理论力学运动学

1、理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院1理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院2 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫置的方法叫自然法自然法。 一、弧坐标一、弧坐标, ,自然轴系自然轴系1、弧坐标、弧坐标5-3 5-3 自然法自然法 设动点设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，为参考点，并设点并设点O的某一侧为正向，动点的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧

2、在轨迹上的位置由弧长长s确定，视弧长确定，视弧长s为代数量，称它为动点为代数量，称它为动点M在轨迹上的在轨迹上的弧坐标弧坐标。当动点。当动点M运动时，运动时，s随着时间变化，它是时间的随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即单值连续函数，即 s=f (t) MsAB(+)(- -)O理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院3二、点的速度二、点的速度0000limlim()ddlimlimddddttttststsststssvt rrvrr三、点的加速度三、点的加速度22dddddd()ddddddvsvvvtttttt va式中式中v 称为速度矢量在切线上的投影。称为速度矢量

3、在切线上的投影。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院42t2ddddvstta切向加速度切向加速度 _ 表示速度大小的变化表示速度大小的变化t a2nddddddsvvvtstan法向加速度法向加速度 _表示速度方向的变化表示速度方向的变化na2tnddvvtaaan22ttnn| arctanaaaaa，理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院5理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院6例例 是指刚体的平行是指刚体的平行 移动和定轴转动移动和定轴转动刚体的运动刚体的运动平行移动、定轴转动平行移动、定轴转动平面运动、定点运动、一般运动平面运动

4、、定点运动、一般运动简单运动简单运动理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院7得出结论得出结论:即即二、刚体平移的特点二、刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状，速度和加速度都一样。轨迹形状，速度和加速度都一样。 即即: :平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。dddd()(0)ddddABBAABBABttttrrrvrrv222222ddd:()dddABABBABtttrrarra同同理理A2B2A1B1OBrArAvBvAaBaBA理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院8一

5、、刚体定轴转动一、刚体定轴转动 定轴转动定轴转动: :刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动。刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动。通过两点的直线称为转轴通过两点的直线称为转轴, ,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。平面内做圆周运动。二、转角和转动方程二、转角和转动方程 _转角转角, ,单位弧度单位弧度( (rad) ) =f(t)_ 为转动方程为转动方程 方向规定方向规定: : 从从z z 轴正向看去轴正向看去, ,6-2 6-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 逆时针为正逆时针为正 顺时针为负顺时针为负理论力学理论力学中南大学土木工程

6、学院中南大学土木工程学院9三、定轴转动的角速度和角加速度三、定轴转动的角速度和角加速度0d lim dttt 定义定义代数量代数量1 1、角速度、角速度( )f t单位单位 rad/s若已知转动方程若已知转动方程( )f t理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院102 2、角加速度、角加速度 设当设当t 时刻为时刻为 , , t +t 时刻为时刻为 + 220ddlim( )ddtftttt 单位单位:rad/s2 (代数量代数量)角加角加速度速度如果如果 与与 同号，则转动是同号，则转动是加速加速的；如果的；如果 与与 异号，异号，则转动是则转动是减速减速的。的。 与与 同

7、号同号, ,转动加速转动加速 与与 异号异号, ,转动减速转动减速O O O O 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院113 3、匀速转动和匀变速转动、匀速转动和匀变速转动当当 =常数常数，为匀速转动为匀速转动；当当=常数常数，为匀变速转动为匀变速转动。020220122ttt常用公式常用公式与点的运动相类似。与点的运动相类似。 机器中的转动部件或零件，一般都在匀速转动情况下工作。机器中的转动部件或零件，一般都在匀速转动情况下工作。转动的快慢用转动的快慢用转速转速n表示，其单位为转表示，其单位为转/分分(r / min=rpm)。则则n与与的关系为的关系为:2(rad/s)

