电动力学电子教案

1、电动力学电子教案第一章 电磁现象的普遍规律 本章主要是从基本实验定律出发建立麦克斯韦本章主要是从基本实验定律出发建立麦克斯韦方程组方程组,讨论边值关系及电介质的电磁性质方程和讨论边值关系及电介质的电磁性质方程和洛伦兹力公式洛伦兹力公式.这些内容是本书以后各章论述电磁这些内容是本书以后各章论述电磁场的理论依据。场的理论依据。1 电荷和电场xrRxxxr1、库仑定律、库仑定律OQQ相对于观察者静止的两个相对于观察者静止的两个点电荷之间的相互作用，点电荷之间的相互作用，在真空中的数学表示式为在真空中的数学表示式为2014QQFR30()4QQQQxxFxx电荷作用在电荷 上的力为库仑定律要求：库仑定

2、律要求：1 电荷必须是点性的；电荷必须是点性的；2 电荷相对于观察者电荷相对于观察者必须处于静止状态。必须处于静止状态。库仑定律的主要物理内容是：库仑定律的主要物理内容是：1库仑力是距离的平方反比定库仑力是距离的平方反比定律。律。2电荷在其效果上具有可加性。电荷在其效果上具有可加性。电场强度矢量定义电场强度矢量定义0( )( )F xE xQ一个静止点电荷激发的电场为一个静止点电荷激发的电场为30()( )4QxxE xxx若电荷连续分布在某一区域内若电荷连续分布在某一区域内3001( )()( )411( )4VVxxxE xdVxxxdVxx 2、高斯定理和电场的散度、高斯定理和电场的散度

3、001iVQE dSE dSdV高斯定理高斯定理依据矢量场散度的定义依据矢量场散度的定义0E3、静电场的旋度、静电场的旋度依据库仑定律，在点电荷激发的电场中任取一闭依据库仑定律，在点电荷激发的电场中任取一闭合回路，有合回路，有0E dl 根据矢量场旋度的定义根据矢量场旋度的定义0E静电场是无旋静电场是无旋场场例例 电荷电荷Q均匀分布于半径为均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。并由此直接计算电场的散度。解：以球心为原点作球坐标系，由于对称性，空间各点的电场解：以球心为原点作球坐标系，由于对称性，空间各点的电场强度沿径向，半径相同面上

4、场强大小相等。由高斯定理可知强度沿径向，半径相同面上场强大小相等。由高斯定理可知303044QrraErQrraEa当时当时计算电场的散度计算电场的散度ra当时321rrrr221（r）=0r3004QrEr因而因而33000344QQraEraa当时2 电流和磁场电流和磁场1、电荷守恒定律、电荷守恒定律电流区域内电流的分布是用电流密度矢量表示的。电流区域内电流的分布是用电流密度矢量表示的。电流密度和电流强度的关系为电流密度和电流强度的关系为( )( )SdIJ xdSIJ xdS在任何物理过程中，在任何物理过程中，“一个封闭系统内一个封闭系统内”的电荷不能凭空产生，也不能的电荷不能凭空产生，

5、也不能凭空消灭，这个规律称为电荷守恒定律。凭空消灭，这个规律称为电荷守恒定律。依据这个定律依据这个定律SVJ dSdVt 0Jt这是电荷守恒定律的积分形式。应用高斯定理即得微分形式这是电荷守恒定律的积分形式。应用高斯定理即得微分形式在恒定电流情况下，方程为在恒定电流情况下，方程为0J2、毕奥-萨伐尔定律03()4LLIdlI dlxxFxx 在真空中回路电流在真空中回路电流I作用在回路电流作用在回路电流I上的的力为上的的力为称为安培定律称为安培定律IxrIdlI dl xrRxxI电流激发磁场，磁场对位于场中的电流施电流激发磁场，磁场对位于场中的电流施力作用。力作用。改写安培定律为改写安培定律

6、为03()4LLI dlxxFIdlxx ( )B x方括号中的量是描写磁场特征的量，通常称为磁感应强度矢量。用矢量表示03()( )4LI dlxxB xxx 这一关系式称为毕奥这一关系式称为毕奥-萨伐尔定律萨伐尔定律对于分布电流对于分布电流30301( )4( )4VBj xd xxxj xd xxx 3、磁场的环量和旋度、磁场的环量和旋度30330( ) ()41( )4VVj xxxBd xxxj xd xxx 对此式两对此式两边取旋度边取旋度303230033002300( )411( )( )441( )( ) ()4( )( )( )4Sj xBd xxxj xd xj xd x

7、xxxxj xd xj xxx d xxxj x d xj xd xj xxxxx 3()xx d x0( )( )B xj x相应的积分形式是相应的积分形式是30( )4j xBd xxx将两边取散度0LSB dlj dS0B积分形式积分形式0SB dS 01fR例题 ：一个半径为 的均匀带电的薄导体球壳，以恒定速度 绕一直径转动，其面电荷密度为。求球心处的磁感应强度矢量。dBdS0RxyzO解解:由转动引起的等效面电流分布由转动引起的等效面电流分布00sinffzRffeR eRedS 电流元在球心处激发的磁感应强度为0030004sin4ffdSRdBRdSR R（-e ）（-e ）利用

