金融工程9-维纳过程与伊藤引理2011

1、Dr. Fan1第第12章章 维纳过程和伊藤引理维纳过程和伊藤引理范范 闽闽金融工程研究中心金融工程研究中心Dr. Fan2 教学目的与要求 掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过程的特点，掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过程的特点，掌握维纳过程的特点和性质，掌握一般维纳过程掌握维纳过程的特点和性质，掌握一般维纳过程的特征以及其漂移率和方差率，维纳过程的均值的特征以及其漂移率和方差率，维纳过程的均值和标准差。掌握和标准差。掌握Ito过程的特征。过程的特征。 Dr. Fan3 教学重点及难点 一、马尔科夫过程与效率市场的关系。一、马尔科夫过程与效率市场的关系。 二、维纳过程、一般维纳过程与此同时二、

2、维纳过程、一般维纳过程与此同时Ito过程的过程的特征，漂移率和方差率，变量的均值与方差。以特征，漂移率和方差率，变量的均值与方差。以及这几种过程的内在联系和变化。及这几种过程的内在联系和变化。 三、三、Ito定理及其运用。定理及其运用。 Dr. Fan4期权的估值期权的估值 欧式期权的到期收益欧式期权的到期收益 Max (STX, 0) ST不确定，所以期权到期的收益也不确定。不确定，所以期权到期的收益也不确定。 期权当期的价值？期权当期的价值？ 风险中性估值风险中性估值 期权当期的价值未来收益折现后的期望值期权当期的价值未来收益折现后的期望值 cE Max (STX, 0) 问题问题 ST的

3、分布是怎样的？的分布是怎样的？ 只有确定只有确定ST的分布才能确定的分布才能确定c的价值的价值Dr. Fan512.1 弱式效率市场假说与马尔可夫过程弱式效率市场假说与马尔可夫过程 效率市场假说效率市场假说 1965年，法玛年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为：提出了著名的效率市场假说。该假说认为： 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；全反应全部信息； 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一

4、个均衡水平，而市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。与新信息相应的价格变动是相互独立的。 效率市场分类效率市场分类 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。超过平均收益率的收益。Dr. Fan6 半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准半强式效率市

5、场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。 强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息因此任何信息(包括包括“内幕信息内幕信息”)对挑选证券都没对挑选证券都没有用处。有用处。 效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对效率

6、市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行了实证分析。结果发现，发达国家的证券此进行了实证分析。结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。市场大体符合弱式效率市场假说。Dr. Fan7 马尔可夫过程马尔可夫过程 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Process)来表述。来表述。 马尔科夫过程马尔科夫过程(Markov process)是一种特殊类型的随机过程。是一种特殊类型的随机过程。 未来的预测只与变量的当前值有关，与变量过去的历史和变量从未来的预测只与变量的当前值有关，与变量过去的历史和变量从过去到现

7、在的演变方式不相关。过去到现在的演变方式不相关。 股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致：相一致： 一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。格记录。 如果弱型市场有效性正确的话，技术分析师可通过分析股价的过如果弱型市场有效性正确的话，技术分析师可通过分析股价的过去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的。去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的。 是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。是市场竞争保

8、证了弱型市场有效性成立。 Dr. Fan812.2 维纳过程维纳过程（ Wiener Process ） 布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述，以发现这种现象的英体中的小粒子运动的描述，以发现这种现象的英国植物学家国植物学家Robert Brown命名。命名。 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener)给给出的，因此布朗运动又称维纳过程出的，因此布朗运动又称维纳过程 股价行为模型通常用布朗运动来描述。股价行为模型通常用布朗运动来描述。 布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。布朗运

9、动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。Dr. Fan9维纳过程（维纳过程（ Wiener Process ） 维纳过程（维纳过程（Wiener Process） 性质一：股票价格的变动是一个正态变量与时间的乘积性质一：股票价格的变动是一个正态变量与时间的乘积 （服从标准正态分布）服从标准正态分布） 性质二：任意两个不重叠时段的股票价格变动相互独立性质二：任意两个不重叠时段的股票价格变动相互独立 从性质一，我们知道从性质一，我们知道z服从正态分布，性质服从正态分布，性质2则隐含则隐含z遵循马尔科夫过程。遵循马尔科夫过程。 维纳过程维纳过程/布朗运动的特征布朗运动的特征 股票价格在任意时段变动的均值