8、6030nn理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院12 例例 车细螺纹时，如果车床主轴的转速车细螺纹时，如果车床主轴的转速n0 0=300300r/min，要求主轴在转两圈后，要求主轴在转两圈后立即停车以便很快反转。设停车过程是匀变速转动，求停车过程中主轴的立即停车以便很快反转。设停车过程是匀变速转动，求停车过程中主轴的角加速度。角加速度。00 300 rad s10 rad s3030n2 2 rad=4 rad解：解：停车前，已知转速，可以求角速度。停车前，已知转速，可以求角速度。主轴转两圈主轴转两圈0主轴转动两圈后停止主轴转动两圈后停止2202201024222100r

9、ad s39.27rad s8 负号表示负号表示的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院136-3 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度 刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴的刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内作平面内作圆周运动圆周运动，圆心在轴线，圆心在轴线O上，半径上，半径R等于点到转轴等于点到转轴的距离。的距离。设刚体以设刚体以 从定平面从定平面A绕定轴转动到绕定轴转动到B处；转角处；转角 。定轴转动刚体上任一点做圆周运动定轴转动刚体上

10、任一点做圆周运动 刚体上一点从刚体上一点从MO转到转到M，取取MO为弧坐标原点。为弧坐标原点。方向方向: : 沿圆周的切线沿圆周的切线, ,指向与转动方向指向与转动方向一致一致速度速度: :dd()ddddsRvRRtttBAO(+)RvOMM点的弧坐标点的弧坐标: :Rs 一、角速度一、角速度 与与v 的关系的关系理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院14即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。转动的一方

11、。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院15BAO(+)RvOMM二、角加速度二、角加速度与与an ，at的关系的关系设角加速度如图所示设角加速度如图所示tddd()dddvaRRRttt切向加速度切向加速度ta即：即：转动刚体内任一点的切向加速度转动刚体内任一点的切向加速度( (又称转动加又称转动加速度速度) )的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，它的方向由角加速度的符号决定，当当 是正值时，它沿圆周的切线，指向角是正值时，它沿圆周的切线，指向角 的正向；的正向；否则相反。否

12、则相反。法向加速度法向加速度: :222n()vRaRRna即：即：转动刚体内任一点的法向加速度转动刚体内任一点的法向加速度( (又称向心加速度又称向心加速度) )的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院16如果如果与与同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度动，这时点的切向加速度at与速度与速度v的指向相同；如果的指向相同；如果与与异号，刚体作减

13、速转动，异号，刚体作减速转动， at与与v的指向相反。这两种情况的指向相反。这两种情况如图所示。如图所示。O vatanMO vatanM理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院17 (1)(1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 (2)(2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的与半径间的夹角夹角 都有相同的值。都有相同的值。点的全加速度为点的全加速度为：（一般情况下不合成）：（一般情况下不

14、合成）2224tnt2ntanaaaRaa理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院18例例试画出图中刚体上试画出图中刚体上M，N两点在图示位置时的速度和两点在图示位置时的速度和加速度。加速度。1212()O AO BOOAB，理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院19理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院207-1 7-1 点的合成运动概念点的合成运动概念动动 点点定定 系系动动 系系绝对运动绝对运动相对运动相对运动绝对速度绝对速度 绝对加速度绝对加速度avaa相对速度相对速度 相对加速度相对加速度rvra点的运动点的运动固结于地面上的坐标系

15、固结于地面上的坐标系固结于相对于地面固结于相对于地面运动物体上的坐标系运动物体上的坐标系绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹牵连运动牵连运动动系相对于定系的运动动系相对于定系的运动刚体运动刚体运动理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院21动动 点点动动 系系不同瞬时，动点在不同瞬时，动点在动系中的位置不同。动系中的位置不同。牵连点牵连点设想该瞬时将该动点固定在动系上，而随着动系一起设想该瞬时将该动点固定在动系上，而随着动系一起运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体的的拖带拖带或或牵连牵连而产生的速度和加速。而产生的速度和加速。

