直线和圆方程

1、一直线的方向向量、法向量、倾斜角、斜率之间的关系：tan2cossinsincoslkll 1 . 已知直线 的倾斜角为 ，则斜率（）直线 的一个方向向量就是（，）直线 的一个法向量就是(，） 它们都是反映直线方向的量，它们之间有相它们都是反映直线方向的量，它们之间有相互联系，可以相互转化，在一定条件下，已知其互联系，可以相互转化，在一定条件下，已知其中一个，可以求出另外三个，如：中一个，可以求出另外三个，如：2.,(0lvablnbablkaa 已知：直线 的一个方向向量为（ ， ）， 则 直线 的一个法向量便是（， ） 直线 的斜率时)时）（）（时）（）（的倾斜角直线0arctan0arc

2、tanababababl时），（便有：取向量上两点，而直线的方向为直线特别地，121212121221222111),(),(),(xxxxyykyyxxPPlyxPyxP时）（时）（的倾斜角直线），的一个法向量就是（直线），的一个方向向量就是（直线，则的斜率为已知：直线0arctan0arctan11)3kkkklklklkl二、直线方程的各种形式直线方程的各种形式（1）点斜式方程（2）斜截式方程（3）两点式方程（4）截距式方程 （5）一般式方程）（程，即得直线的点斜式方）（）（）是共线向量，）与（则（上任意一点直线且其斜率为经过点若已知直线直线的点斜式方程00000000001,),(),

3、() 1xxkyyyyxxkkyyxxyxPlkyxPl002)(0, ),.PyPbybkxykxbby直线的斜截式方程在直线的点斜式方程中，特别地取 为直线与 轴交点即即得：于是得直线斜截式方程:这里 就是直线在 轴上的截距.000000003)(,)( , )/ ,( , ) ()0.lvabP xylP x yP Pvxxyya b ttRabxxyyab直线的方向式方程若已知直线 方向向量（ ， ）且经过点直线 上任一点则，故得直线方向式方程（）当时，也可写为l),(000yxP),(yxPxyttPP000004)cossincossinxxattRyybtabltlxxattRy

4、yatlt直线的参数式方程直线的方向式方程可改写成如下参数式：式中（ ， ）为直线 的方向向量， 为参变量特别地取方向向量为（，），为直线 倾斜角此时，直线的参数式方程为：（），（）上式称为直线 的标准参数方程在标准参数方程中，参变数 具有几何意义，如图l),(000yxP),(yxPxyttPP0),(0)()(,),()0( ,),()500022000不同为零其中程为：于是得直线的点法式方则上任意一点直线）（的一个法向量为且已知直线上一点若直线直线的点法式方程BAyyBxxAnPPyxPlBABAnlyxPl006,0(,)CAxByAxByCA B ）直线的一般式方程在直线的点法式方程

5、中，记则直线方程具有如下的一般式其中不同为零121121121221122211100,/),(),(),(7yyyyxxxxyyxxPPPPlyxPyxPyxPl两点式时，直线方程可以写成，当则上任意一点是直线两点，经过若已知直线）直线的两点式方程轴上的截距轴和在都不为零，分别是直线，式中：于是可得直线的截距式即得轴交于与轴交于设与相交，而不过原点，若直线与两坐标轴都在直线的两点式方程中直线的截距式方程yxbabyaxbyaaxbbPyaaPx1000)0(), 0()0(),0 ,()821三、平面内两直线关系平面内两直线关系（）两直线平行的条件（）两直线垂直的条件（）两直线重合的条件（）

6、两直线相交的夹角（）直线到直线的角（）点到直线的距离（）两平行直线间的距离（）点与直线的位置关系212121222111122112212122221111/0:, 0) 1bbkkllbxkylbxkylCACABABAllCyBxAlCyBxAl，且则此时，即两直线斜率均存在：，：若，且则：若两直线平行的条件100:, 0)2212122211121212122221111kkllbxkylbxkylBBAAllCyBxAlCyBxAl则此时，：，：若，则：若两直线垂直的条件2121212221111221122121222211110:, 0)3bbkkllbxkylbxkylCACAB

7、ABAllCyBxAlCyBxAl，且重合则此时，：，：若，且重合于则：若两直线重合的条件1111222212121222221122121221121211122212221212214)0, :0cos2tan1cos112tanlAxB yClA xB yCllA AB BABABllABA BA AB Blyk xblyk xbk kkkllkk两直线相交的夹角若 ：与 的夹角为 ，则当时（即 不垂直于 ）又若 ：， ：则当时（即 不垂直于 ）121k k121212111122221221121211122221121212222211225)20,:0tantan1coslllll