8、球坐标基矢与笛卡儿基矢的关系得利用球坐标基矢与笛卡儿基矢的关系得20000223000000cossincos4sinsincossin23fxyzfzRBdd edd edd eR e 例题例题2 一个半径为一个半径为a的通有稳恒电流为的通有稳恒电流为I的无限长中空圆柱体的无限长中空圆柱体,其中空部分其中空部分也是圆柱形也是圆柱形,半径为半径为b,但二者不同轴但二者不同轴,其中心距为其中心距为c.求求:(1)空间各点的磁场空间各点的磁场B(2)空间各点处空间各点处B的散度及旋度的散度及旋度2x1x( )P xRaBbB( ,0)O cboR解解:将系统看成两个柱体将系统看成两个柱体,通以电流

9、密度通以电流密度大小相同而方向相反的电流大小相同而方向相反的电流,其中半径其中半径为为a的柱体电流与原电流同向的柱体电流与原电流同向,由安培环由安培环路定律知路定律知2022022()2 ()0()2 ()2a IeR aabRaaIReR aabIBeR2022022()2 ()0()2 ()()2b IeRbabRbbIReRbabIBeR所求磁场为所求磁场为2212222121211222221212()()()baababB xB xBBBexcxxxB xB xcexxxcx2201122222212122112222212122022 1222212211222122 ()()()

10、() 12 ()()()()RaIabBeabxxxcxa xxcexxxcxRbRaIbBx eabxcxbxcxexcx 当时当，时032222 ()RbRaIBeab 当，时(2)对于磁场散度和旋度对于磁场散度和旋度,直接运算有直接运算有123130202200()zBBBBBIBejab 3 麦克斯韦方程组sdB dSdt 1、电磁感应定律、电磁感应定律在任何一个闭合导体回路内产生的感应电动势只与穿过回路所在任何一个闭合导体回路内产生的感应电动势只与穿过回路所围面积的磁感应通量的时间变率成正比，而与其它因素无关。围面积的磁感应通量的时间变率成正比，而与其它因素无关。在真空中的数学表示为

11、在真空中的数学表示为负号是楞次定律的数学表示负号是楞次定律的数学表示导体中电荷的定向运动总是电场推动的导体中电荷的定向运动总是电场推动的lsdE dlB dSdt 若回路不动，则式中对时间的全导数可以用偏导数表示若回路不动，则式中对时间的全导数可以用偏导数表示BEt lsBE dldSt 应用斯托可斯定理应用斯托可斯定理2、位移电流、位移电流00BJJ在稳恒电流情况下在稳恒电流情况下但在非稳恒情况下，安培环路定律和电荷守恒定律不相容但在非稳恒情况下，安培环路定律和电荷守恒定律不相容考虑到电荷守恒定律和时变电荷与时变电场的关系考虑到电荷守恒定律和时变电荷与时变电场的关系00jEt0()0Ejt安

12、培环路定律可表示为安培环路定律可表示为00000()ffEEBJJtt 上式的积分式为上式的积分式为00()flsEB dlJdSt位移电流位移电流0DEJt位移电流的实质是电场的时间变率位移电流的实质是电场的时间变率例题例题1 设有一个球形对称分布的电流，由球心的时变电荷源设有一个球形对称分布的电流，由球心的时变电荷源Q(t)流出，其电流方向都是沿径向的。试求由这电流分布产生的磁场。流出，其电流方向都是沿径向的。试求由这电流分布产生的磁场。解解:由于电流沿径向外流由于电流沿径向外流,故在球心处必有一电荷源不断地产生电荷故在球心处必有一电荷源不断地产生电荷.用一个半径为用一个半径为r的球面包围

13、球心的球面包围球心.则根据电荷守恒定律，在这个球内则根据电荷守恒定律，在这个球内的电荷变化率为的电荷变化率为24VVSQdVJdVttJ dSr J 314rQ rJJet r 因此电流分布为因此电流分布为而而Q在球面上任一点的电场为在球面上任一点的电场为304QrEr位移电流为位移电流为0314DEQ rJtt r每一点处每一点处,位移电流刚好抵消传导电流的磁效应位移电流刚好抵消传导电流的磁效应.因此不产生磁场。因此不产生磁场。例题例题2、试对导体中的位移电流做一估计、试对导体中的位移电流做一估计解：设在导体中的交变电场为解：设在导体中的交变电场为0cosEEt导体中任一点处的电流瞬态分布为

14、导体中任一点处的电流瞬态分布为00cossinfDJEEtEJEtt 它们的振幅之比为它们的振幅之比为1701521010rDfJffJf 当频率低于光波频率赫兹时，在良导体中位移电流与传导电流的相比是微不足道的。3 麦克斯韦方程组描写真空中电磁场运动规律的基本方程描写真空中电磁场运动规律的基本方程00000BEtEBJtEB 与微分方程组相应的麦克斯韦方程组的积分形式是与微分方程组相应的麦克斯韦方程组的积分形式是0010llsVsBE dldStEB dltE dSdVB dS 0（J+） dS4 洛伦兹力公式efE电荷受电场力作用，力密度为电荷受电场力作用，力密度为静磁场对电荷的作用，力密

