高中数学选修2-2-2-3知识点

1、高中数学选修 2-2 知识点第一章导数及其应用知识点：一导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数yf (x) 在 xx0 处的瞬时变化率是lim0f ( x0x)f ( x0 ) ，xx我们称它为函数yf (x) 在 x x0 处的导数，记作f ( x0 ) 或 y |x x0 ，即 f (x0 ) = limf ( x0x)f ( x0 )x0x2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像 ,我们可以看出当点 Pn 趋近于 P 时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线 PPn 的斜率是 knf (xn ) f ( x0 ) ，当点 Pn 趋近于 P 时，函数 yf (x) 在

2、 xx0 处的导数就是切线PT 的xnx0斜率 k，即 klimf ( xn ) f ( x0 )( x0 )fx 0xnx03. 导函数：当 x 变化时， f( x)便是 x 的一个函数， 我们称它为f (x) 的导函数 . yf ( x) 的导函数有时也记作 y ,即 f (x) lim f (xx)f ( x)x0x考点：无知识点：二 .导数的计算1根本初等函数的导数公式:1 假设 f ( x)c (c 为常数 )，那么 f (x) 0；2 假设 f (x)x ,那么 f ( x)x 1 ;3 假设 f (x)sin x ,那么 f ( x)cos x4 假设 f (x)cos x,那么

3、 f( x)sin x ;5 假设 f (x)a x ,那么 f (x)ax ln a6 假设 f (x)ex ,那么 f (x) ex7 假设 f (x)log ax ,那么 f( x)1x ln a18 假设 f (x)ln x ,那么 f ( x)x2导数的运算法那么1. f ( x)g(x)f(x)g ( x)2. f ( x)g( x)f( x)g( x)f ( x) g ( x)f ( x)f ( x)g (x)f ( x)g ( x)3. g ( x) g( x) 23复合函数求导yf (u) 和 ug( x) ,称那么 y 可以表示成为x 的函数 ,即 yf ( g( x) 为

4、一个复合函数yf ( g( x)g ( x)考点：导数的求导及运算 1、fxx22xsin，那么 f ' 0 2、假设 f x ex sin x ，那么 f ' x 3. f (x) =ax3+3x 2+2 ， f (1) 4，那么 a=A. 10B. 13C. 16D. 193333 4.过抛物线 y=x 2 上的点 M ( 1 , 1) 的切线的倾斜角是2 4A.30 °B.45°C.60°D.90° 5.如果曲线 y9 x23与 y 2x3在 xx0 处的切线互相垂直，那么 x0 =2三 .导数在研究函数中的应用知识点：1.函数的单

5、调性与导数:一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 ( a, b) 内，如果f ( x)0 ，那么函数yf (x) 在这个区间单调递增；如果 f (x)0 ，那么函数yf (x) 在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数 yf ( x) 的极值的方法是:(1) 如果在 x0 附近的左侧f ( x)0 ,右侧 f ( x)0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 ;(2) 如果在 x0 附近的左侧 f ( x) 0 ,右侧 f ( x) 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 ;4.函数的最大 (小 )值与导数函数极大值与最大值之间

6、的关系.求函数 y f (x)在 a, b 上的最大值与最小值的步骤 1求函数 yf (x) 在 (a, b) 内的极值； 2将函数 yf (x) 的各极值与端点处的函数值f ( a) ， f (b) 比拟， 其中最大的是一个最大值，最小的是最小值 .四 .生活中的优化问题利用导数的知识,求函数的最大 (小 )值 ,从而解决实际问题考点： 1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用一、题型一：导数在切线方程中的运用 1. 曲线 yx3 在 P 点处的切线斜率为k, 假设 k=3，那么 P 点为A. 2， 8B. 1， 1或 1，

7、111C. 2， 8D. 2， 8 2. 曲线 y1 x 3x25 ，过其上横坐标为1 的点作曲线的切线，那么切线的倾斜角为33A. 6B.4C.3D.4二、题型二：导数在单调性中的运用 1.(05 广东卷 ) 函数 f (x)x33x21是减函数的区间为 ()A. (2,)B.(, 2)C.(,0)D.(0,2) 2关于函数 f (x)2x36x27 ，以下说法不正确的选项是A在区间， 0内， f ( x) 为增函数 B 在区间 0，2内， f ( x)为减函数C在区间 2，内， f ( x) 为增函数 D 在区间， 0(2,) 内,f ( x) 为增函数 3 (05 江西 ) 函数y xf

8、 (x) 的图象如右图所示( 其中 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数 ) ，下面四个图象中y f ( x) 的图象大致是y1x-2-1O 1 2-1yy4yy242x1221x1O-2O-2-112-112-2-1 O1x-2O2x-2-2-2-1ABCD 4、 2021 年山东 21本小题总分值12 分函数 f ( x)1nxax1a1(aR).x当 a1时，求曲线 yf (x)在点(2, f (2)处的切线方程；当 a 1时，讨论 f ( x) 的单调性2三、导数在最值、极值中的运用： 1. 05 全国卷函数f ( x)x 3ax 23x9 ， f (x) 在 x3