8、llAxB yClA xB yCABA BA AB Blyk xblyk xbkkk kA AB BABAB直线 到 的角时，当 不垂直于 ，若 ：又若 ：， ：则注意一般不能用来表示0000220022006)0,(,),(,)lAxByCP xyPlnA BQP nPldQlnAxByCdABPlnA BAxByCQP nPldnABP xylPl 点到直线的距离：设直线 ：点当 位于 的法向量（）指向同侧（如图）点 到直线 的距离其中 点为 上任意一点化简得当 位于 的法向量（）指向异侧（如图）点 到直线 的距离对于在直线 上，则 到直线 的距0000220(,)dP xyPlAxByC

9、dAB离。故综上所述有：对任意的点有 点到直线 的距离lnPQOyxlnPQOyx121122121222127)/0,:0lllAxByClAxByCCClldABll两平行直线间的距离若， ：则 与 之间的距离注意：距离公式中，要求 与 方程的一次项对应系数相等0,),()3(0,),(20),(1),(, 0)800000000000000CByAxBAnlyxPCByAxBAnlyxPCByAxlyxPyxPCByAxl）指向异侧（的法向量与当）指向同侧（的法向量与）当（上在直线）当（点：设直线点与直线的位置关系：系来判定点与直线位置关同的特点，根据特殊点方程左边值的符号必相般式方程，

10、的坐标，代入直线的一以利用直线同一侧各点点与直线位置关系也可（1）二元一次不等式）二元一次不等式Ax+By+C0在平面直在平面直角坐标系中角坐标系中表示直线表示直线Ax+By+C=0某一侧所有某一侧所有点组成的平面区域。点组成的平面区域。（2）在确定区域时，在直线的某一侧取一）在确定区域时，在直线的某一侧取一个特殊点个特殊点(x0,y0) ，从，从Ax0+By0+C的正负可以的正负可以判断出判断出Ax+By+C0表示哪一侧的区域。一表示哪一侧的区域。一般在般在C0时，取时，取原点原点作为特殊点。作为特殊点。二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式表示平面区域（3）注意所求区域是否包括边界直线）

11、注意所求区域是否包括边界直线线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解； 可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域； 最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。 可行域可行域小结1.在解线性规划应用问题时，其一般思维过程如下：在解线性规划应用问题时，其一般思维过程如下：（1）设出决策变量，找出线性规划的约束条件和线性目标函数；）设出决策变量，找出线性规划的约束条件和线性目标函数；（2）利用图像，在线性约束条件下找出决策变量，使目标函数）利用图像，在线性约束条件下找出决策

12、变量，使目标函数达到最大或最小；达到最大或最小；2. 解线性规划应用问题的一般模型是：先列出约束条件组解线性规划应用问题的一般模型是：先列出约束条件组a11x1+ a12x2+ a1nxn b1a21x1+ a22x2+ a2nxnb2 a11x1+ a12x2+ a1nxn bn再求再求c1x1+c 2x2+ c nxn的最大值或最小值；的最大值或最小值；3. 线性规划的讨论范围：教材中讨论了两个变量的线性规划问题，线性规划的讨论范围：教材中讨论了两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划问题不能用

13、图解法来解；问题不能用图解法来解；4. 求线性规划问题的最优整数解时，常用打网格线和调整优值的求线性规划问题的最优整数解时，常用打网格线和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确。他直线的斜率关系要把握准确。返回返回 四、圆的方程(1)标准方程(2)一般方程 其中圆心坐标 半径为 （3）参数方程 其中 (a,b) 为圆；r 为半径；为参数 (4)已知直径两端的圆方程 其中 是圆的一条直径的两端点222()()xaybr220 xyDxEyF(,)22DE22142rDEFc o ss i

14、 nxarybr1212()()()()0 xxxxyyyy1122( ,) (,)x yxy、 五、圆的切线方程（1）过圆上一点 P 圆切线 当方程为 切线方程为 当方程为 切线方程为 (2)过圆外一点P 圆的切线方程 设圆方程为 则切线方程为 切线长为 00(,)xy200()()()()xa xayb ybr222()()xaybr220 xyDxEyF0000()()022DEx xy yx xyyF00(,)xy220 xyDxEyF220000 xyDxEyF典型例题分析的倾斜角直线又回到原来的位置，求则直线个单位，轴正方向平移个单位，再沿轴负方向平移沿：直线例llyxl231)2

15、, 3(),(0000yxQlyxP上一点，经平移后到点是直线解：设的一个方向向量就是直线由已知lPQ)2 , 3(2233k 斜率 32arctan32arctan）（倾斜角),(00yxP)2, 3(00yxQxyOl方程取得最小时，求直线）当（的方程面积最小时，求直线）当（为坐标原点，两点，轴正半轴交于，且分别与过点，直线例lMBMAlABCOBAyxMl21,) 1 , 2(42(1)0211(2,0),0121111(2)(12 )2( 2 )22422( 2 )(20)12211042121242AOBlklyk xxAyBkkSOA OBkkkkkkkkkklyxxy 解法一、由

