对空间的竞争使得细菌总数N与时间t的关系为： 问容器中最多能容下多少细菌？teN1158. 0911000解：求容器中最多能容下多少细菌，即求当 时，N的极限，因为t1000011000911000limlim1158. 0ttteN所以培养器中最多能容下1000个细菌宁波职业技术学院数学教研室宁波职业技术学院数学教研室高等数学高等数学 Advanced Mathematics RRRr10510解：电路的总电阻为可变电阻 这条支路突然断路时，即RR101011010lim1010limRRRRR此时电路的总电阻为10一个10 的电阻器与一个电阻为 的可变电阻并联，请分析当含有可变电阻 这条支路突然断路时，电路的总电阻如何变化？RR训练训练3