16、相对运动相对运动牵连点是牵连点是动系上的点，动系上的点，不同瞬时牵连点不同！不同瞬时牵连点不同！在某瞬时，动系中在某瞬时，动系中与动点相重合的点。与动点相重合的点。牵连点对牵连点对定系定系的速度和加速度分别称为的速度和加速度分别称为 的的牵连速度牵连速度 与与牵连加速度牵连加速度 evea动点动点理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院22理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院23动点：动点： AB杆上杆上A点点动系：固结于凸轮上动系：固结于凸轮上定系：固结在地面上定系：固结在地面上凸轮顶杆机构凸轮顶杆机构理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学

17、院24绝对运动：铅直绝对运动：铅直运动运动相对运动：曲相对运动：曲线线( (圆弧圆弧) )运动运动牵连运动：凸轮牵连运动：凸轮直线平移直线平移理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院25绝对速度：绝对速度：va，相对速度：相对速度：vr，牵连速度：，牵连速度：ve理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院26绝对加速度：绝对加速度：aa相对加速度：相对加速度：ar牵连加速度：牵连加速度：ae理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院27动点：动点：AB杆上的杆上的A点点 动系：偏心轮动系：偏心轮绝对运动：直线绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）相对运

18、动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院28理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院29理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院30绝对运动：曲线（圆周）绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线相对运动：直线牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动圆轮摇杆机构圆轮摇杆机构动点：动点：A（在圆盘上（在圆盘上) )动系：动系：OA摆杆摆杆定系：机架定系：机架理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院31摇杆滑道机构摇杆滑道机构绝对运动：点绝对运动：点A的水平直线运动；的水平直线运动；相对运动：

19、点相对运动：点A沿沿OB轴线的运动；轴线的运动；牵连运动：牵连运动： OB杆的定轴转动。杆的定轴转动。动点：销子动点：销子A (CD上上); 动系：固结于动系：固结于OB。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院32曲柄滑块机构曲柄滑块机构动点：动点：O1A上上A点点; 动系：固结于动系：固结于BCD上。上。绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动相对运动：直线运动;牵连运动：牵连运动： BCD平移平移动点：动点：BCD上的套筒上的套筒F点点; 动系：固结于动系：固结于O2E上。上。绝对运动：直线运动；绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；相对运动：直线运动；

20、牵连运动：定轴转动。牵连运动：定轴转动。再选再选理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院33刨床机构刨床机构理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院34理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院35相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院36相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院37相对轨迹清楚，可以确定相对速

21、度和相对加速度的方位。相对轨迹清楚，可以确定相对速度和相对加速度的方位。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院38理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院39理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院40理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院41 xx tyy t绝对运动运动方程绝对运动运动方程 xx tyy t相对运动运动方程相对运动运动方程绝对、相对和牵连运动之间的关系绝对、相对和牵连运动之间的关系cossinsincosOOxxxyyyxy由坐标变换关系有由坐标变换关系有动点：动点：M 动系：动系： O x yOxyMxx

22、yOyxOxy xOy理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院42说明：说明：va动点的绝对速度；动点的绝对速度；vr动点的相对速度；动点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点牵连点)的速度的速度动系作平移时，动系上各点速度都相等动系作平移时，动系上各点速度都相等;动系作转动时，动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。动点相重合点的速度。 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。矢量和，这就是点的速度合

23、成定理。aer vvv7-2 7-2 点的速度合成定理点的速度合成定理理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院43点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小，方向点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小，方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。二、应用举例二、应用举例解：选取动点解：选取动点: 物块物块A，动系，动系: 小车小车相对运动相对运动: 铅直直线铅直直线;相对速度相对速度vr =v2 牵连运动牵连运动: 平移平移; 牵连速度牵连速度ve=v1 绝对运动绝对运动: 曲线，轨迹未知曲线，轨迹未知;绝对速度绝对速度va

