已知三角函数值求角

1、一、高考要求一、高考要求 会由已知三角函数值求角会由已知三角函数值求角, 并会用符号并会用符号 arcsinx, arccosx, arctanx.根据角根据角 x 的三角函数值求角的三角函数值求角, 通常有以下步骤通常有以下步骤:1.判断角判断角 x 所在的象限所在的象限; 2.根据角根据角 x 所在象限所在象限, 求得求得 0, 2 范围内的角范围内的角;二、重点解析二、重点解析3.用终边相同的角的表达式写出适合条件的角用终边相同的角的表达式写出适合条件的角.三、知识要点三、知识要点 2.在闭区间在闭区间 0, 上上, 符合条件符合条件 cosx=a(- -1a1)的角的角 x, 叫叫做实

2、数做实数 a 的的反余弦反余弦, 记作记作: x=arccosa; 1.在闭区间在闭区间 - - , 上上, 符合条件符合条件 sinx=a(- -1a1)的角的角 x, 叫做实数叫做实数 a 的的反正弦反正弦, 记作记作: x=arcsina;2 2 显然有显然有: sin(arcsina)=a; cos(arccosa)=a(- -1a1); 3.在开区间在开区间 (- - , ) 上上, 符合条件符合条件 tanx=a(a R)的角的角 x, 叫叫做实数做实数 a 的的反正切反正切, 记作记作: x=arctana;2 2 tan(arctana)=a(a R). 1.已知已知 cos(

3、- -4 + )=- - . (1)若若 0 2 , 求角求角 ; (2)若若 - -4 - -3 , 求角求角 ; (3)若若角角 是第三象限角是第三象限角, 求角求角 ; (4)若若 R, 求求角角 .33解解: 由已知由已知 cos =- - , 33对于对于 0, , 有有 =arccos(- - )= - -arccos . 3333(1) 0 2 , = - -arccos 或或 +arccos . 3333满足条件的角有两个满足条件的角有两个: 典型例题典型例题 (2)- -4 - -3 , =- -3 - -arccos . 33满足条件的角只有一个满足条件的角只有一个: (3

4、) 是第三象限的角是第三象限的角, =2k + +arccos (k Z). 33满足条件的角有无穷多个满足条件的角有无穷多个: (4) R, =2k + - -arccos 或或 2k + +arccos (k Z). 3333满足条件的角有无穷多个满足条件的角有无穷多个: 即即 =2k + arccos (k Z). 332cosA=cotA. 2.已知已知 RtABC 的锐角的锐角 A 满足满足 2cos2 =cotA- -cosA+1, 求求 A. 2A解解: 由已知由已知, 2cos2 - -1=cotA- -cosA. 2A A 是是 RtABC 的锐角的锐角, cosA 0. 2

5、= . sinA 112sinA= . 6 A= . 3.已知已知 tan( - - )= , tan =- - , 且且 , (0, ), 求求 2 - - 的值的值.1217解解: 由已知由已知 tan =tan( - - )+ 1217- -12171+ =13= . tan(2 - - )=tan( - - )+ 1213+12131- - =1.tan 0, tan 0, , (0, ), 0 , .2 2 - - - 0, - - - - - . 2 - 2 - - 0. 2 - - =- - .43 由由 tan(2 - - )=1 知知 注注 亦可由亦可由 tan 1 得得 0

6、 .4 02 . 2 - 2 - - 0. 0 x2 , 4.已知已知 sinx+ 3 cosx+a=0 在在 0, 2 上有两相异实数解上有两相异实数解 、 . (1)求实数求实数 a 的取值范围的取值范围; (2)求求 + 的值的值.解解: (1)由已知由已知 a=- -2sin(x+ ). 3 x+ 2 + .3 3 3 -2- -2sin(x+ )2. 3 (2)函数函数 y=- -2sin(x+ ) 的图象在的图象在 0, 2 上有两条对称轴上有两条对称轴:3 直线直线 x= 与直线与直线 x= . 6 67 3 由题设及图象的对称性知由题设及图象的对称性知, , 0, 或或 , ,

7、 2 . 3 当当 , 0, 时时, 3 6 + =2 = ; 3 当当 , , 2 时时, 3 + =2 = . 67 37 3 37 故故 + 的值为的值为 或或 . 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是 (- -2, - - 3 )(- - 3, 2). 又由函数图象知当又由函数图象知当 a= 2 时时, 方程在方程在 0, 2 上只有一解上只有一解; 当当 a=- - 3 时时, 方程在方程在 0, 2 上有三解上有三解 0, , 2 .3 解解: 由由 (1) 得得 5.是否存在锐角是否存在锐角 和和 , 使得使得: (1) +2 = ; (2)tan tan =2- - 3 同时

