《浅析初中数学探索性问题之解题对策》

1、浅析初中数学探索性问题之解题对策玉溪市红塔区大营街一中 申 光 跃摘要：数学探索性问题是学生动手实践、自主探索的学习数学的重要方式。对培养学生的创新意识，全面提高数学素质有着极其重要的作用和价值，近年来全国各地中考命题更加注重对创新问题的研究和设计，其中探索性试题无论从素材的选择、情景的设置、文字的表达，都出现了某些新的特点。本文初探这类试题的若干常见类型及解题对策。主题词 : 探索题 解题 策略 探索性问题是开放性问题的一种，指那些题目条件不完整或结论不明确的问题。探索性问题既能达到考查学生能力的目的，又不至于让学生因过于开放而无从下手。它的解题思路对学生来说若隐若现，解题方法若有若无，需要

2、学生通过对问题的观察、分析、尝试、猜想、判断、归纳、总结等活动，逐步探索出正确的条件与结论。探索性问题的解答过程本身就是一个探索、发现的过程，这一类问题对培养学生的创造性思维能力、想象力和探究力有很大的帮助，对培养学生的创新意识有着及其重要的作用，对全面提高学生的数学素质具有重要的价值。有助于学生创造性的发挥，因此倍受中考命题者的青睐。近年来全国各地中考命题更加注重对创新问题的研究和设计，其中探索性试题无论从素材的选择、情景的设置、文字的表达，都出现了某些新的特点，这类颇具创新的探索性试题脱颖而出。本文初探这类试题的若干常见类型及解题对策，与共商榷。 一、归纳猜想，证明结论数学猜想是指求解过程

3、中，依据某些数学知识和已知事实，运用自己已有的经验和方法，对其作总体的观察、分析后产生顿悟，从而作出猜想判断的一种思想方法。有些探索性的问题可以先通过观察、试验、比较、分析，从特殊到一般，再由一般到特殊，然后进行类比、猜想、归纳，探索出存在的一般规律，得出结 第 1页论，然后加以证明。这就要求学生必须进行多方位、多角度、多层次探索，以检验学生思维的灵活性和创新性例1 .（2000年河北中考题）（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“”，不成立的打“”。 ； （ ） ； （ ） ； （ ） . （ ）(2)你判断完以上各题后,发现了什么规律?请用含有字母n的式子将这个规律表示出来,

4、并注明n的取值范围.(3)请用数学知识说明你所写式子的正确性.解:(1)经运算检验得知,、都正确.全部打“”.(2) (n为大于1的自然数).(3) .说明：本例首先对4个具体算式进行观察分析其运算的操作过程，然后概括 第 2页并猜出一般的规律，最后再进行论证。 解这类题的关键在于观察发现规律，观察的角度虽然多样化，但最常见的只有两种，一是观察数字间的大小关系；二是观察式子间的结构特征，或者二者兼而有之，对观察发现规律后应代入适当的数字进行验证或换一种角度重新观察并 加以比较。二、反设存在，合情探索 对于“是否存在”问题，无论用什么方法，只要找出一个满足条件的事物，就说明存在。有时可先假设满足

5、条件的事物存在，如果经过严格的逻辑推理没有发生矛盾，即可肯定所作的假设成立。 例2关于的方程是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由。 解：设方程的两个实数根是、，由根与系数的关系， 得: += , =. 又由题意得： . 所以 =4, 解得(不合题意,舍去) 当时, =200. 因此存在满足条件的负数.即-1. 说明:本题是一个含有字母系数的一元二次方程,因此有实数根的先决条件是判别式0,这个条件可以先给出,也可以在后面做检验之用,但是不可以忽略。 第 3页三、假设存在，予以反证 对于“是否存在”问题，也可以先假定结论中相对立的某一方面成

