空间向量和空间角课时作业25[解析版]

1、1 / 14课时作业课时作业 25空间向量与空间角空间向量与空间角时间：时间：45 分钟分钟分值：分值：100 分分一、选择题一、选择题(每小题每小题 6 分，共分，共 36 分分)1 设直线设直线 l 与平面与平面相交相交， 且且 l 的方向向量为的方向向量为 a， 的法向量为的法向量为 n，若若a，n23，则，则 l 与与所成的角为所成的角为()A.23B.3C.6D.56图图 1解析：解析：如图如图 1 所示，直线所示，直线 l 与平面与平面所成的角所成的角2326.答案：答案：C2三棱锥三棱锥 ABCD 中中，平面平面 ABD 与平面与平面 BCD 的法向量分别的法向量分别为为n1，n

2、2，若，若n1，n23，则二面角，则二面角 ABDC 的大小为的大小为()A.3B.232 / 14C.3或或23D.6或或3图图 2解析：解析：如图如图 2 所示，当二面角所示，当二面角 ABDC 为锐角时，它就等于为锐角时，它就等于n1，n23；当二面角；当二面角 ABDC 为钝角时，它应等于为钝角时，它应等于n1，n2323.答案：答案：C3已知正四棱柱已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，中，AA12AB，E 是是 AA1中点，则异面直线中点，则异面直线 BE 与与 CD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为()A.1010B.15C.3 1010D.35图图 3解析：解析：以以 DA

3、、DC、DD1所在直线分别为所在直线分别为 x 轴，轴，y 轴，轴，z 轴建立轴建立3 / 14空间直角坐标系，如图空间直角坐标系，如图 3，设，设 ABa，则，则 ADa，AA12a.B(a，a,0)，C(0，a,0)，D1(0,0,2a)，E(a,0，a)，BE(0，a，a)，CD1(0，a,2a)，cosBE， CD1BECD1|BE|CD1|a22a22a 5a3 1010.答案：答案：C4 已知三棱柱已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等的侧棱与底面边长都相等， A1在底在底面面 ABC 上的射影为上的射影为 BC 的中点，则异面直线的中点，则异面直线 AB 与与 CC

4、1所成的角的所成的角的余弦值为余弦值为()A.34B.54C.74D.34图图 4解析：解析：设设 BC 的中点为的中点为 O，连接，连接 AO，A1O，则由题意知，则由题意知A1O平面平面 ABC，AOBC，以以 AO，OC，OA1所在直线分别为所在直线分别为 x 轴轴，y 轴轴，z 轴建轴建立空间直角坐标系立空间直角坐标系， 设侧棱长设侧棱长为为 2a， 则则 OA1 AA21AO2 4a23a2a，则则 A( 3a,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)4 / 14所以所以 cosAB， CC1cosAB， AA1ABAA1|AB|AA1| 3a，a，0 3a，0，a 3a 2

5、a 2 3a 2a23a22a2a34.答案：答案：D5在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中中，E、F 分别为分别为 AB、C1D1的中的中点，则点，则 A1B1与平面与平面 A1EF 夹角的正弦值为夹角的正弦值为()A.62B.63C.64D. 2图图 5解析解析：建系如图建系如图 5，设正方体棱长为设正方体棱长为 1，则则 A1(1,0,1)，E(1，12，0)，F(0，12，1)，B1(1,1,1)A1B1(0,1,0)，A1E(0，12，1)，A1F(1，12，0)设平面设平面 A1EF 的一个法向量为的一个法向量为 n(x，y，z)，5 / 14则则nA1E0nA1F0，即，

6、即12yz0 xy20.令令 y2，则，则x1z1.n(1,2,1)，cosn， A1B12663.设设 A1B1与平面与平面 A1EF 的夹角为的夹角为，则则 sincosn， A1B163，即所求线面角的正弦值为，即所求线面角的正弦值为63.答案：答案：B图图 66 如如图图6所示所示， 已知已知点点P为菱为菱形形ABCD外一点外一点， 且且PA面面ABCD，PAADAC，点，点 F 为为 PC 中点，则二面角中点，则二面角 CBFD 的正切值为的正切值为()A.36B.34C.33D.2 336 / 14图图 7解析解析：如图如图 7，连结连结 AC，ACBDO，连结连结 OF，以以 O