24、 的大小、方向待求。的大小、方向待求。例例桥式吊车桥式吊车 已知：小车水平运行，速已知：小车水平运行，速度为度为v1，物块，物块A相对小车垂直上升的速度相对小车垂直上升的速度为为v2。求物块。求物块A的运行速度。的运行速度。v1v2A作出速度平四边形如图示，则作出速度平四边形如图示，则物块物块的速度大小和方向为的速度大小和方向为由速度合成定理：由速度合成定理：aervvvvevrva2222aer2Avvvvvv12arctanvv1 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院44理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院45由速度合成定理由速度合成定理 va= v

25、e + vr ，作出速度平行四边形，作出速度平行四边形 如图示。如图示。解：动点取直杆上解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘。点，动系固结于圆盘。 绝对速度绝对速度 va = ? 待求，待求，方向方向/AB 相对速度相对速度 vr = ? 未知，未知，方向方向 CA 牵连速度牵连速度 ve =OA = 2e ， 方向方向 OA0ae2 32 3tan30 ( )33ABvveve例例 圆盘凸轮机构圆盘凸轮机构已知：已知：OC=e， ，凸轮角速度，凸轮角速度 。图示瞬时，图示瞬时，OC CA 且且 O、A、B三点共线。三点共线。求从动杆求从动杆AB的速度。的速度。eR3ReCO ABvavevr

26、 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院46例例刨床的急回机构如图所示。曲柄刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为的角速度为 ，通过套筒，通过套筒A带动带动摇杆摇杆O1B摆动。已知摆动。已知OA=r，OO1=l，求当，求当OA水平时水平时O1B的角速度的角速度 1。 AO1O B2ea2222e111sinsin()()rvvrlrvO Alr2122rlrvave 1 1解：解：取套筒铰接点取套筒铰接点即即OA杆上的杆上的A点点为动点为动点， 穿过套筒的穿过套筒的摆摆杆杆O1B为动系为动系。 绝对速度绝对速度 va = r ，方向，方向 OA 相对速度相对速度 vr =

27、 ? ，方向方向/O1B 牵连速度牵连速度 ve = ? ，方向方向 O1Bvr 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院47解：取套筒与解：取套筒与AB杆的铰接点杆的铰接点A为动点，为动点， 动系与动系与OC固连，分析固连，分析A点速度，有点速度，有easinsinvvvesinOCvvOAasinCOCabvOCvaaervvv 例例 P355、例、例14-4求图示机构中求图示机构中OC杆端点杆端点C的速度。其中的速度。其中v与与 已知，已知，且设且设OA=a, , AC=b。vA BCOvC OCvavevr理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院48解：

28、以小环解：以小环M为动点，动系取在为动点，动系取在AB杆上，杆上， 动点的速度合成矢量图如图。动点的速度合成矢量图如图。由图可得：由图可得：easinsinvuveasinvv 例例 水平直杆水平直杆AB在半径为在半径为r的固定圆环上以匀速的固定圆环上以匀速u竖直下落。竖直下落。求套在该直杆和圆环交点处的小环求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。的速度。uABOMr vrvave理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院49 分析：分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对

29、运动的分析就会很困难。这种情况下，接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。可以发现，凸轮上需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。可以发现，凸轮上C的轨迹的轨迹是直线，若选是直线，若选OA为动系，其相对轨迹也容易确定是直线。为动系，其相对轨迹也容易确定是直线。例例已知凸轮半径已知凸轮半径r ，图示位置时向右的速度为，图示位置时向右的速度为v， =300。 杆杆OA靠在凸轮上，求此瞬时杆靠在凸轮上，求此瞬时杆OA的角速度。的角速度。OAC v解解: 取凸轮上取凸轮上C点为动点，动系固结于点为动点，动系固结于OA杆上。杆上。 绝对运动

