电磁现象普遍规律

1、电动力学 授课老师：赵圣之 E-mail: Shengzhi_第一章 电磁现象的普遍规律第一节第一节 电荷与电场电荷与电场第二节第二节 电流与磁场电流与磁场第三节第三节 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组第四节第四节 介质的电磁性质介质的电磁性质第五节第五节 电磁场边值关系电磁场边值关系第六节第六节 电磁场的能量和能流电磁场的能量和能流第一节 电荷和电场一、库伦定律一、库伦定律1、点电荷、点电荷 两点电荷的相互作用力：两点电荷的相互作用力：2、点电荷系：、点电荷系：3、连续电荷对点电荷：、连续电荷对点电荷：4、连续电荷对连续电荷：、连续电荷对连续电荷：121212211230 124q q rfff

2、r 0031004niiiiq qFrr304Vq dVFrr1212123,04V VdVdVFrr yzVxqdVxr二、电场二、电场1、电场强度、电场强度 电荷周围产生电场，场对电荷有作用力，电荷之间通过场相互作用。电荷周围产生电场，场对电荷有作用力，电荷之间通过场相互作用。 定义电场强度：定义电场强度：（1）点电荷）点电荷Q在在r处的场强：处的场强：（2）点电荷系的场强：）点电荷系的场强：（3）连续分布电荷的场强：）连续分布电荷的场强：fEq304VdV rEr30Q4iiiiErr30Qr4ErV d V(,)xyz(,)Pxyzr2、电场的散度和旋度、电场的散度和旋度(1) 高斯定

3、理和场的散度高斯定理和场的散度 高斯定理：在场中任取一闭合面高斯定理：在场中任取一闭合面S，则：，则： 证明：点电荷：证明：点电荷： 点电荷系：点电荷系： 连续分布电荷：连续分布电荷： V是是S所包围的体积。所包围的体积。0(Q/)SE dS 30Q4rEr3200000QQcos44QQQ444SSSSrdSE dSdSrrd ii001QQiiSiE dSEdS 01SVE dSdV rdSQ 散度：散度：静电场为有源场。场中的散度等于该点的电荷密度除以介电常数。静电场为有源场。场中的散度等于该点的电荷密度除以介电常数。（2）环路定理和场的旋度）环路定理和场的旋度 环路定理：在场中任取一回

4、路环路定理：在场中任取一回路L，则：，则： 证明：点电荷：证明：点电荷： 同理可证点电荷系和连续分布电荷。同理可证点电荷系和连续分布电荷。001()SVVE dSdVE dVE 0LE dl30Q4rEr3200200QQcos44QQ1( )044LLLLLrdlE dldlrrdrdrr rdrdlQ 旋度：旋度： 静电场为无旋场。静电场为无旋场。例：电场强度的一般表示式：例：电场强度的一般表示式： 证明：证明： 证明：证明：（a) 当场点当场点P不在源不在源V内时，内时，r0, =0。 ()00LSE dlEdSE 304VdV rEr0;0EE33001()()44VVdV rrEdV

5、rr 330rrrr 000E222()()()rxxyyzzV dV(,)xyz(,)Pxy zr（b)当场点当场点P在源在源V内时内时, 考虑考虑r趋于零的情况，因为只有这时趋于零的情况，因为只有这时 。 以以(x , y, z)为中心做一个小球体为中心做一个小球体V： 在在V内可以认为内可以认为是均匀的，因此有：是均匀的，因此有：0E301()4VrEdVr3330002000()()444cos44VVSSSrrr dSEdVdVrrrdSdr 33000111()()()0444VVVdV rrEdVdVrrr 第二节 电流和磁场一、电荷守恒定律一、电荷守恒定律1、电流密度、电流密度

6、J 设在某一区域内存在带电粒子，粒子带电量为设在某一区域内存在带电粒子，粒子带电量为q，运动速度为，运动速度为v, 单位体单位体积内有积内有N个粒子，则：个粒子，则：J=Nqv 通过通过S面的总电流强度：面的总电流强度：2、电荷守恒定律、电荷守恒定律 任取闭面任取闭面S, 则：则： ， 若若V不随时间变化，则不随时间变化，则（1）若）若V是孤立系统：是孤立系统： 全空间电荷守恒。全空间电荷守恒。sIJ dS QSVddJ dSdVdtdt ()SVVJ dSJ dVdVt 0JJtt 00SVdJ dSdVdt （2）对稳恒电流）对稳恒电流J (x , y, z)、 (x , y, z)， 无

