现代控制理论_东北大学_第二章_控制系统的状态空间描述

1、2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述第二章第二章 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述 2.1 2.1 基本概念基本概念2 2.2 .2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立2.3 2.3 传递函数传递函数( (矩阵矩阵) ) 2.4 2.4 组合系统组合系统 2.5 (2.5 (非奇异非奇异) )线性变换线性变换2.6 2.6 离散时间系统状态空间表达式离散时间系统状态空间表达式2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2.1 2.1 基本概念基本概念2.1.1 2.1.1 定义定义(1)(1)状态：状态：系统过去、现在和将来的状况系统过去、现在和将来的状况(2

2、)(2)状态变量：状态变量： 能够完全表征系统运动状态的能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：最小一组变量： 00( ). t tx tx ta表示系统表示系统 时刻的状态时刻的状态 0t. b0tt tu0tt 当当时的输入时的输入给定，且上述给定，且上述时的行为时的行为 状态确定时，状态变量能完全确定系统状态确定时，状态变量能完全确定系统初始初始在在2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述(5)(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微分方程（组）：的、一阶微分方程（组）：( )( )( )x tAx tBu t 11, , ,. n

3、TnxtL xtx txtL xt作为分量的向量，即作为分量的向量，即(3) (3) 状态向量：以系统的状态向量：以系统的 个独立状态变量个独立状态变量n为为 1,nxtxt (4) (4) 状态空间状态空间: : 以状态变量以状态变量 n维空间维空间。标轴构成的标轴构成的坐坐2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述( )( )( )y tCx tDu t输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：系的数学表达式：(6)(6)(7)(7)状态空间表达式：状态空间表达式： (5)+ (6). (5)+ (6).状态变量的特点：状态变量的

4、特点：(1)(1)独立性：状态变量之间线性独立独立性：状态变量之间线性独立. . (2) (2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案际上存在无穷多种方案. .(3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异变换变换. .2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述(4)(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量. .(5(5) )抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义. .2.1.2 2.1.2 状态空间表达式的一般形式：状

5、态空间表达式的一般形式：(1)(1)线性系统线性系统 x tA t x tB t u t y tC t x tD t u t,nxR,puRqyR2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述 其中，其中，A A为系统矩阵，为系统矩阵，B B为控制矩阵，为控制矩阵，C C为输出为输出矩阵，矩阵，D D为直接传递矩阵。为直接传递矩阵。(2)(2)非线性系统非线性系统, ,xf x u t, ,yg x u t2.1.3 2.1.3 状态空间表达式的状态变量图状态空间表达式的状态变量图2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述绘制步骤绘制步骤：（：（1 1）绘制积分器绘制积分器 （2 2）

6、画出加法器和放大器画出加法器和放大器 （3 3）用线连接各元件，并用箭头用线连接各元件，并用箭头 示出信号传递的方向。示出信号传递的方向。例例2.1.1 2.1.1 设一阶系统状态方程为设一阶系统状态方程为xaxbu则其状态图为则其状态图为2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述1223312313632xxxxxxxxuyxx 例例2.1.2 2.1.2 设三阶系统状态空间表达式为设三阶系统状态空间表达式为2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述则其状态图为则其状态图为2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2 2.2 .2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立2

7、.2.1.2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：由物理机理直接建立状态空间表达式：例例2.2.1 2.2.1 系统如图所示系统如图所示12, ,LCxixu选择状态变量：选择状态变量：2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2CLCdudiLuCRudtdt11()CLLdudiiuLCdtRdt整理得：整理得：1 211212()CLLudiiRRRudtL L RRL RR 112121CLcduRiudtC RRC RR2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述状态方程为：状态方程为：11212112121()CudxRRRxxdtL RRRR LL21121212

8、1dxRxxdtC RRC RR输出方程为：输出方程为：2Cyux2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述 写成矩阵形式写成矩阵形式1211112122212121110()()R RRxxL RRL RRLuRxxC RRC RR1201xyx2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述例例2.2.2 2.2.2 系统如图系统如图uLRJRfuf2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述 RLLReuuuudidi RLCdtdt机22 mddC iJfdtdt123, , xxxi取状态变量取状态变量: :2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述得：得：12223

9、3231;mexxfCxxxJJCRxxxuLLL 系统输出方程为：系统输出方程为：1yx2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述11223312301000010100Tmexxxf JCJxLuxCLR Lxxyxx写成矩阵形式的状态空间表达式为：写成矩阵形式的状态空间表达式为：2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2.2.2 2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式根据高阶微分方程求状态空间表达式 12121.nnnnnya ya yaya yu (1) 0iut 的情形：的情形： a). 化为能控标准型化为能控标准型121nnxyxyxy取状态变量：取状态变量：2