15、度为静磁场对电荷的作用，力密度为mfvBJB电磁场对处于其中的电荷的作用力为电磁场对处于其中的电荷的作用力为fEvBEJB一个带电粒子所受的洛伦兹力为一个带电粒子所受的洛伦兹力为FeEevB式中式中e是粒子所带电量，是粒子所带电量，v是运动速度是运动速度例题例题1、证明（、证明（1）麦克斯韦方程组是内在一致的方程组）麦克斯韦方程组是内在一致的方程组 （2）麦克斯韦方程组中散度方程对旋度方程的限制作用）麦克斯韦方程组中散度方程对旋度方程的限制作用00000BEtEBJtEB 证明（证明（1）根据麦克斯韦方程组）根据麦克斯韦方程组对一式两边取散度对一式两边取散度()()0EBt 因此因此1BC0B

16、表明表明B的散度与时间无关的散度与时间无关可以取可以取与四式相比较，可见四式是一式的特例，二者之间无矛盾与四式相比较，可见四式是一式的特例，二者之间无矛盾对二式两边取散度，并应用电荷守恒定律对二式两边取散度，并应用电荷守恒定律020()0EtEC与三式比较，可见三式是二式的特例，二者之间无矛盾。与三式比较，可见三式是二式的特例，二者之间无矛盾。例题例题2 电磁场由相互垂直的均匀电场电磁场由相互垂直的均匀电场E和均匀磁场和均匀磁场B构成。一个电子构成。一个电子以速度以速度v垂直进入此电磁场内，求电子运动的轨迹。垂直进入此电磁场内，求电子运动的轨迹。1xB2xE3xv123,EEe BBe vve

17、 解：设解：设13231(1)0(2)(3)eEeBxxmmxeBxxm 电子在电磁场中的运动方程为电子在电磁场中的运动方程为1231230,0,0,txxxxxxv当时（4）20 x （5）31eBxxCm 由（由（2）和（）和（4）知）知由（由（3）得）得31eBxxvm （6）eBm根据（根据（4）得）得将（将（6）代入（）代入（1），并设定），并设定211exxm （E-vB）112sincosxCtCt 12exm （E-vB）其通解为其通解为11112sincosexxxCtCtm（E-vB）特解为特解为由此可知由此可知120eCEvBm2，C（）由（由（4）知）知所以所以121

18、cosexEvBtm （）（） （7）31 cosexvEvBtm（）（）33sinexvEvBEvBtCme1（）t-（）m由（由（7）和（）和（6）知）知32sinexvtEvBtm（）（ t） （8）由（由（4）知上式常数为）知上式常数为0，所以，所以21230sineREvBmxRxxvtRtt 令（），则（5）（7）（8）三式可写成（1-cos t）（）电子的运动轨迹是在电子的运动轨迹是在x1x3平面内的一条摆线。平面内的一条摆线。例题例题3 在无限大接地金属板前在无限大接地金属板前h处有一点电荷处有一点电荷+q.求求 (1)金属板面上的感应电荷分布金属板面上的感应电荷分布 (2)板

19、面上感应的总电荷板面上感应的总电荷解解 (1) 设在板面上任意一点设在板面上任意一点P处的感应面电荷密度为处的感应面电荷密度为,则此电荷则此电荷 分布与点电荷分布与点电荷q在板内紧邻在板内紧邻P点处产生的迭加电场的法向分量点处产生的迭加电场的法向分量 为零为零,于是于是200322 3 204222 ()qhrrqhqhrhR 因此得因此得(2)在板面上以在板面上以A为中心为中心,R为半径取一宽度为为半径取一宽度为dR的环带的环带,则金属板则金属板上的总感应电荷为上的总感应电荷为22 3 2002()RdRQRdRqhqhR 4 介质的电磁性质 ipPV1 关于介质的概念关于介质的概念2 介质

20、的极化介质的极化极化强度矢量极化强度矢量单位体积内电偶极矩的矢量和单位体积内电偶极矩的矢量和束缚电荷分布与电极化强度矢量是从不同侧面来描写介质束缚电荷分布与电极化强度矢量是从不同侧面来描写介质极化情况的物理量极化情况的物理量,它们之间应该有一定的联系它们之间应该有一定的联系.pVSpdVP dSP 微分形式微分形式n1n2n22P1P1SSpVSdVP dS 21nnn 21PP n SP n SNS 21()Pn PP 各向同性的均匀介质各向同性的均匀介质0ePE 3、介质的磁化、介质的磁化磁化强度矢量磁化强度矢量imMVMSlJdSM dl磁化电流与磁化强度矢量的关系磁化电流与磁化强度矢量

21、的关系其积分形式其积分形式MJM 21nl0n2n1021()mJnl hMMl 21()mnMM对于各向同性的非铁磁性物质对于各向同性的非铁磁性物质01mmBM在两种介质的分界面上在两种介质的分界面上介质中的麦克斯韦方程组介质中的麦克斯韦方程组在论及介质中的宏观电磁运动规律时在论及介质中的宏观电磁运动规律时000()0fpMfpBEtEBJJJtEB PPMPPJJMt 考虑到考虑到000()()()0ffBEtBMJEPtEPB 00DEPBHM电位移矢量电位移矢量磁场强度矢量磁场强度矢量0BEtDHJtDB 介质中的麦克介质中的麦克斯韦方程组斯韦方程组积分形式积分形式()0llsVBE