7、源。无源。二、毕奥二、毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律 电流产生磁场，磁场对电流有作用力，电流与电流通过磁场相互作用电流产生磁场，磁场对电流有作用力，电流与电流通过磁场相互作用。1、电流产生磁感应强度、电流产生磁感应强度（1）线电流：）线电流： （2）体电流：）体电流： 2、磁场对电流的作用力、磁场对电流的作用力 00Jt 034LIdlrBr 034VJrBdVr max()dFIdlBdlBdFIdlB 的作用力：的作用力： 的作用力：的作用力： 一般情况下一般情况下 ： 对两个闭合回路：对两个闭合回路：三、磁场的散度和旋度三、磁场的散度和旋度1、散度、散度 在场中任取闭面在场中任取闭面S，则：，

8、则： 磁场为无源场。磁场为无源场。 证明：证明：1212I dlI dl对1212121001211222331212()()44I dlrI dlI dlrdFI dlrr2121I dlI dl对211201221321()4I dlI dlrdFr1221dFdF 1221FF 00SB dSB 000311444VVVJrBdVJdVJdVrrr 由公式：由公式：可得：可得：2、旋度、旋度 在场中任取回路在场中任取回路L, 由安培定理：由安培定理：磁场为有旋场。磁场为有旋场。 ( )111( )( )( )J xJ xJ xJ xrrrr 000()LSSB dlIJ dSBdSBJ

9、00()()044VVJJBdVdVrr 04VJBdVr 0044VVJJBdVAAdVrr 证明：证明：利用公式：利用公式：( )111( )( )( )J xJ xJ xJ xrrrr ( )1111( )( )( )( )J xJ xJ xJ xJ xrrrrr 0000444VVSJJJ dSAdVdVrrr 22000311( )( )()( )444VVVrAJ xdVJ xdVJ xdVrrr 04VJAdVr 2()()BAAA 若若r0， ，只有当只有当r=0，上式才不为零。，上式才不为零。以以(x , y, z)为中为中心做一个小球体心做一个小球体V：在在V内可以认为内可

10、以认为J是均匀的，因此有是均匀的，因此有:因此有：因此有：0BJ 200330003244cos44VVSSJJrrAdVdVrrJJr dSdSJrr 3( /)0r r第三节 麦克斯韦方程组 静电场静电场 稳恒电流的磁场稳恒电流的磁场积分：积分：微分：微分：一、法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律 在磁场中取回路在磁场中取回路L，穿过，穿过L的磁通量为的磁通量为，感应电动势：，感应电动势： 若若L在空间固定，则：在空间固定，则： L 变化的磁场可以产生电场。变化的磁场可以产生电场。01;0;SVLE dSdVE dl 00;SLSB dSB dlJ dS 0;0;EE00;BBJ SL

11、SdddB dSE dlB dSdtdtdt ()LSSBE dldSEdStBEt 二、位移电流二、位移电流 因为因为: 对稳恒电流，符合要求。但一般情况下对稳恒电流，符合要求。但一般情况下: 这与电荷守恒定律矛盾这与电荷守恒定律矛盾为此，引入位移电流为此，引入位移电流JD。令：。令： 要求：要求： 因为：因为： 所以：所以：修改后方程：修改后方程： 变化的电场同样可以产生磁场；变化的电磁场可以互相激发。变化的电场同样可以产生磁场；变化的电磁场可以互相激发。00()0()0BJBJJB Jt 0()DBJJ ()0DDDJJJJJtt 00EEtt0DEJt 000EBJt 三、真空中的麦克

12、斯韦方程组三、真空中的麦克斯韦方程组四、洛仑兹公式四、洛仑兹公式 在静电场中，在静电场中，dV受力：受力： 力密度：力密度： 在稳恒磁场中，在稳恒磁场中， dV以速度以速度v运动，受力：运动，受力： 力密度：力密度： 在普遍的电磁场中，力密度：在普遍的电磁场中，力密度： 0EBEt 0B 000EBJt FdV EfEFdV vB fvB fEvBEJB 第四节 介质的电磁性质一、介质的概念一、介质的概念1、从微观上看介质是一个带电体，内部的场是不均匀的，从宏观上看，介、从微观上看介质是一个带电体，内部的场是不均匀的，从宏观上看，介质是电中性的，内部的场为零（讨论宏观量）。质是电中性的，内部的