10、005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述则有：则有：1223111211 nnnnnnxxxxxxxa xaxa xuyx 1 iix tyt即即2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述 .x tAx tbu ty tcx t写成矩阵形式：写成矩阵形式：其中：其中：11010,001nnAaaa称为友矩阵称为友矩阵。2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述0, 10001bc 能控标准型能控标准型2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述12113212321323431311nnnnnnnnnnnnnnxya yayayayxya yayayxya yayxya

11、yxy取状态变量：取状态变量：b). 化为能观测标准型化为能观测标准型2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述121112211 nnnnnnnnnnnxa xuxxaxxxa xxxa xyx 整理得：整理得：2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述11 2211 001100010nnnnxxaxxauxxa 则得能观标准型状态空间表达式：则得能观标准型状态空间表达式：12y001Tnxxx2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述 12121120121 . nnnnnnnnnnya ya yaya yb ubub ub ub u (2) 0iut 的情形：的情形：

12、001100221120111101. nnnnnbbastepbaabaaa计算：计算：2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述1020130121120121.nnnnnnxyuxyuuxyuuuxyuuuu2 step定义状态变量定义状态变量: :2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述11122211010001nnnnnxxxxuxaaax12100100nxxyxuux写成矩阵形式的状态空间表达式写成矩阵形式的状态空间表达式3step2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2.2.3. 2.2.3. 根据传递函数求状态空间表达式：根据传递函数求状态空间表达式

13、：(1) (1) 直接分解法直接分解法单输入单输出线性定常系统传递函数单输入单输出线性定常系统传递函数： 1011111( )( )mmmmnnnnb sbsbsbY sg sU ssa sasa.mn 1110111nnnnnnnbsbsbg sbg sdsa sasa2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述 111111nnnnnnnY sbsbsbg sU ssa sasa输出为：输出为： 11111(1)111nnnnnnnnbsb sb sY sU sasa sa s令：令： 1(1)1111nnnnE sU sasa sa s2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述

14、 1212nnE sU sas E sas E sas E s 12(1)121nnnnY sbs E sb s E sb sE sb s E s则有：则有：12( ),( ),( )ns E ss E ssE s的的L L氏反变换，则系统的状态空间氏反变换，则系统的状态空间表达式为表达式为令：令：分别表示分别表示11, ，nnxxx2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述112211010000101nnnnxxxxuxaaax 11120.Tnnnybbbxxxb u2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述例例2.2.3 2.2.3 考虑系统考虑系统5863yyyyu试写出

15、其能控标准型状态空间表达式试写出其能控标准型状态空间表达式。122331231685xxxxxxxxuyx 则状态空间表达式为：则状态空间表达式为：选择状态变量：选择状态变量：123,xy xy xy2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述(2) (2) 并联分解法并联分解法极点两两相异时极点两两相异时 12nN sg sN sD sspspsp1212nncccspspsp其中：其中： limiiispcsp g s令：令： 1iix su ssp2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述 iiisx sp x su s则有：则有： iiix tp x tu t 11nniii

16、iiiicy su sc x ssp则有：则有： 1niiiy tc x t2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述系统的矩阵式表达：系统的矩阵式表达：111222001001001nnnxpxxpxuxpx 1212nnxxybbbx2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2.3 2.3 传递函数传递函数( (矩阵矩阵) )xAxbuycxdu(0)0,(0)0 xx:,:1,:1,: 1 1Annb ncqd2.3.1 SISO2.3.1 SISO系统系统取取L L氏变换得：氏变换得：1)( )( )( )( ) () ( )sx sAx sbu sy sc s IAbd

17、u s 2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述1()( )()|c adj sIA bg sc sIAbddsIAA A的特征值即为系统的极点。的特征值即为系统的极点。2.3.2 MIMO2.3.2 MIMO系统系统xAxBuyCxDu其中：其中：:,:,:,:A nnB npC qnD qp2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述1( )( )( )y sG su sC sIABD1111( )( )( )( )pqqpq pgsgsgsgs2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2.4 2.4 组合系统组合系统2.4.1 2.4.1 并联并联: :系统如图，二子系