22、dldStDH dlJdStD dSdVB dS 对于各向同性的介质对于各向同性的介质,001eeeBPEM 00(1)(1)ee考虑电位移矢量和磁场强度定义式以及考虑电位移矢量和磁场强度定义式以及DEBH可知可知001(1)例题 证明（1）在均匀电介质内部，极化电荷密度总是等于该点处自由电荷密度的倍；（2）在均匀磁介质内部，在稳恒情况下磁化电流密度总是等于该点处自由电流密度的（-1）倍。00(1)PffPfPDDEE 证：（1）介质是均匀的，因此有（）E由及知所以0fMtHJJM 0f00（2）在稳恒条件下，磁场的旋度利用M=（-1）H知（-1）H=（-1）J例题例题2 一半径为一半径为a,

23、介电常数为介电常数为的介质小球的介质小球, ,位于一磁感应强度为位于一磁感应强度为B B的的均匀磁场中。小球以恒定角速度均匀磁场中。小球以恒定角速度绕与绕与B B平行的直径转动。求平行的直径转动。求: :(1)(1)小球的极化强度矢量小球的极化强度矢量(2)(2)极化电荷分布极化电荷分布(3)(3)小球上的总极化电荷小球上的总极化电荷Ba1x3x2xR( )P xrO3BBe解：以球心为原点作坐标系，取。（1）由于小球在磁场内转动，球内任一点的动生电场为1 12 2()()EvBrBB rBx ex e小球极化强度矢量为小球极化强度矢量为001 12 2()()()PEBx ex e(2)极化

24、电荷分布极化电荷分布021202()()()sinPPPBn PPn PB a 体分布体分布面分布面分布(3)小球上的总极化电荷小球上的总极化电荷23300002()()sin0PPPVSVQdVdSBdVB add 5 电磁场的边值关系 在两种介质的分界面处在两种介质的分界面处,一般会出现面电荷电流分布，它们激发一般会出现面电荷电流分布，它们激发附加的电场和磁场，致使界面两侧的场量发生突变，麦克斯韦方程附加的电场和磁场，致使界面两侧的场量发生突变，麦克斯韦方程组的微分形式就失去意义组的微分形式就失去意义.将积分形式的麦克斯韦方程应用于分界面上将积分形式的麦克斯韦方程应用于分界面上212121

25、21()0()()()0nEEnHHn DDn BB切向分量切向分量法向分量法向分量界面两侧的电流之间的关系界面两侧的电流之间的关系21()n JJt 21()0n JJ在稳恒情况下在稳恒情况下6 电磁场的能量和能流电磁场的能量和能流3333()VVVVf vd xEvB vd xv Ed xJ Ed x 1、电磁场能量与能量守恒和转化定律、电磁场能量与能量守恒和转化定律 令在电磁场中以令在电磁场中以S为界面的区域为界面的区域V内，有以速度内，有以速度v运动着的电荷运动着的电荷分布分布。运用麦克斯韦方程运用麦克斯韦方程DJHt 33()()()()()VVSDJ EEHEtDEHHEEtBDE

26、HHEttDBJ Ed xEHd xEH dStt 于是于是2、电磁场能量密度和能流密度矢量、电磁场能量密度和能流密度矢量考虑各向同性的均匀介质考虑各向同性的均匀介质1()21()2DBEHE DH BtttwE DH B 定义定义电磁场的能量转换与守恒定律可写成电磁场的能量转换与守恒定律可写成33VVSdJ Ed xwd xEH dSdt 电磁场能电磁场能量密度量密度考虑全空间考虑全空间33VVdJ Ed xwd xdt 220011()2wEB在真空中在真空中考虑电磁场中一个有限区域内考虑电磁场中一个有限区域内33VVSdJ Ed xwd xEH dSdt 考虑区域内无电荷电流分布，并令考

27、虑区域内无电荷电流分布，并令3VSEHdwd xS ndSdt S为电磁场能量流密度矢量为电磁场能量流密度矢量在真空中在真空中01SEB题目题目 同轴传输线内导线半径为同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为，外导线半径为b，两导线间为绝缘，两导线间为绝缘介质。导线载有电流介质。导线载有电流I ，两线间电压为，两线间电压为U。求：。求：（1）忽略导线电阻，计算介质中的能流）忽略导线电阻，计算介质中的能流S和传输功率和传输功率（2）考虑内导线的有限电导率，计算通过内导线表面进入内导线的）考虑内导线的有限电导率，计算通过内导线表面进入内导线的能流。证明它等于导线内的损耗功率能流。证明它等于导线内的损

28、耗功率ba解解:(1)沿电流方向以导线的轴线为沿电流方向以导线的轴线为z轴取柱坐轴取柱坐标系标系,由安培环路定律知由安培环路定律知()2IHearbr设载流导线表面电荷线分布为设载流导线表面电荷线分布为, ,介质内电场分布为介质内电场分布为2rEer两导线间的电压为两导线间的电压为2lnlnrUUEeb arb aln22bbaadrbUEdrra212 lnzUISEHeb a r因此因此介质内的能流为介质内的能流为通过两导线间环状截面积的传输功率为通过两导线间环状截面积的传输功率为2lnbbaaUIdrPSrdrUIb ar(2)设内导线的电导率为设内导线的电导率为,导线内的电场分布为导线

