理论力学CAI数学基础

1、2022-2-23编辑课件1理论力学CAI版权所有, 2002 (c) 上海交通大学工程力学系2022-2-23编辑课件22022-2-23编辑课件3 理论力学中的许多概念与表达式涉及到几何理论力学中的许多概念与表达式涉及到几何矢量及其运算矢量及其运算 矢量的代数描述及其运算以矩阵为工具矢量的代数描述及其运算以矩阵为工具 对复杂的问题优于矢量几何及其运算对复杂的问题优于矢量几何及其运算 理论力学中必须区分矢量与矩阵的概念。理论力学中必须区分矢量与矩阵的概念。 在许多科技著作中并不区分这两种数学量在许多科技著作中并不区分这两种数学量 本章简要介绍本书将要涉及到的有关内容，本章简要介绍本书将要涉及

2、到的有关内容，并统一符号并统一符号前言2022-2-23编辑课件4矩阵2022-2-23编辑课件5矩阵的定义与运算矩阵的定义与运算 矩阵的定义矩阵的定义 常见的矩阵运算常见的矩阵运算 方阵方阵 列阵列阵 矩阵/定义与运算2022-2-23编辑课件6矩阵的定义矩阵的定义 将将 mn 个标量个标量 Aij 排列成排列成 m 行，行， n 列的表，列的表，定义为定义为 mn 阶阶(维维)矩阵矩阵矩阵/定义与运算/定义mnmmnnnmijAAAAAAAAAA212222111211defdefA 用一黑斜体的大写字母来表示用一黑斜体的大写字母来表示 无法区分黑白时可加下横线无法区分黑白时可加下横线A2

3、022-2-23编辑课件7矩阵/定义与运算/定义 矩阵矩阵A的的转置矩阵转置矩阵，记为，记为ATmnmmnnnmijAAAAAAAAAA212222111211defdefAmnnnmmmnjiAAAAAAAAAA212221212111defdefTA例例53624143634254231A35635264432143421TA2022-2-23编辑课件8常见的矩阵运算常见的矩阵运算矩阵/定义与运算/常见的运算同阶矩阵相等同阶矩阵相等ABCACABCAB矩阵与标量乘矩阵与标量乘同阶矩阵求和同阶矩阵求和矩阵乘矩阵乘2022-2-23编辑课件9矩阵/定义与运算/常见的运算 同阶同阶矩阵相等矩阵相

4、等ABAij=Bij(i=1, ,m; j=1, ,n) 2143A021043CAC ？nmnm例例元素间的关系元素间的关系2022-2-23编辑课件10矩阵/定义与运算/常见的运算 矩阵与标量乘矩阵与标量乘CAijijAC1423206023AAC交换律交换律28461242)2(232nmnm例例(i=1, ,m; j=1, ,n) 14231423元素间的关系元素间的关系2022-2-23编辑课件11矩阵/定义与运算/常见的运算 同阶同阶矩阵求和矩阵求和CABCABijijij结合律结合律转置运算转置运算交换律交换律ABCABCABCABBAABABTTT132014231134220

5、32703nmnmnm例例(i=1, ,m; j=1, ,n) 元素间的关系元素间的关系2022-2-23编辑课件12矩阵/定义与运算/常见的运算 矩阵乘矩阵乘BAC (i=1, ,m; j=1, ,n) skkjikijBAC1nskjsmikBABA,2143A310201B3102012143AB例例nmijCC2232323221) 1(20102113423) 1(40304134211843smnsnm元素间的关系元素间的关系2022-2-23编辑课件13矩阵/定义与运算/常见的运算BAC (i=1, ,m; j=1, ,n) skkjikijBAC12143A310201B310

6、2012143AB例例2232324211843smnsnm22322143310201BA？2022-2-23编辑课件14矩阵/定义与运算/常见的运算2143A0321B276902610612303212143AB1290501209442321430321BA例例BAAB BAC (i=1, ,m; j=1, ,n) skkjikijBAC1smnsnm2022-2-23编辑课件15矩阵/定义与运算/常见的运算 矩阵乘运算律矩阵乘运算律 结合律结合律转置运算转置运算分配律分配律AB CACBCAB CA BCABCTTTABABBAAB 求积求积无无交换律交换律2022-2-23编辑课件