18、统并联连接系统如图，二子系统并联连接系统1G1(s)系统2G2(s)Uy+2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述11 11 1111 11 1:xAxBuyC xDu22222222222:xA xB uyC xD u特点：特点：1212,uuu yyy2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述1111222200 xAxBuxAxB 1 12212121212 TyC xC xDuD uCCxxDDu 1212y sy sysG sGsu s 12G sG sGs2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2.4.2 2.4.2 反馈反馈系统如图，二子系统并联连接系统如图

19、，二子系统并联连接系统1G1(s)系统2G2(s)Uyy1u2y2U1_2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述11 11 1111 1:xAxBuyC x222222222:xA xB uyC x特点：特点：1212,yyu uuy(1) (1) 动态反馈动态反馈2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述111211221220 xABCxBuxB CAx1120TyCxx 11112112 y sy sG s u sG su sysG s u sG s Gs y s 1121.G sIG s GsG s传递矩阵：传递矩阵：2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述 11

20、21G sIG s GsG s(2) (2) 静态反馈静态反馈闭环系统状态空间描述为：闭环系统状态空间描述为：()()xAxB uHyABHC xBuyC x闭环系统传递矩阵为：闭环系统传递矩阵为： 111G S IHG s2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2.5 (2.5 (非奇异非奇异) )线性变换线性变换xAxBuyCxDuxPx2.5.1 2.5.1 状态向量的线性变换状态向量的线性变换考虑系统：考虑系统：取线性非奇异变换取线性非奇异变换：, ,矩阵矩阵P P非奇异非奇异PxAPxBuyCPxDu2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述11.xP APxP Buy

21、CPxDuxAxBuyCxDu11, , .AP APDDCCPBP B整理得：整理得：其中：其中：2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述例例2.5.1 2.5.1 考虑系统考虑系统1122010231xxuxx 1260 xyx1231220,xPxP取变换：取变换：16220P2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述状态空间表达式变为：状态空间表达式变为：11022130 xP APxP Buxu 12312206 00 3yxx2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2.5.2 2.5.2 对角标准型对角标准型为 阶阵维满则称 为阵为义对应AnnAA:令矩。若

22、和向量足 ,矩的特征根定，而 的特征向量。1, ,对统阵个两两则线变换将统为对标nxPxxAxBuAxAxBLun定理:于系， 若矩具有 相异的特征根，系化角 准存在 性非型奇异。， 2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述1100nAP AP1,1,证设， 为 对应则niiPpppin明：特征根所的特征向量。 有：2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述11111, , ,nnnnnAPApApppppPA1:.AP AP2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述充要条件：充要条件：n n 阶系统矩阵阶系统矩阵 A A 有有n n 个线性无关的个线性无关的特征向量。特征

23、向量。化对角标准型的步骤：化对角标准型的步骤：113:.nstepAP AP1: step求取系统矩阵求取系统矩阵A的的 n个特征根个特征根1,n和对应的特征向量和对应的特征向量1,.npp1,nPpp2:step令令 2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述解：解：1)1) 求系统特征根求系统特征根例例2.5.2 2.5.2 将下系统化为对角标准型将下系统化为对角标准型211101020213xxu 211010(2 (1)(1)0021IA）1232,1,1 2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2)2)求特征向量求特征向量112131011003000210vvv 21

24、3121213103020vvvvv1100v 对对12，由由得得11()0IA v2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2101v 122232111002000200vvv 1222322222000vvvvv对对21，由由得得22()0IA v2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述132333311000000220vvv 1323332333300vvvvv3011v对对31， 由由得得33()0IA v2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述123110 ,001011Pv v v，1111011010P3) 3) 新的状态方程为：新的状态方程为：1120

25、0201050012xP APxP Buxu P ：构成状态转移矩阵构成状态转移矩阵 2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2.5.3 2.5.3 若当标准型若当标准型1()2,jjiiiiIA vvjn ，11111A1()0nIA重特征根重特征根A设矩阵设矩阵具有具有n满足满足是是11v1所对应的特征向量。若所对应的特征向量。若ji变换化为约当标准型。变换化为约当标准型。可通过可通过ji则则称为广义特征向量。矩阵称为广义特征向量。矩阵A线性线性2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述 113:.1kstepAP APJ 求约当标准型的步骤：求约当标准型的步骤：11:.1=0,=-,2iistepIAIAik 求解求解 122:,.，kstepP 令令 2005-11-5第二章 控制系统的状态空间描述2.6 2.6 离散时间系统状态空间表达式离散时间系统状态空间表达式 11011()(1)(1)(