30、：直线运动；绝对速度：绝对运动：直线运动；绝对速度：va=v，方向向右。，方向向右。相对运动：直线运动；相对速度：相对运动：直线运动；相对速度：vr未知，方向平行未知，方向平行OA。牵连运动：定轴转动；牵连速度：牵连运动：定轴转动；牵连速度：ve待求，方向垂直待求，方向垂直OC。由速度合成定理作出作出速度平行四边形由速度合成定理作出作出速度平行四边形vevr=vaea3tan3vvve2 sinrvOCre133 2236vvvrrr（ ）理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院50解解：先选先选O1A上上A点为动点，动系固结于点为动点，动系固结于BCD上。上。 2例例曲柄滑块

31、机构曲柄滑块机构O1A= r，角速度为角速度为 1 , ,图示瞬时图示瞬时O1A/ O2E， 及及h已知已知 。求该瞬时求该瞬时O2E杆的角速度杆的角速度 2。 AO2 C 1BO1DFEh 作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。 vrvevaea1sinsinvvr再选再选BCD上上F点为动点，动系固结于点为动点，动系固结于O2E上。上。 由由 vFa=vFe+vFr 作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。vFevFrvFaF 2ea11sinsinsinsinFFvvrr3e122sinFvrO Fh（ ）理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木

32、工程学院51va解解 取取M为动点，为动点，AB为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。取取M为动点，为动点，CD为动坐标系，相对为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。速度、牵连速度如图。ae1r1vvvae2r2vvv由上面两式可得：由上面两式可得：e1r1e2r2vvvv其中其中e11e22，vvvv例例P194、7-13AB杆以速度杆以速度v1向上作平移，向上作平移，CD杆斜向上以速度杆斜向上以速度v2作平移，作平移，两条杆的夹角为两条杆的夹角为 ，求套在两杆上的小环，求套在两杆上的小环M的速度。的速度。MBCD Av2v1ve1vr1vr2ve2r212(

33、cos )/sinvvv将等式两边同时向铅直轴投影得将等式两边同时向铅直轴投影得12r2cossinvvv则动点则动点M的绝对速度为：的绝对速度为：222212ae2r2222121 2cos()sin12cossinvvvvvvvvvv=理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院52由上述例题可看出，求解合成运动速度问题的一般步骤为：由上述例题可看出，求解合成运动速度问题的一般步骤为：选取动点，动系和定系选取动点，动系和定系（工程问题选地面作定系）（工程问题选地面作定系）；三种运动的分析，确定点运动的轨迹来判断各速度的方向；三种运动的分析，确定点运动的轨迹来判断各速度的方向；根

34、据速度合成定理根据速度合成定理 作出速度平行四边形矢量图，作出速度平行四边形矢量图， 由速度平行四边形，求出未知量。由速度平行四边形，求出未知量。aervvv恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键！恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键！动点、动系的选择原则动点、动系的选择原则动点和动系必须分别属于两个不同的物体动点和动系必须分别属于两个不同的物体，否则绝对、相，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能构成合成运动；对和牵连运动中就缺少一种运动，不能构成合成运动；动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。 （已知绝对运动和牵连运动求解相

35、对运动的问题除外）（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院53机构机构传动问题传动问题中动点、动系的选取中动点、动系的选取物体物体尖点尖点和物体和物体表面表面接触接触的问题：的问题：选物体的选物体的尖点尖点为动点，为动点， 被接触的另一物体为动系；被接触的另一物体为动系； 两物体两物体面面和和面面接触的问题：选一物体上到另一物体距离不接触的问题：选一物体上到另一物体距离不 变的点为动点，变的点为动点，被接触的另一物体为动系被接触的另一物体为动系。套筒和穿过套筒的杆的运动问题：选套筒的铰接点为动点，套筒和穿过套筒的杆的运动问题：选套