29、内的电场分布为2zJIEea21()0nEE2zr aIEea2222322rzzrr aIISEHeeeaa 由边值关系由边值关系得内导线与介质分界面的介质一侧得内导线与介质分界面的介质一侧内电场的切向分量为内电场的切向分量为沿径向进入导线内的分量沿径向进入导线内的分量2222rlPSa lII Ra 流进长度为流进长度为l的导线内的功率为的导线内的功率为这正是这段导线上损耗的功率这正是这段导线上损耗的功率例题例题2 有一圆形平行板电容器，如图示有一圆形平行板电容器，如图示.证明证明:在充电过程中，电磁场输入在充电过程中，电磁场输入的功率等于电容器内静电场的增加率的功率等于电容器内静电场的增

30、加率(不记边缘效应不记边缘效应).解解:设电容器极板的半径为设电容器极板的半径为a,两板间的距离为两板间的距离为l,取取柱坐标系柱坐标系.不记边沿效应，两极板间的电场是均匀的不记边沿效应，两极板间的电场是均匀的,设设在时刻在时刻t,电场为电场为zEEe2dEH dladt2DSSDDdDdEIdSdSdSattdtdt此刻两极板间的位移电流为此刻两极板间的位移电流为传导电流为传导电流为0zIEH由上式可知由上式可知12dEHaedt21()4rr ar adSEHa Eedt 2212()2dPSala lEdt在电容器侧面上一点处的能流密度矢量为在电容器侧面上一点处的能流密度矢量为从侧面进入

31、电容器的总功率为从侧面进入电容器的总功率为第一章习题第一章习题1()()()()()()()()()()()()()(yyxxzzxyzxyzxyzyyxzzxyzBABAABABAAAAAAB iB jB kijkyzzxxyBBBA iA jA kxyzBBBBBA iA jA kijyzzxx )()()xxyzxyzBkyAAAB iB jB kxyz()()()()()yxxzyzxxxxyzyxxzyzxxxxyzxxyyzzAAAABBxyzxAAABBBxyzBBBBAAxyzxBBBAAAxyzA BA BA Bx其中其中x分量的形式分量的形式第2章 静电场 静电场和静磁场是

32、研究时变场的基础。本章主要问题是在静电场和静磁场是研究时变场的基础。本章主要问题是在给定静止电荷分布给定静止电荷分布(或给定外场或给定外场)以及周围介质和导体的分布情以及周围介质和导体的分布情况下，求静电场况下，求静电场.1静电场的标势及其微分方程静电场的标势及其微分方程在静止情况下在静止情况下,麦克斯韦方程组为麦克斯韦方程组为000EDHB0ED2121021()0()()ffPnEEn DDwnEEwwfE静止情况下的场方程静止情况下的场方程相应的边值关系为相应的边值关系为12wE D 力密度力密度能量密度能量密度( )Ex 0E00( )()( )PPxxE x dl 因为因为引入标量函

33、数表示电场引入标量函数表示电场根据梯度定义根据梯度定义,可得场中任意两点间的电势差为可得场中任意两点间的电势差为( )0PxE dl( )0 选择无限远处为参考点选择无限远处为参考点,并规定并规定电场中任意一点势能为电场中任意一点势能为( )x303001( )( )4( )1( )41( )()4VVVxxd xrxxxE xdVxxx dVxx 给定电荷分布给定电荷分布电势分布电势分布电场强电场强度为度为1BR232例题：一个带电荷Q，内外半径分别为R 和R 的导体球壳 ，同心地包围着一个半径为 （R ）于是得于是得A上的感应电荷为上的感应电荷为(2)壳壳B外空间的电势分布为外空间的电势分

34、布为023210123011()411()()411()()4BABQQQQRRRQRRRRRQRRRRR壳壳B与球与球A之间的区域内电势分布为之间的区域内电势分布为壳壳B内部是一个等势区内部是一个等势区,由边值关系可得其电势由边值关系可得其电势330123023()4( )( )()40()QQ RRRRQRE xxRRRRRRR 空间各点的电场分布为空间各点的电场分布为2、静电势的微分方程和边值关系202 在均匀的各向同性的介质中在均匀的各向同性的介质中区域无电荷分布时区域无电荷分布时2121()0()nEEn DD在介质分界面上场量满足的边值关系是在介质分界面上场量满足的边值关系是电势应

35、该满足相应的边值关系电势应该满足相应的边值关系212121(1)(2)sssnnCn 在两种介质的分界面上电势是连续的在两种介质的分界面上电势是连续的在两种介质的分界面两侧电势的法向导数满足在两种介质的分界面两侧电势的法向导数满足导体表面上的边值关系为导体表面上的边值关系为3、静电场的能量对于线性介质对于线性介质1212VWE DdVwE D 能量密度能量密度112211()221122SWE DdVDdVDdVD dVdVD dS 1( ) ( )2SWxx dV分布电荷的静电场能量分布电荷的静电场能量1( )( )41( ) ( )8VxxdVrxx dVWdVr电势由电荷分布确定电势由电

36、荷分布确定于是总能量可以写成于是总能量可以写成2 唯一性定理唯一性定理:( )ssxVSnV唯一性定理 设区域V内给定自由电荷分布，在的边界 上给定（1）电势或（2）电势的法向导数，则 内的电场唯一地确定。2220ijijijijiijijSSjiijSSVVSnn 证明：设在区域 内存在两个不同的解和都满足唯一性定理的条件。令此解之差因为则 应满足在每个区域 内在两均匀区域的分界面上00iSSSSSSiiSVSnnnVdS 在整个区域 的边界 上或考虑在区域 内求积分0iiiiiiSViiSViiiVidSnVdSdVndV 2i22（） dV对 内所有区域求和，得（）（）因为被积函数因为被