7、 为原点为原点，OB，OC，OF 所在直线分别为所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 Oxyz，设，设 PAADAC1，则，则 BD 3，B32，0，0，F0，0，12 ，C0，12，0，D32，0，0，结合图形可知结合图形可知，OC0，12，0且且OC为 面为 面 BOF 的 一 个 法 向 量 ， 由的 一 个 法 向 量 ， 由 BC32，12，0， FB32，0，12 ，可求得面，可求得面 BCF 的一个法向量的一个法向量 n(1，3， 3)cosn， OC217，sinn， OC2 77，tann， OC2 33.答案：答案：D二、填空题二、填空题(每

8、小题每小题 8 分，共分，共 24 分分)7在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中中，E、F 分别为分别为 AB、CC1的中的中点，则异面直线点，则异面直线 EF 与与 A1C1所成角的大小是所成角的大小是_7 / 14图图 8解析：解析：以以 A 为原点建立直角坐标系为原点建立直角坐标系(如图如图 8 所示所示)，设，设 B(2,0,0)，则则 E(1,0,0)，F(2,2,1)，C1(2,2,2)，A1(0,0,2)，EF(1,2,1)，A1C1(2,2,0)，cosEF， A1C1EFA1C1|EF|A1C1| 1，2，1 2，2，0 62 232，EF， A1C130.答案：答案

9、：30图图 98如图如图 9 所示所示，P 是二面角是二面角AB棱上一点棱上一点，分别在分别在，引引射线射线 PM，PN，若若BPMBPN45，MPN60，则二面角则二面角AB大小为大小为_8 / 14图图 10解析：解析：如图如图 10，过，过 M 在在作作 MFAB，过，过 F 在在作作 FNAB 交交PN 于点于点 N，连结，连结 MN.MPBNPB45，PMFPNF.设设 PM1，则：，则：MFNF22，PMPN1，又又MPN60，MNPMPN1，MN2MF2NF2，MFN90.答案：答案：909将正方形将正方形 ABCD 沿对角线沿对角线 BD 折成直二面角折成直二面角，给出下列四个

10、给出下列四个结论结论：ACBD；AB、CD 所成角为所成角为 60；ADC 为等边三角为等边三角形；形；AB 与平面与平面 BCD 所成角为所成角为 60.其中真命题是其中真命题是_(请将请将你认为是真命题的序号都填上你认为是真命题的序号都填上)解析：解析：如图如图 11 将正方形将正方形取取 BD 中点中点 O，连结，连结 AO、CO，易知易知 BD 垂直于平面垂直于平面 AOC，故，故 BDAC；如图如图 11 建立空间坐标系，设正方形边长为建立空间坐标系，设正方形边长为 a，则，则 A(22a,0,0)，B(0， 22a,0)， 故故AB(22a， 22a,0)， C(0,0，22a)，

11、 D(0，22a,0)，9 / 14故故CD(0，22a，22a)，由两向量夹角公式得：，由两向量夹角公式得：cosCD， AB12，故两异面直线所成的角为，故两异面直线所成的角为3；图图 11在直角三角形在直角三角形 AOC 中，由中，由 AOCO22a 解得：解得：AC 2AOa，故三角形，故三角形 ADC 为等边三角形为等边三角形易知易知ABO 即为直线即为直线 AB 与平面与平面 BCD 所成的角，可求得：所成的角，可求得：ABO45，故，故错错答案：答案：三、解答题三、解答题(共共 40 分分)图图 1210 (10 分分)如图如图 12 在长方体在长方体 ABCDA1B1C1D1中