10、都为股票价格在任意时段变动的均值都为0。 股票价格在某一时段变动的方差等于时间的长度股票价格在某一时段变动的方差等于时间的长度tz0),(21zzCorrDr. Fan10程序：维纳过程的模拟程序：维纳过程的模拟 % 假设初始点为假设初始点为0，由标准正态分布产生随机数，由标准正态分布产生随机数300个，这样将个，这样将1个单个单位时间等分为位时间等分为300个等分个等分 rnd=random(norm,0, 1,300,1); %建立初始的零向量，用来放置计算的结果建立初始的零向量，用来放置计算的结果 w=zeros(1,300); for i=1:299 w(i+1)=w(i)+rnd(i

11、+1)*(1/300)0.5; end x=1:1:300; w plot(x,w)1,(0,1)ttttwwtiidNDr. Fan11股票价格的一般变动股票价格的一般变动 一般化的维纳过程一般化的维纳过程 变量本身随着时间的推移会有定量的增长变量本身随着时间的推移会有定量的增长at 除了时间价值之外的变动为布朗运动除了时间价值之外的变动为布朗运动zbtaxDr. Fan1212.3 股票价格的一般变动股票价格的一般变动 股票价格的变动股票价格的变动 股票价格有随时间推移增长的稳定趋势股票价格有随时间推移增长的稳定趋势 股票股票“实际实际”价格变动为布朗运动价格变动为布朗运动zStSS13布

12、朗运动股票价格布朗运动股票价格tWStt14指数布朗运动股票价格指数布朗运动股票价格)exp(tWStt15上证指数上证指数Dr. Fan1612.4 Itos Lemma Itos Lemma 假设存在一个伊腾过程：假设存在一个伊腾过程： 如果如果G是是x和和t的函数，即：的函数，即：G=G(x,t) 那么：那么： 期权及其他衍生证券的价格变动期权及其他衍生证券的价格变动 股票价格服从维纳过程：股票价格服从维纳过程： 那么：那么：ztxbttxax),(),(zbxGtbxGtGaxGG22221zStSSzSSftSSftfSSff222221Dr. Fan17证明：如前述，假设标的资产价

13、格变动过程服从：证明：如前述，假设标的资产价格变动过程服从：其中其中利用泰勒展开，忽略高阶项，利用泰勒展开，忽略高阶项，G(x,t)可以展开为可以展开为tzztxbttxax),(),(),(212121),(2222222txotxtxGxxGttGxxGttGtxGDr. Fan1832200limlim0ttx ta tbt 因此，上式可以改写为因此，上式可以改写为22201lim2tfffftxxtxx 保留保留1阶项，忽略阶项，忽略1阶以上的高阶项阶以上的高阶项Dr. Fan192200322222022limlim lim2 tttxa tbtatbtabtbt 其中（忽略高阶项）

14、：其中（忽略高阶项）：Dr. Fan2022222()()()ExE btbtE因此，可得因此，可得22(0,1),( )(0) ()1NDEE由于则22()Exbt由此得到由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。代入前述公式可得到伊藤引理。Dr. Fan2112.5 股票价格的对数正态特性股票价格的对数正态特性 对数正态分布对数正态分布 股票价格服从维纳过程股票价格服从维纳过程 股票价格的分布为对数正态分布股票价格的分布为对数正态分布 公式公式ttSS),(ttSStTtTSST),)(2(lnln20Dr. Fan22关于对数正态分布关于对数正态分布 定义定义G=lnS，由于：，由于： 所以有