7、16矩阵/方阵 方阵方阵：m=n nnnnnnnijAAAAAAAAAA212222111211defdefA 对角阵对角阵),diag(0000002211def2211nnnnAAAAAAA 方阵的迹方阵的迹 nnniiiAAAA22111tr A方阵方阵2022-2-23编辑课件17矩阵/方阵310201AI例例AIAAIBAC smnsnm310201AIA？IA310201A310201100010001？I1001310201BAAB 单位阵单位阵 100010001defIIn2022-2-23编辑课件18矩阵/方阵 对称阵：对称阵：Aij=Aji (i, j=1,n) 例例 A

8、AT 反对称阵：反对称阵： Aij= - -Aji (i, j=1,n) AA T462643231A062603230AAii= 0 (i=1,n) 对称阵对称阵反对称阵反对称阵062603230TA062603230A2022-2-23编辑课件19矩阵/方阵 非奇异阵与逆矩阵非奇异阵与逆矩阵AAA AI11对于方阵对于方阵A，存在同阶方阵存在同阶方阵B，有有IBAAB称称A为非奇异阵为非奇异阵；B为为A的逆矩阵的逆矩阵，记，记1 AB转置与逆运算转置与逆运算1TT1 AA111ABAB2022-2-23编辑课件20矩阵/方阵 正交阵正交阵AAA AITT对于正交阵有对于正交阵有AA1T满足

9、如下等式的非奇异阵满足如下等式的非奇异阵 A 称为称为正交阵正交阵22222222A22222222B例例AAA AI112IBAAB互为逆阵互为逆阵TBA 互为转置阵互为转置阵2022-2-23编辑课件21矩阵/列阵 列阵：只有一列（列阵：只有一列（m个元素）的矩阵个元素）的矩阵为为 m 1阶矩阵阶矩阵称为称为 m 阶列阵阶列阵T21maaa m 阶列阵阶列阵 a 的转置的转置aT 为为 1m 阶矩阵称为阶矩阵称为 m 阶行阵阶行阵maaa21defTa 用一黑斜体的小写字母来用一黑斜体的小写字母来表示表示 无法区分黑白时可加下横线无法区分黑白时可加下横线maaa21defaa列阵列阵202

10、2-2-23编辑课件22naaaA21矩阵/列阵 矩阵的列阵分块表达矩阵的列阵分块表达定义列阵定义列阵mnmmnnAAAAAAAAA212222111211A(j=1, ,n)ajjjmjAAA12T12111mAAAdef1a1a12111def2mAAAa2amnnnnAAA21defana2022-2-23编辑课件23矩阵/列阵/列阵分块表达例例定义列阵定义列阵mnmmnnAAAAAAAAA212222111211A(j=1, ,n)ajjjmjAAA12TAaaa12naaaaa1234512434123446253654321624143634254231aaaaaA2022-2-2

11、3编辑课件24矩阵/列阵 矩阵的行阵分块表达矩阵的行阵分块表达定义列阵的转置定义列阵的转置mnmmnnAAAAAAAAA212222111211A(i=1, ,m)T2121iniiiniiiAAAAAAbT21mbbb(i=1, ,m)iniiiAAA21TbTT2T1mbbbA2022-2-23编辑课件25矩阵/列阵/行阵分块表达例例定义列阵定义列阵mnmmnnAAAAAAAAA212222111211AT321T3T2T1624143634254231bbbbbbAbbb123132452436341426biiiinAAA12T(i=1, ,m)T21mbbbAT63526443214

12、3421A2022-2-23编辑课件26矩阵的导数矩阵的导数 矩阵对时间的导数矩阵对时间的导数 矩阵对变量的导数矩阵对变量的导数 矩阵/导数2022-2-23编辑课件27矩阵对时间的导数矩阵对时间的导数 元素为时间元素为时间 t 的函数，记为的函数，记为Aij(t)，该矩阵记该矩阵记为为A(t) 矩阵/导数/对时间的导数nmijtAtdddddefAAAijm nnmijtAt)()(A 矩阵对时间导数的定义矩阵对时间导数的定义 矩阵对时间的导数为矩阵对时间的导数为一一同阶同阶矩阵矩阵 其各元素为原矩阵的元素其各元素为原矩阵的元素Aij(t)对时间的导数对时间的导数2022-2-23编辑课件2