36、筒的铰接点为动点， 穿过套筒的杆为动系；穿过套筒的杆为动系；滑块导槽及滑块导槽及销钉滑道机构问题：选销钉滑道机构问题：选滑块的铰接点或滑块的铰接点或销钉为销钉为 动点，具有导槽或滑道的构件为动系。动点，具有导槽或滑道的构件为动系。非机构传动问题非机构传动问题两个不相关的动点两个不相关的动点，根据题意，选择其中之一为动点，根据题意，选择其中之一为动点， 动系为固结于另一点的坐标系。动系为固结于另一点的坐标系。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院547-3 7-3 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理aer aaa牵连运动为平移时点的加速度合成定

37、理牵连运动为平移时点的加速度合成定理tn aaatntntnaaeerraaaaaa一般式可写为：一般式可写为：理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院55解：取杆上的解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。点为动点，动系与凸轮固连。例例已知半径为已知半径为R的凸轮，其速度和加速度分别为的凸轮，其速度和加速度分别为v0和和a0。求。求 =600时时，顶杆顶杆AB的加速度。的加速度。ABCv0a0 绝对速度绝对速度va = ?，方向，方向/AB；绝对加速度；绝对加速度aa=?，方向，方向/AB相对速度相对速度vr = ?，方向，方向 AC；相对加速度相对加速度art =? 方向方

38、向 AC arn =vr2/R ，方向沿方向沿AC指向指向C牵连速度牵连速度ve=v0，方向方向水平；牵连加速度水平；牵连加速度 ae=a0 ，方向方向水平水平理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院56由速度合成定理由速度合成定理aervvv作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。e0r02sinsin 603ovvvvABCv0a0 vavevr 因牵连运动为平移，故有因牵连运动为平移，故有tnaerraaaa2n220rr042/() /33vavRvRR其中其中作作加速度矢量图加速度矢量图如图示。如图示。aaaearnart 理论力学理论力学中南大学土木

39、工程学院中南大学土木工程学院57naersincosaaa2n0aer04(cos)/sin(cos60)/sin603vaaaaR整理得整理得20a038()33ABvaaaRABCv0a0 aaaearnart 将矢量方程将矢量方程 投影到投影到x x轴上，得轴上，得tnaerraaaax x 3 3个矢量个矢量组成的方程，通常可用组成的方程，通常可用几何法求解几何法求解！例如！例如3个力个力的平衡，画力三角形求解，速度合成定理的平衡，画力三角形求解，速度合成定理3个速度矢量，可个速度矢量，可用三角形求解！用三角形求解！3 3个以上的矢量个以上的矢量组成的方程，通常用组成的方程，通常用解析

40、法解析法求解，即采用求解，即采用投影的方法投影的方法求解。求解。左边矢量在某轴上的投影左边矢量在某轴上的投影= =右边矢量在同一轴上的投影右边矢量在同一轴上的投影理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院58例例曲柄滑杆机构；曲柄滑杆机构；曲柄曲柄OA=l，其角速度，其角速度 和角加速度和角加速度 已知已知，求求 =450时小车的速时小车的速度与加速度。度与加速度。AO C B解：动点为曲柄上解：动点为曲柄上 A点；动系固结在滑杆点；动系固结在滑杆BC上。上。 根据速度合成定理根据速度合成定理 va=ve+vr 作出速度作出速度平行四边形，如图示。平行四边形，如图示。vrveva

41、ea2coscos452vvll小车的速度小车的速度：e2=()2lvv根据牵连运动为平移的加速度合成定理根据牵连运动为平移的加速度合成定理tnaaeraaaa作出加速度矢量图如图示作出加速度矢量图如图示。在水平方向投影：在水平方向投影：tnaaecossinaaa22e2cos45sin45()2laall 方向如图示方向如图示小车的加速度小车的加速度： aeaatAar aan理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院59解：取滑块解：取滑块A为动点，动系与滑道为动点，动系与滑道BCD固连。作速度平行四边形。固连。作速度平行四边形。曲柄曲柄OA的角速度为的角速度为 4 rad

