1819 　2　21　一元二次不等式的解法

1、2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法学习目标：1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型(难点)2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系，会解一元二次不等式(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1一元二次不等式的有关概念阅读教材P78例1以上，完成下列问题含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式一元二次不等式形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的不等式(其中a0)，叫作一元二次不等式一元二次不等式的解使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解一元二次不等式的解集一元二次不等式的所有解组成的集合叫作这个一元二次不

2、等式的解集思考：(1)“2x23y10”是一元二次不等式吗？提示不是，因为不等式2x23y10中含有两个未知数x和y.(2)“3ax23x20”是一元二次不等式吗？提示不一定，当a0时，不是一元二次不等式；当a0时，是一元二次不等式2一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的关系阅读教材P78例1以下至P79小资料以上部分，完成下列问题判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图像判别式b24ac000一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两个不等的实根x1、2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实根不等式的解集f(x) 0x|xx1或xx2Rf(x)0x|x1xx2思考

3、：(1)若不等式ax22xb0的解集为(x1，x2)，那么a的符号如何？提示a0(2)若不等式ax2bxc0(a0)的解集为(x1，x2)，那么函数yax2bxc与x轴的交点是什么？方程ax2bxc0(a0)的根是什么？提示函数yax2bxc与x轴的交点是(x1,0)，(x2,0)，方程ax2bxc0(a0)的根是x1和x2.基础自测1判断正误(1)设一元二次方程f(x)0的两解为x1，x2，则一元二次不等式f(x)0的解集不可能为x|x1xx2()(2)不等式f(x)ax2bxc0(a0)的解集为空集，则f(x)0无零点()(3)一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集就是二次函数yax2

4、bxc(a0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合()解析(1)错误当f(x)二次项系数小于0时，f(x)0的解集是x|x1xx2，(2)(3)正确答案(1)(2)(3)2不等式2x25x30的解集是_. 【导学号：91022214】解析2x25x3(2x1)(x3)0，解得x或x3，故解集为x|x3或x答案x|x3或x3不等式x25x60的解集是_解析不等式x25x60可化为x25x60，即(x2)(x3)0，解得2x3，则解集为x|2x3答案x|2x34若不等式x2ax30的解集为(1,3)，则a_. 【导学号：91022215】解析由题知x11，x23是方程x2ax30的根，故a134.

5、答案4合 作 探 究攻 重 难一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)2x27x30；(2)4x218x0；(3)2x23x20；(4)x23x50.解(1)因为72423250，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2.又二次函数y2x27x3的图像开口向上，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为0，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为2x23x20，因为942270，所以方程2x23x20无实根，又二次函数y2x23x2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x26x100，(6)24040，所以方程x26x100无实根，又二次函数yx26x10的图像

6、开口向上，所以原不等式的解集为.规律方法解一元二次不等式的步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集跟踪训练1解下列不等式： 【导学号：91022216】(1)x25x60；(2)(2x)(x3)0；(3)4(2x22x1)x(4x)解(1)方程x25x60的两根为x11，x26.结合二次函数yx25x6的图像知，原不等式的解集为x|x1或x6(2)原不等式可化为(x2)(x3)0.方程(x2)(x3)0的两根为x12，x23.结合二次函数y(x2

7、)(x3)的图像知，原不等式的解集为x|x3或x2(3)由原不等式得8x28x44xx2.原不等式等价于9x212x40.解方程9x212x40，得x1x2.结合二次函数y9x212x4的图像知，原不等式的解集为.三个“二次”之间的关系已知一元二次不等式ax2bxc0的解集为(，)，且0，求不等式cx2bxa0的解集解法一：由题意可得a0，且，为方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系得a0,0，由得c0，则cx2bxa0可化为x2x0.，得0.由得0.，为方程x2x0的两根又0，0，不等式x2x0的解集为，即不等式cx2bxa0的解集为.法二：由题意知a0，由cx2bxa0，得x2x10.

8、将法一中的代入，得x2()x10，即(x1)(x1)0.又0，0. 所求不等式的解集为.规律方法三个“二次”问题的解法(1)已知一元二次方程的根，可以写出相应不等式的解集.反之，已知不等式的解集也可以写出相应二次方程的根，进一步可求得方程中的系数或得到系数之间的关系.(2)解决此类问题，要注意隐含条件的提取，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a0”这一关键信息，并由此得c0，从而解得不等式cx2bxa0.跟踪训练2已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2，求a，b的值解法一：由题意知x11，x22是方程ax2bx20的根，故，解得a1，b3.法二：由题意知x11，x22是方程ax2bx

9、20的根，由根与系数的关系得，解得a1，b3.含参数的一元二次不等式的解法探究问题1不等式(xa)(xa1)0的解集是什么？提示x|xa或xa12不等式x(ax1)0(其中a0)的解集是什么？提示当a0时，解集为；当a0时，解集为.3方程x2ax10是否有根？提示当a240，即a2或a2时，方程x2ax10有根，当a240，即2a2时，方程x2ax10无根4不等式x2ax10的解集是吗？提示当a240，即a2或a2时，不等式的解集是；当a240，即2a2时，不等式的解集是.解关于x的不等式：ax2(a1)x10(aR)解原不等式可化为(ax1)(x1)0，当a0时，x1；当a0时，(x1)0，

10、x1；当a1时，x1；当1a0时，(x1)0，x或x1；当a1时，1，x1或x.综上，当a0时，原不等式的解集是x|x1；当a0时，原不等式的解集是；当a1时，原不等式的解集是x|x1；当1a0时，原不等式的解集是.母题探究：1.(变条件)把例3中的不等式换为：ax2x10(aR)，解此不等式解当a0时，不等式化为x10，解得x1，当a0时，方程ax2x10的14a0，则该方程有两个根，x1，x2，且x1x2，故不等式的解为x，当a0时，方程ax2x10的14a，若14a0，即a0时，方程ax2x10有两个根：x1，x2，且x1x2故不等式的解为x或x；若14a0，即a时，不等式化为x24x4

11、0，不等式的解为xR且x2，若14a0，即a时，方程ax2x10无解，则不等式ax2x10的解集为R.综上所述：当a0时，原不等式解集为，当a0时，原不等式的解集为x|x1，当a0时，原不等式的解集为，当a时，原不等式的解集为x|xR且x2，当a时，原不等式的解集为R.母题探究：2.(变条件)把例3中的不等式换为：x2(aa2)xa30，解此不等式解原不等式可化为(xa)(xa2)0，讨论a与a2的大小(1)当a2a即a1或a0时，xa2或xa.(2)当a2a即a0或a1时，xa.(3)当a2a即0a1时，xa或xa2.综上，当a0或a1时，解集为x|xa2或xa，当a0或1时，解集为x|xa

12、，当0a1时，解集为x|xa或xa2规律方法1若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式，则需对参数进行分类讨论一般从以下三个方面进行分类讨论：(1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准；(2)以判别式与零的大小关系作为分类标准；(3)若判别式大于零，但两根的大小不能确定，则再以两根的大小关系作为分类标准2含参数的一元二次不等式的解题步骤为：将二次项系数转化为正数判断相应方程是否有根根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小当 堂 达 标固 双 基1下面所给关于x的几个不等式：3x40；x2mx10；ax24x70；x20.其中一定为一元二次不等式的有()A1个B2个C3个D4个B一定是一元二次不等式2(2x1)(3x1)0的解集为()ABCDA由(2x1)(3x1)0，得x，或x.3不等式3x22x10的解集为_. 【导学号：91022217】解析把不等式化为3x22x10，即(3x1)(x1)0，解得1x，故不等式