13、场为零（讨论宏观量）。2、加上外场，介质发生磁化和极化，极化体电荷密度、加上外场，介质发生磁化和极化，极化体电荷密度p ，诱导的极化电，诱导的极化电流密度和磁化电流密度为：流密度和磁化电流密度为：Ji=Jp+JM3、介质中麦克斯韦方程组的形式：、介质中麦克斯韦方程组的形式：二、介质的极化二、介质的极化加外电场，极化强度矢量：加外电场，极化强度矢量： ，其中，其中， 是第是第i个分子的个分子的电偶极矩。电偶极矩。01()fpEBEt 0B 00()fMpEBJJJt 1iiPpV ipql 1、极化强度与极化体电荷密度的关系、极化强度与极化体电荷密度的关系 在介质中任取一闭面在介质中任取一闭面S

14、，在面元，在面元dS 上沿上沿l 方向向方向向S内取内取l ，这样就有了，这样就有了一个体元：一个体元： ，穿出，穿出dS 面的极化正面的极化正电荷：电荷： ，S面内的极化负面内的极化负电荷：电荷： 2、极化强度与极化体电流密度的关系、极化强度与极化体电流密度的关系l dS nql dSP dS ppSSVnql dSP dSdVP ()iiipqrq xxq xq xq x 111iiipiiiiiiPxPq xqq vJVtVtV pPJt dSlSlqqrxxqq3、极化强度矢量与电场强度的关系极化强度矢量与电场强度的关系 各向同性线性介质：各向同性线性介质： 各向异性线性介质：各向异性

15、线性介质： 对非线性介质：对非线性介质：三、介质的磁化三、介质的磁化1、磁化强度矢量、磁化强度矢量 单个分子的磁矩：单个分子的磁矩： 加外磁场，磁化强度矢量：加外磁场，磁化强度矢量：2、磁化强度与磁化电流的关系、磁化强度与磁化电流的关系 在介质中任取一回路在介质中任取一回路L，S是以是以L为周界为周界 L 的一个面，考虑穿过的一个面，考虑穿过S面的磁化电流。这个面的磁化电流。这个 电流一定是与电流一定是与L有交联的分子提供的，且只有有交联的分子提供的，且只有0ePE 0()ieijjjPE(1)(2)00()()eieijjijkjkjjkPEE Emia1iiMmV Sadliia 边缘有贡

16、献。在边缘有贡献。在L上取上取dl ，以，以dl 为轴，以为轴，以a 为上下底面作一个小圆柱体为上下底面作一个小圆柱体，其体积为，其体积为 ，体积元内的分子数为，体积元内的分子数为 ，这些分子与，这些分子与dl 交联交联。因此，穿过面的总电流强度：。因此，穿过面的总电流强度：四、介质中的麦克斯韦方程组四、介质中的麦克斯韦方程组令电位移矢量：，则令电位移矢量：，则对各向同性线性介质：对各向同性线性介质：a dlna dlIMLLSina dlM dlJdS MJM 001()()fpfpEPEP 0()DPE fD0ePE 000()(1)erDPEEEE 令磁场强度：令磁场强度： 对非铁磁质：

17、对非铁磁质： 介质中的麦克斯韦方程组为：介质中的麦克斯韦方程组为： 介质的电磁性质方程介质的电磁性质方程 0BHM 00()fMpEBJJJt MJM pPJt 0()DPE 0()fBDMJt fDHJt MMH 00(1)MrBHHH fDBEt 0B fDHJt DEBH JE 例：证明：穿过任一闭合面的自由电流和位移电流之和为零。例：证明：穿过任一闭合面的自由电流和位移电流之和为零。 证明：由方程：证明：由方程： 可得：可得：fDHJt ()()()0fSSVDJdSHdSH dVt 第五节 电磁场的边值关系一、法线方向的关系一、法线方向的关系 电场的法向分量：在界面处，取电场的法向分

18、量：在界面处，取扁平的圆柱面，有扁平的圆柱面，有S1=S2=S 因为圆柱侧面积因为圆柱侧面积S趋于零，因此上面式中等式右边的第三项为零。趋于零，因此上面式中等式右边的第三项为零。 类似地有：类似地有： 磁场的法向分量：磁场的法向分量：01()fpSVE dSdV 1212SSE dSESESE dS 2101()()nnfpSE dSEESS 2101()()fpnEEfSVD dSdV 21()fnDDpSVP dSdV 21()pnPP 0SJ dS 212121()()0nJJnEE 0SB dS 21()0nBB 121S2Sn二、切向分量二、切向分量 磁场的切向分量：取分界面的回路如