37、积函数2()0i0CV内所有各点都有内所有各点都有于是于是有导体存在时的唯一性定理有导体存在时的唯一性定理2iiiSiSSSVniQdSnVn i唯一性定理：设区域V内有一些导体，给定导体之外的电荷分布 ，给定各导体上的总电荷Q以及 的边界S上的 或值，则V内的电场唯一地确定。也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程在第 个导体上满足总电荷条件和等势面条件常量以及在 的边界S上具有给定的或值3拉普拉斯方程 分离变量法静电场的基本问题四求解满足边界条件的拉普拉斯方程的解静电场的基本问题四求解满足边界条件的拉普拉斯方程的解求解时考虑的步骤求解时考虑的步骤22222222222222111(

38、)(sin)0sinsin( , , )( ) ( , )1111()(sin)sinsin1(sin)0sinuuurrrrrru rR r YddRYYrR drdrYYddRdrdrYYY 2在球坐标系中拉普拉斯方程为设试探解为，代入上式（r）- R=01sin222222222( )( )sin1(sin)sin0sin(sin) sin01012 3Ydddmddddmdddmddl ll 进一步分离，令令（）， ， ，2221212221121010cossin012 3lld RdRrrl lRdrdrRrllBR rArrdmdAmBmm 考虑径向方程（）令，代入上式，（）径向

39、方程的通解为（ ）考虑方程通解为（ ）， ， ，222222220021132(1)2(1)010(1)2(1)0( )(1)20(1)260()(1)(2)(1)kkkkkd ydymxxl lydxdxxmd ydyxxl lydxdxy xc xl lccl lccckl klcckk 考虑 （ ）满足的方程当时设方程有幂级数解0011212220( )( )( )(2 )!2 ( !)(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lllklkllky xc yxc y xlcllkP xxk lklk或幂级数解可写成通常约定00111011( )( )( )()() (cos )2(

40、)( )21llllkmnmny xc yxc y xBu rArPrP x P x dxn幂级数解可写成拉普拉斯方程的解为，勒让德多项式的正交归一性为关于用分离变量法求解静电场问题关于用分离变量法求解静电场问题一、基本问题及依据一、基本问题及依据1、静电场的基本问题是求满足边界条件的拉普拉斯的解、静电场的基本问题是求满足边界条件的拉普拉斯的解2、理论依据是唯一性定理和叠加原理、理论依据是唯一性定理和叠加原理二、求解时的考虑步骤二、求解时的考虑步骤1、场源电荷的分布情况、场源电荷的分布情况2、正确完整地写出定解条件、正确完整地写出定解条件3、视具体的边界形状选择合适的坐标系、视具体的边界形状选

41、择合适的坐标系三、定解条件三、定解条件1、各均匀区域内电势所满足的方程、各均匀区域内电势所满足的方程200000cosrrrE R边界条件自然边界条件，有限均匀场边界条件边值关系边值关系212121SSSSSSnnCn ，介质介质导体导体001fRQE例题 一个半径为 ，带有电荷的导体球，置于均匀外电场中。求空间中的电势及电场分布以及球面上的电荷分布及总电荷。r0Rz0E解:带电导体球放入电场中时，导体上电荷将重新分布.除原来电荷外还有感应电荷,达到静止时,导体球是一等势体球外空间的电场由球上感应电荷及原来电荷激发的场与外来场迭加构成根据边界形状，以球心为原点过球心沿外场方向取球坐标系.球外空

42、间无电荷分布，电势满足0020000000cos0(cos )(5)rr Rfr RnE rErdSQn0nnnnn+1（1）（2）式中是未放入导体球前，电场在处的电势值，边值关系为（3）（4）因场具有绕极轴的旋转对称性，（1）式通解为b(a r +)Pr101000100010001000000(2)()(cos )cos()(cos )(cos ),0(1)(5)cos(cos )(6)(3)cos(cos )nnnnnnrrnrnnnnnnnnnba rPErra rPE rPaaE anbE rPrbE RPR 由条件得根据勒让德多项式的正交性得根据式得由条件知0n3000010030

43、0000020000000000300002000()0(1)(6)()coscos(7)1cos()2cos4(7)( , )coscos4nfffbRbR EbnRR EE rrrEdSdSEdSQRQRQR ErE rrrE代入式得于是得代入式得空间的电势分布为30030(8)4fQR E rrrr0032000035000000( , )3()43cos3cosffr Rr RffE rRE r rr EQ rErrn Dn EEQdSdSEdSQ 电场分布为球面上电荷分布为总电荷为例题例题2 导体尖劈带电势导体尖劈带电势V，分析它的尖角附近的电场，分析它的尖角附近的电场2222222

44、2220211()0( ) ( )0zzrrrrrR rd ydyrrRdrdrdd 解：用柱坐标系，取 轴沿尖边。设尖劈以外的空间，即电场存在的空间为。因不依赖于 ，柱坐标下的拉普拉斯方程为设方程的特解为：则000000000(ln )()()(cossin)0,0,0(0)0020 sin2ABr CDA rB rCDVrA CV BCrBBVrD的通解为各待定常数和 的可能值都由边界条件确定在尖劈面上，与 无关，所以因时 有限，得在尖劈面上，有，与 无关， （）=011111111111112sin0sinsin1cosnnnnnrnVA rrVArEArrEArr 的可能值（n=1，2