9、时取得极值，那么a =A2B. 3C. 4D.5 2函数 y2x 33x212x5 在 0,3上的最大值与最小值分别是A.5,-15 B.5,4C.-4,-15 D.5,-16 3. 根据 04 年天津卷文21 改编函数f ( x)ax3cxd(a0) 是 R上的奇函数，当x 1 时 f ( x) 取得极值 2. 1试求 a、 c、 d 的值； 2求 f (x) 的单调区间和极大值； 4. 根据山东2021 年文 21 改编设函数f (x)x 2ex 1ax 3bx 2， x2和x1为 f (x) 的极值点。（ 1求 a, b的值；（ 2讨论 f (x) 的单调性；第二章推理与证明知识点：1、

10、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理, 称为归纳推理( 简称归纳 ).简言之 , 归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些一样的性质；从的一样性质中推出一个明确表述的一般命题猜测；证明视题目要求，可有可无.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简称类比 简言之， 类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜测；检验猜测。3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，

11、经过观察、分析、比拟、联想，再进展归纳、类比，然后提出猜测的推理 .归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“符合情理的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理简言之， 演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式“三段论，包括大前提 - 的一般原理；小前提 - 所研究的特殊情况；结论 - 据一般原理，对特殊情况做出的判断5、直接证明与间接证明综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 .要点： 顺推证法；由因导果.分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最

12、后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件条件、定理、定义、公理等为止.要点： 逆推证法；执果索因.反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立 .的证明方法 . 它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1) 反设假设命题的结论不成立；(2) 推理根据假设进展推理 , 直到导出矛盾为止；(3) 归谬断言假设不成立；(4) 结论肯定原命题的结论成立 .6、数学归纳法n 的命题 的一种方法 .数学归纳法是 证明关于正整数用数学归纳法证明命题的步骤;N * ) 时命题成立； 1归纳奠基证明当n 取第一个值 n0 ( n0

13、 2归纳递推假设 nk(k n 0 ,k N * ) 时命题成立，推证当n k 1时命题也成立 .只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0 开场的所有正整数n 都成立 .考点：无第三章数系的扩大与复数的引入知识点：一 :复数的概念(1)复数 :形如 abi (aR, bR) 的数叫做复数， a 和 b 分别叫它的实部和虚部 .(2)分类 :复数 abi (aR, bR) 中 ,当 b 0 ,就是实数 ; b 0 ,叫做虚数 ;当 a 0, b0 时,叫做纯虚数 .(3) 复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数 :当两个复数实部相等 ,虚部互为相反数时

14、 ,这两个复数互为共轭复数 .(5) 复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的局部叫做虚轴。(6) 两个实数可以比拟大小，但两个复数如果不全是实数就不能比拟大小。2相关公式 abicdiab, 且 cd abi0a b0 zabia2b2 z a biz， z 指两复数实部一样，虚部互为相反数互为共轭复数.3复数运算复数加减法：abicdiacbd i ；复数的乘法：abicdiacbdbcadi ；复数的除法：abiabicdicdicdicdiacbdbcadiacbdbcadic2d2c2d2c2d2类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的 分

15、母实数化 4.常见的运算规律(1) zz ;(2) zz2a, zz2bi;(3) z z2z2a2b2 ;(4) zz;(5) zzzRz(6) i 4 n 1i ,i 4n21,i 4n3i, i 4 n41;i;(8) 1ii , 1i1i2(7)12i,ii1i1i2(9)设123i 是 1 的立方虚根，那么120，3n 1,3n 2, 3n 31考点：复数的运算1 假设z cosi sini2的值可能是山东理科为虚数单位，那么1zA BCD6432山东文科1复数 43i 的实部是1+2iA2B2C3D4山东理科2设 z 的共轭复数是z ，假设 z+ z =4, z· z 8

16、，那么 z 等于7、公式： m mAmnmn(n(n 1) 1) (n(n mm1)1)m mn!n!A nC nm mC nC nm!C nm!( nm)!Amm!m!(nm)!AmC mnC n mn ;Cm 1mmnC nC n 1zn0 n1 n 12 n 2 2r n r rn n A iB -i(C) ±1(D) ± i8、二项式定理： (a b)C na C n a bC n abC n abC n b展开9、式二的项式通通项项公式 ： Tr 1 C nr an r br( r 0， 1 n)考点： 1、排列组合的运用2、二项式定理的应用 1我省高中学校自实施

17、素质教育以来，学生社团得到迅猛开展。某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社 、“舞者轮滑俱乐部 、“篮球之家 、“围棋苑四个社团。假设每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑 ，那么不同的参加方法的种数为A 72B108C 180D 216高中数学选修 2 3 知识点 2在 (x1 )24 的展开式中 ,x 的幂的指数是整数的项共有3 x第一章 计数原理m1A mnAmm C m n1 AmnmAm n1A3项B4 项C5 项D6 项知识点：An 3现有 12 件商品摆放在货架上，摆成上层4 件下层8 件，现要从下层8 件中取2 件调