19、图：磁场的切向分量：取分界面的回路如图： 有有 ，且回路，且回路h很小。很小。 因为因为h和和S趋于零，趋于零， 所以：所以： 当当 h趋于零时，界面具有面电流。若趋于零时，界面具有面电流。若 : 若面电流方向不与切向垂直若面电流方向不与切向垂直: 2211ttLhH dlHlHlH dl fLSSDH dlJdSdSt 0hH dl 0SDdSt 21()fLSH dlHHlJdS ft ffSJdSl ()()fffSJdSnlnl 12lll nf2l 1l h21t所以：所以：因为因为 可以任意，所以：可以任意，所以：上式两边用上式两边用n 矢乘可得：矢乘可得：类似地有：类似地有： 电

20、场的切向分量：电场的切向分量：21()fnHH 000fMLSSSDB dlJdSJdSdSt MLSM dlJdS 210()()fMnBB 21()MnMM LSBE dldSt 21()0nEE21()()fHHlnl 212121()()()HHHHHH 2121()()HHlHHl 21()fHHn l例：半径为例：半径为a的金属球均匀地带有电荷的金属球均匀地带有电荷Q，被半径分别为，被半径分别为b、c，介电常，介电常数分别为数分别为1 和和2 两个同心介质球层包围，求：两个同心介质球层包围，求：（1）空间的场强；）空间的场强； （2）分界面上极化电荷的面密度；）分界面上极化电荷的面

21、密度；（3）两介质中极化电荷的体密度；（）两介质中极化电荷的体密度；（4）总极化电荷。）总极化电荷。解解：（：（1）球对称，介质中高斯定理：）球对称，介质中高斯定理： ra： E=0; ar b： brc： (2) fSVD dSdV 131Q4rEr232Q4rEr330Q4rEr2112()()pnnnPPPP 0()DPEE 0()PE abc12Q r=a时，时，r=b时时,r=c时，时，（3）arb, brc, （4） 20122Q()4nPc20nP 20322Q()4pc101131Q()0(0)4prPrr 202232Q()0(0)4prPrr 123Q0ppapbpcSSS

22、10121Q()4nPb20222Q()4nPb02221Q11()4pb10nP 10210121Q()()4nnr aPEa10121Q()4pa 例：圆柱形均匀极化介质，极化强度为例：圆柱形均匀极化介质，极化强度为P，（，（1）P平行于圆柱的轴；平行于圆柱的轴；（2） P垂直于圆柱的轴；求两种情况下的极化电荷分布。垂直于圆柱的轴；求两种情况下的极化电荷分布。解：体内：解：体内： 因为因为P为常量，所以：为常量，所以： 分界面分界面：（1）选柱坐标系）选柱坐标系z与与P同向：同向：侧面：侧面： 上底面：上底面： 下底面：下底面：（2）选柱坐标系）选柱坐标系x与与P同向：同向：上下底面：上下

23、底面：侧面：侧面： pP 20nP12()pnnPP0p10nP 0ppP20nP1nPP20nP1nPP pP 20nP10nP 0p20nP1cosnPPcospPzP xzP 例：均匀磁化的球形磁化介质，磁化强度为例：均匀磁化的球形磁化介质，磁化强度为M, 求磁化电流的分布。求磁化电流的分布。解：选球坐标系的解：选球坐标系的z与与M同向：同向：体内：因为体内：因为M为常数，由为常数，由 球面：球面：MJM 0MJ 21()MnMM 20M 1zMMe 1sinMznMMn eMe zoM 第六节 电磁场的能量和能流一、能量守恒的一般表示式一、能量守恒的一般表示式 场有能量，用场有能量，用

24、w表示场能密度，场能可以传输，用表示场能密度，场能可以传输，用S表示能流密度，即表示能流密度，即单位时间单位面积传输的能量：单位时间单位面积传输的能量：S=wv，其中，其中v是传播速度。是传播速度。 考虑区域考虑区域V， V中有中有J、，J=v 。 洛仑兹力密度：洛仑兹力密度： 场对电荷做的功率：场对电荷做的功率： 单位时间内场能的增加：单位时间内场能的增加： 单位时间通过单位时间通过S面进入面进入V的能量：的能量：fEvB ()Vf v dV VdwdVdtSS d 根据能量守恒：根据能量守恒：若若V不变，则：不变，则：即：即：（1）V为全空间：为全空间： 能量的减少表现为对电荷做功；能量的减少表现为对电荷做功；（2）场不随时间改变：）场不随时间改变： 流进去的能量都对电荷做了功。流进去的能量都对电荷做了功。()()VVVwS dVf v dVdVt ()SVVdS df v dVwdVdt wSf vt wf vSt 0SS d ()VVdf v dVwdVdt 0wt()VSf v dVS d 二、二、w和和S的表示式的表示式利用公式：利用公式：与守恒定律形式比较可得：与守恒定律形式比较可得：（1）线性介质：）线性介质：()ff vEvBvE vJ