15、：所以有： 即：即： 显然显然G为一个广义维纳过程，其漂移率为常数为一个广义维纳过程，其漂移率为常数 ，波动率为常数波动率为常数 。 因此，因此，lnS的变化服从正态分布，不难知道：的变化服从正态分布，不难知道：0,11222tGSSGSSG，dzdtdG)2(2)2(2222lnln(/2) ,0, TsNSTt tT dzdtSd)2(ln2Dr. Fan23对数正态分布对数正态分布几何布朗运动的深入分析几何布朗运动的深入分析 在很短的时间在很短的时间t t后，后，证券价格比率的变化值证券价格比率的变化值 为：为： 可见，在短时间内，可见，在短时间内， 具有正态分布特征具有正态分布特征 其

16、均值为其均值为 ，标准差为，标准差为 ，方差为，方差为 。 SSttSS (,)SttS tt2t几何布朗运动的深入分析（几何布朗运动的深入分析（2） 但是，在一个较长的时间但是，在一个较长的时间T后，后， 不再具有正态不再具有正态分布的性质：分布的性质： 多期收益率的乘积问题多期收益率的乘积问题 因此，尽管因此，尽管是短期内股票价格百分比收益率的标是短期内股票价格百分比收益率的标准差，但是在任意时间长度准差，但是在任意时间长度T T后，这个收益率的标准后，这个收益率的标准差却不再是差却不再是 。股票价格的年波动率并不是一。股票价格的年波动率并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准差。年内股

17、票价格百分比收益率变化的标准差。SST几何布朗运动的深入分析（几何布朗运动的深入分析（3） 如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用Ito引理来推导证券价格自然对数引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的所遵循的随机过程：随机过程： 这个随机过程的特征：这个随机过程的特征： 普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。 在任意时间长度在任意时间长度T之后，之后，G的变化仍然服从正态分布的变化仍然服从正态分布，均值为，均值为 ，方差为，方差为 。标准差仍然。标准差仍然可以表示为可以表示为 ，和时间长度平方根成正比。，

18、和时间长度平方根成正比。 从自然对数从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个所遵循的这个随机过程可以得到两个结论结论:2()2dGdtdz2(/2)()Tt2()T ttT22 ()(),GTtTt （1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。 令令t时刻时刻G的值为的值为lnS，T时刻时刻G的值为的值为lnST，其中，其中S表示表示t时刻（当前时刻）的证券价格，时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示表示T时刻（将来时时刻（将来时刻）的证券价格，则在刻）的证券价格，则在Tt期间期间G的变化为：的变化为： 这意味着：这意味着： 进一步从正

19、态分布的性质可以得到进一步从正态分布的性质可以得到 也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明分布。这表明ST服从对数正态分布。服从对数正态分布。 这正好与这正好与作为预期收益率的定义相符。作为预期收益率的定义相符。lnlnTSS22lnln ()(),TSSTtTt 22ln ln()(),TSSTtTt()()T tTE SSe222()()var()1T tT tTSS ee（2）股票价格对数收益率服从正态分布股票价格对数收益率

20、服从正态分布 由于由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。因实际上就是连续复利的对数收益率。因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态分普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态分布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比例。例。 将将t与与T之间的连续复利年收益率定义为之间的连续复利年收益率定义为，则，则22t22lnln ()(1e), (n,lt)TTTSSSSSTtTStTt （T- ）， 可得T-由结论结论 几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程几何布朗运动较好地描绘了

21、股票价格的运动过程。Dr. Fan3012.6 随机过程的蒙特卡罗模拟随机过程的蒙特卡罗模拟 有关蒙特卡罗方法的由来有关蒙特卡罗方法的由来 取名于摩纳哥的著名赌城取名于摩纳哥的著名赌城 掷色子是一个随机事件掷色子是一个随机事件 蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法 任何涉及随机采样的数值方法任何涉及随机采样的数值方法 不仅仅用于有关随机的问题不仅仅用于有关随机的问题 估计估计 圆周率圆周率 优化问题优化问题 40年代美国年代美国Los Alamos 实验室的科学家用于核武器的研实验室的科学家用于核武器的研究究 代表人物：冯诺依曼代表人物：冯诺依曼经济和金融中的模拟方法经济和金融中的模拟方法 Monte C