42、/s30n era125.6cm/sBCDvvvv例例图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径R=OA=10cm，已知曲柄绕轴，已知曲柄绕轴O以匀速以匀速n=120rpm转动，求当转动，求当=300时滑道时滑道BCD的速度和加速度。的速度和加速度。 ROO1BnCAD vrve600va600 由速度合成定理由速度合成定理 va=ve+vr 求得求得a125.6 cm/svOA由加速度合成定理由加速度合成定理 作加速度矢量图作加速度矢量图 ntaerraaaa300h hAaeaaarnart30022n2rr1125.61579 cm/s10vaO An222aa10

43、 (4 )1579 cm/saaOA将加速度向将加速度向h h轴上投影有：轴上投影有：naercos60cos30aaan2arecos6027.4 m/s ()cos30aaa理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院60BCO A解：取圆盘的中心解：取圆盘的中心C为动点，动系与平底推杆为动点，动系与平底推杆AB固连。分析动点的速度和加速度如图所示。固连。分析动点的速度和加速度如图所示。aveeacoscosABvvven2aaetaaentaaeraaaanteaa2sincoscossinABaaaaee 可求得：可求得：向向y轴投影：轴投影：ntaaesincos-aaa

44、vevavr naataaearaC 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院61牵连运动为转动时，加速度合成定理为牵连运动为转动时，加速度合成定理为aerCaaaa一般式一般式tntntnaaeerrCaaaaaaa 一般情况下科氏加速度一般情况下科氏加速度 的计算可以用矢积表示的计算可以用矢积表示CaCer2avCrr2sin()av v ，方向：按右手法则确定。方向：按右手法则确定。rC0 180 ( / )0va或，rCr90 ()2vav，大小：大小：7-4 7-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理理论力学理论力学中南大学土木工程学

45、院中南大学土木工程学院62解：点解：点M1的科氏加速度的科氏加速度C112sinav垂直板面向里，用垂直板面向里，用 表示表示。工程中常见的平面机构中工程中常见的平面机构中 e和和vr是垂直是垂直的，此时的，此时aC=2 evr；且真实的；且真实的vr顺顺 e实际转实际转向（逆时钟、顺时钟）转向（逆时钟、顺时钟）转900就是就是aC的方向。的方向。900 evraC 例例 矩形板矩形板ABCD以匀角速度以匀角速度 绕固定轴绕固定轴 z 转动，转动，点点M1和点和点M2分别沿板的对角线分别沿板的对角线BD和边线和边线CD运动，运动，在图示位置时相对于板的速度分别为在图示位置时相对于板的速度分别为

46、 v1和和v2，计算，计算点点M1 、 M2的科氏加速度大小，并图示其方向。的科氏加速度大小，并图示其方向。ABCDz M1M2 v1v2C1a点点M2 的科氏加速度的科氏加速度C220 (/)av理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院63解解:顶杆上顶杆上A为动点，动系固结于凸轮上为动点，动系固结于凸轮上 根据速度合成定理根据速度合成定理 作出速度平行四边形作出速度平行四边形aervvv求得求得aeertantan( )coscosABvvvrvrv 由牵连运动为转动时的加速度合成定理由牵连运动为转动时的加速度合成定理tnaerrCaaaaa例例已知凸轮机构以匀角速度已知凸

47、轮机构以匀角速度 绕绕O轴转动，图示瞬时轴转动，图示瞬时OA= r，A点的曲率点的曲率半径半径 ， 已知。求该瞬时顶杆已知。求该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。的速度和加速度。ABO n vavevr 绝对加速度绝对加速度aa=?。方向平行。方向平行ABtn2eee 0 aaar，牵连加速度牵连加速度A指向指向On2222rr/cosavr相对加速度相对加速度方向沿方向沿ntr? a 方向垂直方向垂直n理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院64ABO n 2Cr=22/cosavr科氏加速度科氏加速度科氏加速度的方向为科氏加速度的方向为vr顺顺 的转向转的转向转900的方向的方