45、，3）在尖角附近电场10001011nEEEAr 尖劈两面上的电荷面密度为（ =0）（ =2 - ）第四节第四节 镜像法镜像法 在实际静电问题中有一种简单重要的特殊情况。在区域内只有简单的电荷分布,区域的边界是导体面或介质面。这时可用一个或几个假象的点电荷等效地代替实际导体上(或介质上)的真实电荷进行求解.这种方法称为电像法.例题1 接地无限大平面导体附近有一点电荷Q,与平面的距离为a.求(1)空间中的电场;(2)导体面上的感应电荷(3)导体和点电荷之间的相互作用(0,0, )Qa( )P x1x2xrrx(0,0,)Qa3x333330(0,0, )0000,0.0 xaxxxEx解：设导体

46、面为平面，点电荷位于处。（1）空间中的电场由点电荷Q及导体平面上的感应电荷共同激发。导体面将空间分成和两部分。由于静电屏蔽的结果在区域内无电场，即在的区域内有点电荷存在，电势满足3321233000,)(0)(1)0(2)0(3),(0,0,)1( )()(4)4xxQx xxaxQQQaQQxrr （根据唯一性定理 显然要求像电荷位于点上,因此上方空间的电势(4)式满足唯一性定理的全部要求，它是所求的解.将数据代入(4)式,有333222222012312303300333320022201211( )(5)4()()11()4()42xxxQxxxxaxxxaQwxxrrxaxaQQarr

47、rrxxa 式中(2)导体面上的电荷分布为300220222200221()14(2 )16SQaR dRQwdSrQaQQRaQQFaa 导体面上感生的总电荷为(3)导体面与点电荷Q的作用力002()(0,0, )(0,0, )RaRQzQaa例题 有一半径为的接地导体球，在距离球心为处有一点电荷 ，求：（1）空间各点的电势（2）导体球上的电荷分布（3）证明象电荷等于导体球上的感应电荷解：以对称轴为 轴，球心为原点建立坐标系，点电荷的坐标为（1）场由点电荷及球面上感应电荷共同激发。球内电势为0，球外区域除外无电荷分布，电势满足RrP(x)R。ObarQ(0,0,a)0200022222200

48、00()()(1)0(2)0(3)( )1()(4)42cos2cosRR RQxaRRQP xQQrrQQRaaRRbbR 象电荷应满足上述全部条件，于是空间点的电势将(4)代入(3)式可得222222002220002222020()(),(6)1()(7)42cos2cosQRbQRaQ bQ aRRbQQaaR Q aQRaaRRbbRRba 由此二式解得所以球外空间的电势为02200223 2000222200223 20000004(2cos )()sin4(2cos )R RSaRQwnRRaaRQ aRdQwdSRdRRaaRRQQa (2)导体球上的电荷分布(3)球面上感生的

49、总电荷为5 格林函数SSVVSn本节要解决的问题是:给定 内电荷分布 和 的边界 上各点的电势或电场法向分量，求V内各点电势值。00( )0( )10( )( ) ( )(0)VVxxxx dVVxf xVf xx dVf函数是指具有以下性质的函数：积分区域 包含点函数的一个重要性质是对于任何一个连续函数， 包括原点在内，有00()()1( ) ()( )VVxxxxxxxxxxx dVxVxxVxf xxx dVf x将坐标原点平移到并且对任何一个在附近连续的函数，若 包括在内，都有202.1( )()VxVxxx 格林函数设在区域 内点 处有一个单位点电荷，则区域的电势满足泊松方程满足边界

50、条件的这个单位点电荷的泊松方程的解称为格林函数。按照边界条件的不同，一般有两类边值问题。00:1SSxVVVVSVnSV 第一类边值问题：设有包含 点的空间区域 ，在 的边界S上有边界条件则满足这一边界条件的泊松方程的解称为泊松方程在区域 上的第一类边值问题的格林函数。第二类边值问题 在 的边界 上有边值条件则满足这一边界条件的解称为泊松方程在区域 的第二类边值问题的格林函数。2220022211( ,)4()()()01( ,)04111( )0G x xxxyyzzxG x xrrrrrrr r 无界空间的格林函数证明：为计算方便，令。在球坐标中，在处，直接计算2222 1 2022 1

51、222 3 20022 3 222 3 2022222 5 20010,11lim()1limlim()()11lim()()33limlim()aaaaaarrdVdVrrardVdVrararr dVraraaa r ddVdra 由于在点奇异 为此利用极限法22 5 20()rra2225 20221124(1)14( )14()raddVrxrxrxxxxr 作积分变换，上式变为所以有而在一般情况下，令原点在 ， 是到场点 的距离。222222022220002111( ,)4()()()()()()111( ,)42cos()2cosG x xxxyyzzxxyyzzG x xRRR

52、RRRRRRRRxy 上半空间的格林函数上半空间第一类边值问题的格林函数为球外空间的格林函数球外空间第一类边值问题的格林函数为其中22222,zRxyzxx是 与 的夹角3、格林公式和边值问题的解2( )0( )( ,)( ) ( ),()()SVSVSVxVxSVxG x xVxxdVdSnn 2第一类边值问题：设 内有电荷分布 ，边界 上给定电势，求 内的电势。与此问题相应的格林函数问题是： 内在 点上有一点电荷，边界 上给定电势，则 内电势的解为借助于关于点电荷的较简单的边值问题来解决较普遍的边值问题。设区域 内有两个函数有格林公式222222()()()()()()()VVSSdVdV

