2019-2020学年新人教A版必修一对勾函数解决恒成立和实根分布问题教案

1、对勾函数解决恒成立和实根分布问题对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f xaxbx当 a,b 同号时，fxaxb 的图象是由直线yax 与双曲线 yb 构成，形状酷似双勾。故称xx“对勾函数 ，也称“耐克函数 。耐克函数的顶点：b ,2 ab和b ,2 ab耐克函数性质探讨aa有如下几种情况： (1) a0, b0(2) a 0,b0(3) a0,b0(4) a 0,b 0设 yax ，y2b，那么yy1y2axb，其定义域为x | x R,且 x01xx(1) a0, b0 时， y1ax ， y2b 在 (,0), (0,) 上分别单调递增。xb 在 (故 yy1y2ax,0),

2、 (0,) 为单调递增函数。x(2) a0, b0 时， y1ax ， y2b 在 (,0), (0,) 上分别单调递减。xb 在 (故 yy1y2ax,0), (0,) 为单调递减函数(3) a0, b0x1 当 x0 时， y1ax0 ， y2b0 yaxbbx2ab 。当且仅当，即 x取等号。xa2 当 x0 时yax0 ， yb0 y2ab ，当且仅当 axbb 取等号。，即x12xxa4 a0, b01 当 x0 时， y1 ax0， y2b0 y2ab 。当且仅当 axb ，即 xb 取等号。xxa2 当 x0 时y1ax0 ， y2b0 yaxbbx2ab ，当且仅当，即 x取等

3、号。1xa例 1假设x>1.求 fxxx的最小值111解： fxx11213 当 x1，即 x2 时等号成立。x 1x22x2 的最小值x 1例2.假设x>1. 求 fxx1解 ： 将 y f x向 左 平 移 一 个 单 位 ， 得 到 的 新 函 数 yf x 1的值域与原函数是相等的，故2111fx1x 12 x 1 2 x2xx 0,当 x1 时等号成立。xxx，即 x4x1.函数 y23x的最大值为。xx 22x22、假设 4x 1，那么 y。2x的最值是923.函数 y4x0x1 的最小值是。x10104.函数 yx2x7 的最小值为 _；函数 yx2 x 7的最大值为

4、 _。xxx 25. 1假设x>0.求 y3x22假设 x>1. 求 yx1的最小值x1的最小值x116 xx 1 的最值。6.求函数 f xxx2x1秒杀秘籍：耐克函数与二次函数之间的相互转换问题在二次函数中，涉及一些恒成立和是根分布的问题可以通过两边同除以x ，利用别离变量的方法得到axbk 或者 axmbxxk 在区间的最值问题，耐克函数中涉及参数的取值范围也可以转化为二m次函数来解决。关键词：参数的次数必须为一次。例 3.函数 fxlgxa，假设对任意x2,恒有fx0 ，试确定 a 的取值范围。2x解：根据题意得：xa2 1在 x2,上恒成立，即：ax23x 在 x2,上恒

5、成立，x2设 fxx23x ，那么 fxx39当 x 2 时， fx max2 所以 a224例 4.函数 f ( x)x2ax1 0 对于一切 x(0,1 成立，求 a 的取值范围。0, 1210, 1 上恒成立，解：根据题意得：x21ax 在 x上恒成立，即： xa 在 x2x2设 gxx1，那么 gx2当 x1 时，gx2，但 x0, 1所以 gx ming 15 ，a5x2222例 5. f (x)x 2ax3a ，假设 x2,2, f (x)0 恒成立，求 a 的取值范围 .解：根据题意得：x23a 1x 在 x2,2上恒成立，即：x123ax 在 x3,1上恒成立，x4a 1x027a 1x0即x7a2 。42a 0x3xa 0x32x例 6.方程 x2ax40 在区间0,1内有解，求 a 的取值范围。解：根据题意得：x