22、arlo 方法方法在计量经济学里，如果我们对某种估计方法在计量经济学里，如果我们对某种估计方法的统计性质不是很了解，而又要用到该种方的统计性质不是很了解，而又要用到该种方法时，可以用法时，可以用Monte Carlo 方法来解决方法来解决.在计量经济学中的例子在计量经济学中的例子:1.对联立方程偏误的定量研究对联立方程偏误的定量研究.2.确定确定Dickey-Fuller 检验的临界值检验的临界值.3.确定在自相关检验中样本大小对检验功效确定在自相关检验中样本大小对检验功效的影响的影响.经济和金融中的模拟方法经济和金融中的模拟方法 Monte Carlo 方法方法在金融中的例子在金融中的例子:

23、1.奇异期权的定价奇异期权的定价.2.确定宏观环境对金融市场的影响确定宏观环境对金融市场的影响.3.风险管理建模风险管理建模: 压力测试，例如，确定最小压力测试，例如，确定最小资本要求资本要求.模拟中的模拟中的“随机数随机数” 进行蒙特卡罗模拟首先要设定数据生成系统。而设进行蒙特卡罗模拟首先要设定数据生成系统。而设定数据生成系统的关键是要产生大量的随机数。例定数据生成系统的关键是要产生大量的随机数。例如模拟样本为如模拟样本为100的随机趋势过程的的随机趋势过程的DF统计量的分统计量的分布，若试验布，若试验1万次，则需要生成万次，则需要生成200万个随机数。万个随机数。 计量经济学中蒙特卡罗模拟

24、和自举模拟所用到的随计量经济学中蒙特卡罗模拟和自举模拟所用到的随机数一般是服从机数一般是服从N(0,1)分布的随机数。分布的随机数。 计算机所生成的随机数并不是计算机所生成的随机数并不是“纯随机数纯随机数”，而是，而是具有某种相同统计性质的随机数，即某种具有某种相同统计性质的随机数，即某种“伪随机伪随机数数”（pseudo-random number）。生成随机数的）。生成随机数的程序称作程序称作“伪随机数生成系统伪随机数生成系统”。实际上计算机不。实际上计算机不可能生成纯随机数。可能生成纯随机数。模拟的计算机实现模拟的计算机实现 蒙特卡罗模拟和自举模拟的实现要通过计算机编蒙特卡罗模拟和自举模

25、拟的实现要通过计算机编程来实现。程来实现。 常用的软件有常用的软件有Mathematica，Gauss，Ox，EViews，Stata等。其原理基本一样。等。其原理基本一样。 若干例子见图。若干例子见图。 图图1 随机游走序列随机游走序列 图图2 带趋势项的随机游走序列带趋势项的随机游走序列-202-202-1-0.500.51-202 图图3 三维图圆环三维图圆环 图图4 空间曲面空间曲面 图图5 投币投币1000次的概率值模拟次的概率值模拟 图图6 生长曲线生长曲线 图图7 二元正态分布二元正态分布 图图8 蒲丰问题蒲丰问题Dr. Fan3712.7 蒙特卡罗模拟的实现蒙特卡罗模拟的实现

26、我们从几个例子来看我们从几个例子来看 例例1：两个：两个I(1)变量相关系数分布的蒙特卡罗模拟变量相关系数分布的蒙特卡罗模拟 未达到未达到N图图11 蒙特卡罗模拟过程示意图蒙特卡罗模拟过程示意图生成生成 xt, yt I(1) 估计相关估计相关系数系数r 分析分析r的的 分布分布 设定循环设定循环次数次数N 设定设定 xt,yt I(1) EViews程序如下：程序如下：workfile corr u 1 500series resultfor !i=1 to 500smpl 1 100series x=nrndseries y=nrndseries xxseries yyscalar sum