53、dSdSnn 证明：由于两式相减有两边积分20202211( ,)()( , )( )( )( , )( )( , )( )( , )VSGG x xxxG x xxxG x xdVxG x xxG x xdSnn 取 满足泊松方程取 为格林函数可得0( )( , ) ( )( )( , )VSxG x xx dVxG x x dSn 满足第一类边值问题的解为00( , )1( , )1SSGG x xxnG x xdSn 第二类边值问题，即给定的值。由于是点上单位点电荷所产生的电势，其电场通量在边界面上应等于。所以00( , )1( )( , ) ( )( )( , )xSVSSG x xn

54、SSxG x xx dVxG x xdSn 如果选取最简单的边界条件其中 是界面总面积，第二类边值问题的解为022220222211( , )422cos()12cos()aVG x xRzRzzzRRRzRzRR 例题1在无穷大导体平面上有半径为 的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆内电势为 ，导体板其余部分电势为0，求上半空间的电势。解：以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板垂直，R为空间点到z轴的距离。0003 222200( )( )( , )0122cos()SzzxxG x x dSnzzGGnzzRzRRR 因上半空间，上半空间电势为积分面积是无限大平面。法线沿方向。023 20

55、02223 222022 3 222002222022 3 200( )22cos()12cos()12()3( )12 ()aaaraGx dSnVzR dRdRzRRRV zRRRR dRdRzRzRzaV zxR dRdRz积分只需对部分进行当时，将被积函数展开22222222222022 3 2222222cos()2152cos()8()31512 ()48()RRRRzRRRRzV azaR aRzRzRz2aVV例题 一半径为 的导体球，被一极薄的绝缘介质分隔成两个半球，上半球电势为 ，下半球电势为，如图示。求球外的电势分布。xyz+V-Vr(r)r (r)解:因为给定的是球面边

56、界上的电势值,所以需要求球外空间的第一类格林函数.利用镜像法的结果,球外空间第一类格林为函数.22202222223 20022223 2111( ,)42cos()2cos()()4(2cos)( )( )1()( )4(2cos)raraG x xrrrrrrarraGGranra raarGxx dSna rardraar 2203.( )400fffffiReRQQQxQQR 均匀介质球的中心置一点电荷，球的电容率为 ，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。解：空间各点电势由与球面上的极化电荷所产生的电势迭加而成，以球心为原点建立球坐标系。电势满足泊松

57、方程产生的电势为球面上极化电荷激发的电势满足拉普拉斯方程（1）边界条件有限（2）（3）001001000()(cos )(2)(cos )(3)(cos )ieiennnnnnninnnnennnieRRRRba RPRa R PbPRbaR 由边值关系知：在处（4）（5）由(1)式知考虑考虑而空间电势为球对称，因此00000 0022200000000044(4) (5)441111()()44ffieffffQQbaRRRQQbbaRRRRQQbaR 空间各点的电势为由、 式知由上面二式得6 电多极矩1x( )P x2x3xxVdV( )xxr0( )1( )( )4VxVxx dVxxx

58、电荷分布在区域外任意一点 处激发的电势为12302310212312302000()()()() ()1()()2!1()() ()()(2!xxxxxxf xxf xxf xxxxxf xxxxxxxxf xxxxxf xxxf xxxf x根据泰勒公式，在点邻域内的展开示为02)1( )() ( )()( )2!xxf xxf xxf x12112222019.()1( )42cos2cosRRa aRQRRQQxRaRaRbRbQRQa 接地的空心导体球的内外半径为 和，在球内离球心为处置一点电荷 。用镜象法求电势。导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？解：由于接地导体球壳的

59、静电屏蔽作用，区域电势为零。球腔内其中象电荷1212110223 21111111()4 (2cos )0fR RfRbaaQ RRRRaRaRRQdsQRRQQD dSQQ 象电荷位置在球心与点电荷的连线上由于球壳及球外电场为零，感应电荷只能分布与内表面对的球面积分，得到总感应电荷或者，因为区域，电场为零，故由高斯定理得到2123011(),)0,(0,0,)saQb baQx xxbbQQ Qb 在接地的导体平面上有一半径为 的半球凸部（如图），半球的球心在导体平面上，点电荷 位于系统的对称轴上，并与平面相距为，试用电象法求空间电势。解：空间中的电场由点电荷Q及导体面上的感应电荷共同激发。

60、（a根据唯一性定理 球面要求象电荷Q =-Q,导体平面要求像电荷a位于点上,Q =Q因此上方空间的b电势2220222222222221( , , )4()()()()Qx y zxyzbQxyzbQabaxyzbQabaxyzb000022220200180220002(, )2RRRRR一半径为 的球面，在球坐标的半球上电势为，在的半球面上电势为，求空间各点的电势。解：以球心为坐标原点，极轴为z轴。在区域，电势的定解条件为020101120(cos )001 3 5(2)( 1)2 4 6(1)nnnnnnnbPRRRnbnRnn显然利用区间的正交性偶数奇数第3章 静磁场 1矢势及其微分方