18、整到上层，假设其他商1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类方法，在第一类方法中有M 1 种不同的方法，在第二类方法中品的相对顺序不变，那么不同调整方法的种数是有 M 2 种不同的方法， ，在第 N 类方法中有 M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+ +MN 种不A 420B 560C 840D 20210同的方法。 4把编号为 1， 2， 3， 4 的四封电子邮件分别发送到编号为1， 2， 3， 4 的四个网址，那么至多有一封邮件的编2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有 m1 种不同的方法，做第二步有M 2 不号与网址的编号一样的

19、概率为1 )8 的展开式中 x2 的系数为同的方法， ，做第 N 步有 M N 不同的方法 . 那么完成这件事共有N=M 1M2 .M N 种不同的方法。 5 ( x3、排列 ：从 n 个不同的元素中任取m(m n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元xA -56B56C -336D 336素的一个排列第二章 随机变量及其分布4、排列数 ：从 n 个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列， 称为从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 . 从知识点：n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号Anm 表示。1、随机变量 ：如果随机试验可能出现的结果可以用

20、一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用大写字母X、 Y 等或希腊字母 、 等表示。n!2、离散型随机变量： 在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一Amn(n1)(nm1)( m n, n, m N )列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量(nm)!3、离散型随机变量的分布列：一般的 ,设离散型随机变量X 可能取的值为 x1,x2,. ,xi,.,xnX 取每一个值xi(i=1,2,. 的概率 P(=x i Pi，那么称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列5、公式：，AnmnAnm114

21、、分布列性质 pi 0, i =1 ，2， ； p1 + p2 +pn= 1 6、组合 ：从 n 个不同的元素中任取m( mn) 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合。5、二项分布： 如果随机变量X 的分布列为：期望两点分布E=p超几何分布E n M服从参数为 N , M , n的超几何分布N二项分布， B n,p E=np方差D=pq，q=1-pD X =np 1-p * N-n / N-1 不要求D=qE =npq，q=1-p12、数学期望： 一般地，假设离散型随机变量的概率分布为那么称 E x1p1 x2p2 xnpn 为 的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称

22、为期望是离散型随机变量。13、两点分布数学期望： E(X)=np14、超几何分布数学期望： E X = n M .N15、方差 :D( )=(x 1-E )2· P1+ x2-E )2· P2 +.+ xn-E )2· Pn 叫随机变量 的均方差，简称方差。16、集中分布的期望与方差一览：1几何分布， p( =k)=g(k ，p)Dq17.正态分布：pp2假设概率密度曲线就是或近似地是函数1( x) 2f ( x )22, x(,)e2的图像，其中解析式中的实数、 0) 是参数，分别表示总体的平均数与标准差其中 0<p<1， q=1-p ，那么称离散型

23、随机变量X 服从参数p 的二点分布6、超几何分布：一般地 , 设总数为 N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n N) 件 ,这 n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，knk那么它取值为 k 时的概率为 P( X k )CM CNM(k 0,1,2, m) ，CNn其中 m minM ,n ,且 n N, M N,n, M , NN*7、条件概率 ：对任意事件 A 和事件 B，在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做条件概率 .记作 P(B|A) ，读作 A 发生的条件下 B 的概率8、公式 ：P(B | A)P(AB) , P( A) 0.P(A)9、

24、相互独立事件 ：事件 A( 或 B) 是否发生对事件B( 或 A) 发生的概率没有影响 ,这样的两个事件叫做相互独立事件。P( A B) P( A) P(B)10、n 次独立重复事件：在同等条件下进展的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布 ： 设在 n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数， A 发生次数 是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件 A 不发生的概率为q=1-p，那么在 n 次独立重复试验中P(k) Cnk pk qn k 其中 k=0,1, ,n， q=1-p 于是可得随机变量 的概率分布如下：这样的随机变量 服从二项分布，记作 B(n， p) ，其中

25、n， p 为参数那么其分布叫正态分布记作： N (,) ， f( x ) 的图象称为正态曲线。18.根本性质：曲线在 x 轴的上方，与x 轴不相交曲线关于直线 x= 对称，且在 x=时位于最高点 .当时 x，曲线上升；当时x，曲线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近当 一定时， 曲线的形状由确定越大，曲线越 “矮胖，表示总体的分布越分散；越小，曲线越 “瘦高，表示总体的分布越集中当 一样时 ,正态分布曲线的位置由期望值 来决定 .正态曲线下的总面积等于1.19. 3原那么：从上表看到 ,正态总体在 (2 ,2 ) 以外取值的概率只有 4.6%,在 (3 ,3) 以外取值的概率xy1yx( xx )( yy)SP其中 bn只有 0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说 ,通常认为这些情况在一次试验中几乎1 ( x2,a y bxx22 )(x x)SSx是不可能发生的 .n考点： 1、概率的求解考点：无2、期望的求解3、正态分布概念 1 ( 本小题总分值 12 分 ) 某项考试按科目 A 、科目 B 依次进展，只有当科目A 成绩合格时，才可以继续参加科目 B 的考试。每个科目只允许有一次补考时机，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项