27、1=0scalar sum2=0for !counter=1 to 100sum1=sum1+x(!counter)sum2=sum2+y(!counter) xx(!counter)=sum1yy(!counter)=sum2nextscalar r=cor(xx,yy)result(!i)=rnextresult.hist 定义一个非时间序列（定义一个非时间序列（u）工作文件，）工作文件，corr，容量为，容量为500。定义一个空序列定义一个空序列result，用来存储相关系数的计算结果。，用来存储相关系数的计算结果。!i为控制变量，通过一个为控制变量，通过一个for循环语句使计算进行循环

28、语句使计算进行500次。次。把样本范围设置成把样本范围设置成100。生成两个互不相关的白噪声序列生成两个互不相关的白噪声序列x、y，样本容量，样本容量100。定义两个空的序列定义两个空的序列xx和和yy，样本容量也是，样本容量也是100。定义两个标量定义两个标量sum1和和sum2，初始值为，初始值为0。!counter为控制变量，在这个为控制变量，在这个for循环中，分别对序列循环中，分别对序列x和和y进行进行一次累加生成两个一阶单整的序列，将结果分别放到序列一次累加生成两个一阶单整的序列，将结果分别放到序列xx和和yy中。中。累加一次。累加一次。计算序列计算序列xx和和yy的相关系数，并将

29、结果放到标量的相关系数，并将结果放到标量r中。中。将相关系数计算结果放到序列将相关系数计算结果放到序列result中，在这个中，在这个for循环中，这个循环中，这个操作要进行操作要进行500次。次。显示序列显示序列result的直方图以及有关统计量。的直方图以及有关统计量。图图13 两个非相关两个非相关I(1) 序列的相关系数的分布序列的相关系数的分布例例2：DW统计量分布的蒙特卡罗模拟统计量分布的蒙特卡罗模拟 生成生成T=50的相互独立的的相互独立的IN(0,1)序列序列ut 和和vt用用ut 和和vt分别生成两个相互独立的分别生成两个相互独立的I(1)序列序列yt = yt-1 + ut

30、, y0 = 0, xt = xt-1 + vt , x0 = 0,估计模型估计模型yt = 0 + 1xt + wt 并计算残差并计算残差用残差计算用残差计算DW统计量的值统计量的值存储存储2000个个DW值值画画DW频数分布直方图。记录频数分布直方图。记录T=50条件下条件下DW分分布的均值、标准差和第布的均值、标准差和第90、95、99百分位数。百分位数。分别估计分别估计DW均值、标准差和第均值、标准差和第90、95、99百分百分位数值对位数值对(1/T )的响应面函数的响应面函数 例例3（利用模拟方法对欧式期权进行定价）（利用模拟方法对欧式期权进行定价）设股票价格设股票价格St服从风险

31、中性测度下的几何服从风险中性测度下的几何Brown运动：运动：ttttdSrS dtS dB其离散化形式为其离散化形式为1(1)(0,1)(1)iiiiiSr SSBBN根据金融工程理论，设现在股票价格为根据金融工程理论，设现在股票价格为S0，T时时刻到期（单位天），敲定价为刻到期（单位天），敲定价为K的欧式看涨期权的欧式看涨期权的价格为的价格为rTTCeESKMC方案：按照（方案：按照（1）递推产生）递推产生n条风险中性测度下的条风险中性测度下的轨道，提取出轨道，提取出ST (n)；（；（2） 11nirTTiCeSKn42 对一个大众型欧式看涨期权的定价对一个大众型欧式看涨期权的定价. 具体步骤如具体步骤如下下: 确定标的资产的数据产生过程确定标的资产的数据产生过程. 通常假设该过程为具通常假设该过程为具有漂移的随机游走，即要确定漂移和波动参数有漂移的随机游走，即要确定漂移和波动参数. 同时同时要确定行权价格要确定行权价格K 及到期日及到期日T. 产生产生T 个标准正态分布的数据，作为误差项个标准正态分布的数据，作为误差项, ut N(0,1). 构造构造T 个标的资产的观测值个标的资产的观测值.43 记录在时刻记录在时刻 T时标的资产的价格时标的资产的价格S