16、已知直线 的斜率，设 方程为：（）它与 正半轴交于与 轴正半轴交于（ ，）当且仅当时等号成立即，又，取时等号成立故 的方程为（） ，也即004212424214124212111210, 0), 0(),0 ,(yxyxlbababaabOBOASbabyaxlbabBaAAOB，即的方程为，时成立，等号当且仅当，且的方程可写成从而直线解法二、由已知可设方程取得最小时，求直线）当（的方程面积最小时，求直线）当（为坐标原点，两点，轴正半轴交于，且分别与过点，直线例lMBMAlABCOBAyxMl21,) 1 , 2(4坐标求所在的直线方程为平分线，所在直线方程为边上中线的顶点、例CByxBEAB

17、CyxCDABAABC,04202474),8 , 2(3xyAB）坐标（的中点则解法一、设28,22),(BBBByxDAByxB,24047240240284()7()24022BBBBB Dxyxyxyxy又分别在直线和直线上)0 , 4(0, 4ByxBB，即得34)4(208ABk21, 042BEkyxBEABC：平分线所在直线又411322141111123200472400(6,0)47240BCBEBCABBEBEBCABBEBCBCkkkkkkkkkkkBCyCDxyyCxy由已知条件得即得，所在直线方程为，又所在直线方程由得074247)42(47424872402474

18、), 42(0422222BBBByyyxAByyByxB程为边上的中线所在直线方又上，可设在直线解法二、 xyAB)0 , 4(, 0ByB从而得042)8 , 2(AyxA的对称点关于直线作上在直线由已知得BCAA),0 , 6( 47240 (6,0)BCxCxyxC所在直线即为 轴，故 点即为直线与 轴交点，即坐标求所在的直线方程为平分线，所在直线方程为边上中线的顶点、例CByxBEABCyxCDABAABC,04202474),8 , 2(3226(4, 1)2650(1,2).ACxyxyB例 求经过，且与已知：相切于点的圆的方程20ABlxy解法一：线段的中垂线 方程为，2226

19、50( 1,3)CxyxyC：的圆心250BCxy直线的方程为D从而要求的圆的圆心 的坐标满足20250 xyxy3(3,1)1xDy22|(3 1)(1 2)5BD 又223)(1)5.xy所求的圆方程为：(226(4, 1)2650(1,2).ACxyxyB例 求经过，且与已知：相切于点的圆的方程(1,2)CBl解法二：过一上点的切线 的方程为：2(1)3(2)50 xyxy(1,2)ClB所求的圆必与，直线 相切于同一点(4, 1)A又圆过点223)(1)5.xy即(20 xy即22265(2)0 xyxyxy 可设圆方程：22412 46152 41 0 4 222654 (2)0 x

20、yxyxy 所求圆方程：226(4, 1)2650(1,2).ACxyxyB例 求经过，且与已知：相切于点的圆的方程22:(1)(2)0Bxy解法三：把点 看作点圆，方程为所求的圆方程可直接写成：(4, 1)A又圆过点223)(1)5.xy即(2222265(1)(2)0 xyxyxy 22412 4615990 2 22222652(1)(2)0 xyxyxy 所求圆方程： 8(1)2 (2)3:1(1)(2):20yxl xy例 设圆满足： 截 轴所得弦长为 ； 被 轴分成两圆弧，其弧长比为。在满足条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。( , ),|,|.C a brCxyba

21、解法一：设圆心,半径 则 到 轴, 轴距离分别为2Cx由已知应有截 轴所得劣弧的圆心角为2y截 轴所得弦长为|2 |:205abCl xyd圆心 到直线的距离2222112(1)(1)2xyxy所求圆方程：或222|22brbr故即221ar 得2212ab 得22222222225|2 |4442()21dabaabbababbamin55abd“”当且仅当时成立，此时2212abab 1111aabb 或2r8(1)2 (2)3:1(1)(2):20yxl xy例 设圆满足： 截 轴所得弦长为 ； 被 轴分成两圆弧，其弧长比为。在满足条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。2222112(1)(1)2xyxy所求圆方程：或由解法二同样可得sin2cos0k令3|44PQk或时,与单位圆相切，取到最小1111aabb 此时或2r 而5 sin25cosd221(cos ,sin )(0, 2)kxyPQ可看成单位圆上动点与定点连线的斜率min55d,点半到达如你看后满意，请把此页面删掉，以免打扰你正常使用，我们万分感谢！如你看后满意，请把此页面删掉，以免打扰你正常使用，我们万分感谢！ 本站敬告： 一、本课件由“半岛教学资源（http:/）”提供下载, 官网是http:/，网站创办人杨影，真名实姓，