应用于连续介质问题

1、 应用于连续介质问题，出现应用于连续介质问题，出现（Finite Element Method）这一名称（）这一名称（Clough， “平面应力分析的有限单平面应力分析的有限单元法元法”, 1960年）年）就是以位移作为基本未知量分析结构内力和变形的就是以位移作为基本未知量分析结构内力和变形的方法，其理论基础是方法，其理论基础是“最小位能原理最小位能原理”。 位移法求解的思路是，根据变形条件、物理条件和平衡关位移法求解的思路是，根据变形条件、物理条件和平衡关系，建立以位移为基本变量的力的平衡方程，解方程得出系，建立以位移为基本变量的力的平衡方程，解方程得出未知位移，进而求出全部的位移和内力。未

2、知位移，进而求出全部的位移和内力。 本章讨论的位移法，是以矩阵运算作为数学工具来处理结本章讨论的位移法，是以矩阵运算作为数学工具来处理结构位移计算的方法，故可成为构位移计算的方法，故可成为。 早期较多地用于桁架、刚架等杆、梁式结构，又称为早期较多地用于桁架、刚架等杆、梁式结构，又称为。矩阵位移法分析包含两个部分：矩阵位移法分析包含两个部分：（1）单元分析）单元分析 将结构分解成为有限个较小的单元，称为离散化。分将结构分解成为有限个较小的单元，称为离散化。分析单元内力和位移之间的关系，建立单元刚度矩阵和刚析单元内力和位移之间的关系，建立单元刚度矩阵和刚度方程（平衡方程）；度方程（平衡方程）；（2

3、）整体分析）整体分析 将各单元集合成整体结构，单元刚度方程集合成结构将各单元集合成整体结构，单元刚度方程集合成结构的刚度方程（总刚度方程），相应地单元刚度矩阵集合的刚度方程（总刚度方程），相应地单元刚度矩阵集合成结构的刚度矩阵（总刚度矩阵），在满足原结构变形成结构的刚度矩阵（总刚度矩阵），在满足原结构变形协调和边界条件的前提下求解原结构的位移和内力。协调和边界条件的前提下求解原结构的位移和内力。结合杆单元进行描述结合杆单元进行描述jiuuu（1）单元分析）单元分析jiFFF结点位移结点位移应变应变jiijijijuulluu1, 11iujuiFjFijijlxijijlx应力应力jiijuu

4、lEE1, 1轴力轴力jiijuulEAAN1, 1结点力结点力iiFNjjFN结点平衡：结点平衡：NFiNFjjiijjiijjiuulEAuulEANFF11111, 11111单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：1111ijelEAK单元刚度方程：单元刚度方程：eeeKF eFeeKxyiLxjEA坐标变换坐标变换jjiijjiivuvuvuvucossin00sincos0000cossin00sincosjjiijjiiVUVUVUVUcossin00sincos0000cossin00sincoseeT eeTFF sincosiiivuucossiniiivuvsincosjjjvuuc

5、ossinjjjvuviujuivjviujuivjvxyiLxjiUjUiUjUiVjVEAiVjV22222222LEAeK杆单元在总体坐标系中：杆单元在总体坐标系中：sin,cos其中：其中：元素在总体坐标下的刚度矩阵元素在总体坐标下的刚度矩阵杆单元在局部坐标系中：杆单元在局部坐标系中：1111LEAeKeeeeTeeeeeeKTKTTKTKTFTF111TKTKeTe（2）整体分析）整体分析根据全结构所有结点的平衡，集合获得总刚度方程：根据全结构所有结点的平衡，集合获得总刚度方程：设全结构有设全结构有N个结点。个结点。结点位移向量列阵：结点位移向量列阵：TN,21结点外载向量列阵：结点

6、外载向量列阵：TNPPPP,21KP K总刚度矩阵，根据单元刚阵集合而成总刚度矩阵，根据单元刚阵集合而成处理边界条件和求解刚度方程：处理边界条件和求解刚度方程：KKKKRR绿色绿色：已知：已知红色红色：未知：未知矩阵分块运算矩阵分块运算RKKRKK)(1KRKKKRKKR)(1待求位移待求位移支反力支反力5.7 位移法结构分析位移法结构分析位移法结构分析的步骤：位移法结构分析的步骤：（1）选定结构总体坐标系，进行结点及元素编号；）选定结构总体坐标系，进行结点及元素编号；（2）按照编号顺序列出结点位移向量列阵及结点力向量列阵；）按照编号顺序列出结点位移向量列阵及结点力向量列阵；（3）建立元素在总