8、成立同时成立? 若存在若存在, 求出求出 和和 的值的值, 若不存在若不存在, 说明理由说明理由. 232 2 3 + = . tan( + )= = 3 . 2 1- -tan tan 2 tan +tan 2 将将 (2) 代入上式得代入上式得 tan +tan =3- - 3 . 2 tan , tan 是方程是方程 x2- -(3- - 3 )x+2- - 3 =0 的两个根的两个根. 2 解得二根为解得二根为 1 和和 2- - 3 . 为为锐角锐角, 0 , 4 2 tan 1. 2 tan =1. 由由 为锐角知为锐角知, = . 4 = . 6 故存在锐角故存在锐角 = , =

9、 , 使使 (1), (2) 同时成立同时成立. 6 4 6.已知已知 0 x , 求求 sinxcos2x 的最大值及取得最大值时的最大值及取得最大值时 x 的值的值. 解法解法 1 0 x0, cos2x0, y=sinxcos2x0.y 与与 y2 同时取得最大值同时取得最大值. y2=sin2xcos2xcos2x 12( )3 2sin2x+cos2x+cos2x 3= . 274ymax= .2 39此时此时, 2sin2x=cos2x, x=arctan 或或 - -arctan . 2222解法解法 2 令令 t=sinx, 0 x , t (0, 1. 记记 y=sinxco

10、s2x=sinx- -sin3x=t- -t3, 则则 y =1- -3t2. 当当 0t0, 33当当 t1 时时, y 0, 33当当 t= 时时, ymax= , 332 39此时此时, t=sinx= . 33即即 sinxcos2x 的最大值为的最大值为 . 2 39即即 sinxcos2x 的最大值为的最大值为 , 2 39arcsin 或或 - -arcsin . 3333= 2sin2xcos2xcos2x12取最大值时取最大值时, x 的值为的值为: 课后练习课后练习 12 1.若若 cos( cosx)= , x 0, , 求求 x. 解解: x 0, , - - cosx

11、 . 又又 cos( cosx)= , 12 cosx= . 3 cosx= . 13x=arccos , 或或 x=arccos(- - ). 13132.若方程若方程 x2- -2(tan2 +cot2 )x+1=0 有一根是有一根是 2- - 3 , 求求 .解解: 设另一根为设另一根为 x0, 则则 故有故有 tan2 +cot2 - -2=0. (2- - 3 )x0=1, (2- - 3 )+x0=2(tan2 +cot2 ), 即即 tan4 - -2tan2 +1=0. tan2 =1, 即即 tan = 1. 4 =k (k Z). x , 2 , 02 - -x . 解解:

12、 (1)cosx=- - , x 0, , 135x=arccos(- - ) 135= - -arccos . 135(2)cosx= , 45cos(2 - -x)= . 452 - -x=arccos . 45x=2 - -arccos . 45(3)sinx=- - . 1715cos(x- - )=cos( - -x)=sinx=- - . 2 2 17153.用反余弦表示下列各式中的用反余弦表示下列各式中的 x: (1)cosx=- - , x 0, ; (2)cosx= , x , 2 ; (3)sinx=- - , x , .x , , 23 x- -

13、 . 2 2 x- - =arccos(- - )= - -arccos . 2 171517151715x= - -arccos . 23 4.已知已知 0 , 0 , 且且 3sin =sin(2 + ), 4tan =1- -tan2 ,求求 + 的值的值.4 2 2 4 解解: 由已知由已知 tan = = ,122tan 2 1- -tan2 2 3sin =sin(2 + ), 3sin( + )- - =sin( + )+ . 即即 sin( + )cos =2cos( + )sin . tan( + )=2tan =1. 0 , 0 , 4 4 0 + . 2 4 + = .

14、=sin( + )cos +cos( + )sin .3sin( + )cos - -3cos( + )sin 5.设方程设方程 x2+3 3 x+4=0 的两根分别为的两根分别为 x1, x2, 记记 =arctanx1, =arctanx2, 求求 + .解解: 由已知由已知 x1+x2=- -3 3 0, x10, x20 且且 x1=tan , x2=tan . 则则 tan( + )= tan +tan 1- -tan tan x1+x21- -x1x2 = 3 . 又由又由 x10, x20 知知, , (- - , 0), 2 + (- - , 0). 32 + =- - . 解解: 由已知由已知 tan =m, 6.已知直线的斜率为已知直线的斜率为 m, 求直线的倾斜角求直线的倾斜角 . 故当故当 m0 时时, 令令 k=0 得得 =arctanm; 则则 =k +arctanm, k Z. 解法解法1 0, ), 当当 m0 时时, 0, ); 当当 m