13、8 矩阵对时间导数的运算矩阵对时间导数的运算AAAAAtttddddddBABABAtttddddddBABABABAABtttdddddd矩阵/导数/对时间的导数2022-2-23编辑课件29 例例已知已知ddtABAB矩阵/导数/对时间的导数ttttcossinsincosA200ttB200cossinsincosddddttttttttBAAttttt2001sincoscossinBA验证验证tttttttcossinsincosdd2tttttsin2coscossin1ddtABABtttttsin2coscossin1ttttsincoscossinBt 20012022-2-

14、23编辑课件30 例已知例已知矩阵/导数/对时间的导数200cossinsincosddddttttttttABttttttttttt2001cossinsincos00sincoscossin2BABAddtABABABttttcossinsincosA200ttB验证验证tttttttttttttttttttttttsincos2cossincossin2sincoscossinsincosdd2222ttttttttttttttsincos2cossincossin2sincos22ttttsincoscossinAt 2001Bttttttttttttttcos2sinsin2coss

15、incoscossin22ttttttttttttttsincos2cossincossin2sincos222022-2-23编辑课件31矩阵对变量的导数矩阵对变量的导数 标量函数对变量的偏导数标量函数对变量的偏导数 标量函数阵对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏导数 矩阵/导数/对变量的的偏导数2022-2-23编辑课件32 标量函数对变量的偏导数标量函数对变量的偏导数 多变量的标量函数多变量的标量函数(多元函数多元函数)矩阵/导数/对变量的偏导数对于一组（对于一组（n个）变量，个）变量，通常引入一通常引入一 n 阶列矩阵表示这组变量，即阶列矩阵表示这组变量，即T21nqqqq如果有一个标量

16、如果有一个标量a，它是这组变量的函数它是这组变量的函数(n元函数元函数) ，记为，记为)(),(21qaqqqaan212cossin)(qaa例对于二元函数 212cossinaT21q引入二阶变量阵 标量函数a可表为2022-2-23编辑课件33 标量函数对变量的偏导数标量函数对变量的偏导数 多变量函数多变量函数 a 对对n 阶变量阵阶变量阵q 的偏导数为一的偏导数为一 n 阶阶行阵行阵 其元素分别为该标量函数对各自变量其元素分别为该标量函数对各自变量 qj 的偏导数的偏导数矩阵/导数/对变量的偏导数例对于二阶变量阵 的标量函数T21q212cossin)(qaanjnqaqaqaqaaa

17、121defdefqq2121212sinsin22coscosaaaq21122022-2-23编辑课件34 标量函数阵对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏导数 多变量的标量函数阵多变量的标量函数阵矩阵/导数/对变量的偏导数对于有对于有n个变量，个变量，通常引入一通常引入一 n 阶列矩阵表示这组变量，即阶列矩阵表示这组变量，即T21nqqqq如果有一个如果有一个m 阶标量函数列阵阶标量函数列阵它的元素是上述变量的函数，记为它的元素是上述变量的函数，记为T21T21)()()(qqqmm )()()(2121qqqmm 2022-2-23编辑课件35 标量函数阵对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏

18、导数 多变量的标量函数阵多变量的标量函数阵矩阵/导数/对变量的偏导数例对于二阶变量阵 有如下的标量函数阵T21qT21212121212122cos2cos2sin22cos2cos2sin T212121)()()(mmmqqq 21132022-2-23编辑课件36 标量函数阵对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏导数 m 阶阶标量函数标量函数列阵对列阵对n 阶变量阵阶变量阵q 的的偏导数定义为一偏导数定义为一 mn 阶矩阵阶矩阵 且且矩阵/导数/对变量的偏导数nmjiqdefdefqq q1 q2 qn12mqqqm21nmmmnnqqqqqqqqq212221212111)()()(2121qqqmm 2022-2-23编辑课件37矩阵/导数