12、中， ADAA11，AB2，点，点 E 是棱是棱 AB 上的动点上的动点(1)若异面直线若异面直线 AD1与与 EC 所成角为所成角为 60， 试确定此时动点试确定此时动点 E 的位的位置；置；10 / 14(2)求三棱锥求三棱锥 CDED1的体积的体积解解：(1)以以 DA 所在直线为所在直线为 x 轴轴，以以 DC 所在直线为所在直线为 y 轴轴，以以 DD1所在直线为所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系轴，建立空间直角坐标系设设 E(1，t,0)(0t2)，则则 A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，D1A(1,0，1)，CE(1，t2,0)，根据数

13、量积的定义及已知得：根据数量积的定义及已知得：10(t2)0 2 1 t2 2cos60，t1，E 的位置是的位置是 AB 中点中点(2)VCDED1VD1DEC131221113.图图 1311(15 分分)(2011课标全国高考课标全国高考)如图如图 13，四棱锥，四棱锥 PABCD 中中，底底面面ABCD为平行四边形为平行四边形， DAB60， AB2AD， PD底底面面ABCD.(1)证明：证明：PABD；(2)若若 PDAD，求二面角，求二面角 APBC 的余弦值的余弦值解：解：(1)证明：因为证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得，由余弦定理得 BD 3AD.从而从而 BD

14、2AD2AB2，故，故 BDAD.又又 PD底面底面 ABCD，可得，可得 BDPD.所以所以 BD平面平面 PAD.故故 PABD.(2)如图如图 14，以，以 D 为坐标原点，设为坐标原点，设 AD 的长为单位长，射线的长为单位长，射线 DA11 / 14为为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz.则则 A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(1，3，0)，P(0,0,1)图图 14AB(1，3，0)，PB(0，3，1)，BC(1,0,0)设平面设平面 PAB 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)，则，则nAB0，nPB0.即即x 3y0，3yz0.因此

15、可取因此可取 n( 3，1， 3)设平面设平面 PBC 的法向量为的法向量为 m，则则mPB0，mBC0.可取可取 m(0，1， 3)cosm，n42 72 77.故二面角故二面角 APBC 的余弦值为的余弦值为2 77.12 / 14图图 1512(15 分分)已知四棱锥已知四棱锥 PABCD 的底面的底面 ABCD 是正方形，是正方形，且且PD底面底面 ABCD，其中，其中 PDADa.(1)求二面角求二面角 APBD 的大小；的大小；(2)在线段在线段 PB 上是否存在一点上是否存在一点 E， 使使 PC平面平面 ADE.若存在若存在， 试试确定确定 E 点的位置；若不存在，请说明理由点

16、的位置；若不存在，请说明理由解：解：(1)方法一：连接方法一：连接 AC，设，设 AC 交交 BD 于点于点 O，图图 16ACBD，ACPD，BDPDD，AC平面平面 PBD，过过 O 点在平面点在平面 PBD 作作 OFPB 于点于点 F，AOPB 且且 OFAOO，PB平面平面 AOF，AF平面平面 AOF，AFPB.则则OFA 是二面角是二面角 APBD 的平面角的平面角13 / 14由已知得由已知得 ABPA，PA 2a，ABa，PB 3a，AFPAABPB63a，sinOFAAOAF32，OFA60，二面角二面角 APBD 的大小为的大小为 60.方法二：建立如图方法二：建立如图

17、17 所示的空间直角坐标系，所示的空间直角坐标系，PDADa且且 ABCD 为正方形，为正方形，图图 17D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，a)，PD(0,0，a)，BD(a，a,0)，PA(a,0，a)，AB(0，a,0)，设平面设平面 PAB 的法向量为的法向量为 m(xm，ym，zm)，则则PAm0ABm0，即，即axmazm0aym0，令令 xm1，则，则 m(1,0,1)设平面设平面 PBD 的法向量的法向量 n(xn，yn，zn)，则则PDn0BDn0，即，即azn0axnayn0，令，令 xn1，14 / 14则则 n(1，1,0)，令令 m，n 的夹角为的夹角为，则则 cosmn|m|n|12 212，