48、向。aC22222asec(cos2sec )cosABrrraa322sec(12sec)rr aaaearnart将方程将方程 向向 aC方向投影：方向投影：tnaerrCaaaaanaerCcoscosaaaa 得得vr加速度问题，加速度问题，往往超过三个矢量，一般采用解析往往超过三个矢量，一般采用解析(投影投影)法求法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定，大多解，投影轴的选取依解题简便的要求而定，大多在相对轨迹在相对轨迹的法向投影的法向投影。投影为矢量两边在投影轴上的代数和相等！投影为矢量两边在投影轴上的代数和相等！理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院65解：小环

49、解：小环M为动点，动系固结在曲杆为动点，动系固结在曲杆 OBC上绕上绕O轴转动。轴转动。e10 0.510cm/scos600.5OBvOM例例 P197、7-26图示曲杆图示曲杆OBC绕绕O轴转动，使套在其上的小环轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆沿固定直杆OA滑动。已知滑动。已知曲曲杆杆OB=10cm，其，其以匀角速度以匀角速度 =0.5rad/s转动，转动，OB与与BC垂直，求当垂直，求当 =600时小环时小环M的速度和加速度。的速度和加速度。BACOM 作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。vavrve 由三角关系求得小环的绝对速度和相对速度分别为：由三角关系求得小

50、环的绝对速度和相对速度分别为：aeretan10317.3cm/s220 cm/svvvv，aerCaaaa由加速度合成定理由加速度合成定理作加速度矢量如图所示。作加速度矢量如图所示。araeaaM向向aC方向投影方向投影, ,有有aeCcoscosaaa aC 2aeC/cos5 2 2035cm/saaa 解得解得理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院66解解：动点为动点为CD上的固定点上的固定点 A，动系，动系 固结于固结于OB上。上。earacoscossinsinvvvvvv，2ecos/cos/() coshvOAvvh（）（）例例摇杆滑道机构摇杆滑道机构已知已知

51、h， ，v，a。求。求: OA杆的杆的 ， 。vC ABOa hD 根据速度合成定理根据速度合成定理 va=ve+vr 作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。vevrvaA 根据牵连运动为转动的加速度合成定理根据牵连运动为转动的加速度合成定理tnaeerCaaaaa作加速度矢量图。作加速度矢量图。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院67x x aen投至投至x x 轴轴：taeCcosaaa22teCa2cossincoscosvaaaah223n2e2Crcoscos()coscos22sinhvvahhvavvht222e2cossin 2cosava

52、ODhh（）aetaraCvC ABOa hDtnaeerCaaaaaaaAvr 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院68ve解解: 取凸轮上取凸轮上C点为动点，动系固结于点为动点，动系固结于BA杆上。杆上。 aa vv aa，例例图示图示凸轮机构凸轮机构凸轮半径为凸轮半径为R，图示，图示 角时角时B、C在一条铅直线上在一条铅直线上。已知已知凸轮移动的速度凸轮移动的速度v和加速度和加速度a ，求该瞬时求该瞬时BA杆的角速度和角加速度。杆的角速度和角加速度。aB ACRv 根据根据va=ve+vr 作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。vaCear0vvv v ，e sin/sinvvvBCRR( ) 根据根据tnaeerCaaaaa作出加速度矢量图作出加速度矢量图aaCaetaenar 2n2esinvaBCRCr20avx x 投影至投影至x x 轴：轴：tnaeecoscossinaaat222e2sin/sinsin/sinaavRavBCRRR 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院69解：选轮解：选轮O上的上的A点动点，动系固结于点动点，动系固结于O1C上。上。 根据根据va=ve+vr 作出速度平