7、体坐标下的刚度矩阵；）建立元素在总体坐标下的刚度矩阵；（4）用集合方法建立总体刚度矩阵；）用集合方法建立总体刚度矩阵；（5）利用给定位移边界条件，求得结点位移；）利用给定位移边界条件，求得结点位移；（6）求出结构的支反力、结点力、内力等。）求出结构的支反力、结点力、内力等。l123l 2lxP3yP3xy例例5-1 用位移法求图示桁架结构的结用位移法求图示桁架结构的结点位移、结构支反力和各杆内力，各点位移、结构支反力和各杆内力，各杆的杆的EA相同，相同， ， 。PPy303xP解：解：（1）选定结构总体坐标系，进行结点及元素）选定结构总体坐标系，进行结点及元素编号；编号；123xy123123

8、312xP3yP3xP1yP1yP2xP23u3v1u1v2v2uTPyxPP11yxPP22yxPP33T11vu22vu33vu（2）按照编号顺序列出结点位移向量列阵）按照编号顺序列出结点位移向量列阵P及结点力向量列阵及结点力向量列阵边界条件：边界条件：02211vuvu载荷条件：载荷条件：PPPyx33, 0 xyiL杆单元杆单元xjiujuiujuivjvEA在局部坐标系中：在局部坐标系中：1111LEAeK22222222LEAeK在总体坐标系中：在总体坐标系中：sin,cos其中：其中：（3）建立单元在总体坐标下的刚度矩阵）建立单元在总体坐标下的刚度矩阵Te11vu22vu1212

9、U12V21V21U121u1v2v2ul123l 2lxP3yP3xyTeF1212VU2121VUxx270杆元杆元12： 2700cos1sinlL 101000001010000021lEAK单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：单元刚度方程：单元刚度方程：2211212112121010000010100000vuvulEAVUVUeeeKFTe33vu22vu杆元杆元23：l123l 2lxP3yP3xyTeF3232VU2323VU32U32V23V23U233u3v2v2ux23，x 01cos0sinlL 000001010000010132lEAK元素刚度矩阵：元素刚度矩阵：元素刚度

10、方程：元素刚度方程：eeeKF3322323223230000010100000101vuvulEAVUVUTe11vu33vu杆元杆元13：TeF1313VU3131VUxx31511u1v33u3v113U13V331U31Vl123l 2lxP3yP3xy31521cos21sinlL2元素刚度方程：元素刚度方程：eeeKF331131311313111111111111111122vuvulEAVUVU元素刚度矩阵：元素刚度矩阵：11111111111111112231lEAK总刚度方程总刚度方程KP lEA022122100012212212211221010102212210101

11、00221221101221221221221002212211v1u2u3u2v3vxP1yP1xP2yP2xP3yP3（4）用集合方法建立总体刚度矩阵）用集合方法建立总体刚度矩阵KP 1v1u2u3u2v3vxP1yP1xP2yP2xP3yP3杆元杆元12：2211212112121010000010100000vuvulEAVUVU1v1u2u2vlEAK2121211212VUVUxP1yP1xP2yP2lEA66K01100000000000111111lEAK32xP1yP1xP2yP2xP3yP3杆元杆元23：2v2u3u3v32322323VUVUxP2yP2xP3yP3lEA

12、66K3322323223230000010100000101vuvulEAVUVU01100000000000111v1u2u3u2v3v11111111lEAK2231xP1yP1xP2yP2xP3yP3杆元杆元13：1v1u3u3v31311313VUVUxP1yP1xP3yP311111111111111111v1u2u3u2v3v331131311313111111111111111122vuvulEAVUVUlEA66K0221221000122122122112210101022122101010022122110122122122122100221221总刚度方程总刚度方程KP

13、 lEA02212210001221221221122101010221221010100221221101221221221221002212211v1u2u3u2v3vxP1yP1xP2yP2xP3yP3（5）求结点位移）求结点位移lEA02212210001221221221122101010221221010100221221101221221221221002212211v1u2u3u2v3vxP1yP1xP2yP2xP3yP3绿色绿色：已知：已知红色红色：未知：未知44A24B22DT24B0000矩阵分块乘法：矩阵分块乘法：33242211vuPPPPyxyxB332233vuP

14、PyxD2211)221 (22111133333333133EAPlPPPPEAlPPEAlPPDvuyxyxyxyx（6）求支反力）求支反力02211000122122122122133242211PPPEAPllEAvuPPPPyxyxB（7）求结点力（杆端力）、轴力）求结点力（杆端力）、轴力0000000010100000101000001010000010100000221121211212lEAvuvulEAVUVU杆轴力：杆轴力：021221221VUN杆元杆元12：1212U12V21V21U00)221 (0000000101000001010000010100000101332232322323PPEA