6、立，然后进行演绎推理，若出现矛盾，即可否定先前的假设，从而得出相应的结论。 例3. 如图1,已知中，AB4，D在AB边上移动（不与A 、B重合）,DEBC，交 AC于E,连结CD.设. AECBD 图1 当D为AB中点时,求的值; 若AD=,=,求关于的函数关系式及自变量的取值范围; 是否存在点D,使得成立?若存在,求出D点的位置;若不存在,请说明理由.解:前两小题这里不作分析,结果是:=；,自变量的取值范围是04；第小题是一道典型的不存在探索型题,下面用假设法来解.假设存在点D,使得成立,那么,即 . 第 4页 ,即0. 显然对于0的不存在.可见假设不成立. 因此不存在点D,使得成立. 说明

7、:本题的第(3)问是用假设法予以证明的。首先假设存在这样的点D，然后导出0矛盾，究竟在什么地方导出矛盾，常常事先也并不十分清楚，故亦属于开放的。 四、转化命题，化难为易 有时对于满足题设的数学对象是否存在，很难作出正确的判断，这时，可设法将该命题转化为另一个表达形式较为通俗的新命题，再去解答。例4.如图2，有一块半圆形的木板，现在把它截成三角形板块，三角形的两个顶点分别为A、B,另一个顶点在弧AB上。问怎样截取才能使截出的三角形面积最大（要求说明理由）。CAODB图2 解:作OCAB交 弧AB于点C，连结AC、BC,则所裁出的ABC的面积最大，证明如下: 在弧AB上任取一点(不同于点C), 连

8、结 A、B,过点作 DAB,垂足为D(如图2)，则： ABCO , ABD. 第 5页连结O,则O=OC, 在RtOD中 ,OD,所以OC D,故. 说明:把 与其它的任意三角形情况比较，如果可以证明 最大，就在理论上完成了证明过程。此题的证明办法是利用圆半径进行转化的，使它们汇聚在一个直角三角形中去比较的。 五、数形结合，相互转化 有些题目需要把数量关系与图形特征结合起来进行分析、研究而解决问题的思想,称之为数形结合思想.这一思想在解答函数与图象等题目中,非常必要而且非常有效。例5.如图3,关于的二次函数的图象与交于两点()，与轴交于点C，且BAC=BCO. CEyxAODBMGH F 图3

9、（1）求这个二次函数的解析式；（2）以点为圆心作D，与轴相切于点O,过抛物线上一点作轴的平行线与D交于F、G两点，与抛物线交于另一点H。问：是否存在实数t，使得EF+GH=FG ?如果存在，求出t值；如果不存在，请说明理由。 解： BACBCO , BOCAOC ,BOCCOA.第 6页有，得，又AO= , OB= ,=-m0 所以m0 .则CO= m ,AOOB=m 所以,解得 (不合题意,舍去).故抛物线得解析式为 . (2)过D作DMEH于M,连DG. 因为DG=DO=, FG=2MG=若EF+GH=FG成立,则EH=2FG.由EF轴,设点E的坐标为，点H的坐标为,又 E、H为抛物线上的

10、两个点,所以即是方程的两个不相等的实数根,所以+=2 , =-(1+t). 因为0 所以0则 EH=-= =. 所以=22.即. 解得 : , (不合题意,舍去). 故存在实数 , 使得EF+GH=FG . 说明:解这类题的关键是数形结合，做好数与形的相互转化。如本例中二次函数的常数项是其图象与轴交点的纵坐标,图象与轴的交点的横坐标是与二次函数相对应的一元二次方程的两实数根等等，这些都是解题的重要信息。六、分类讨论，不重不漏 第 7页数学中的分类讨论思想就是把研究对象所可能出现的情况不重复，无遗漏的分别加以讨论，从而获得完整的解答。 例6已知，是关于的一元二次方程的两个非零实数根。问与能否同号

11、？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。 解：因为关于的方程有两个非零实数根，则 ,所以,m ,又.假设、同号,则有两种可能: 若,则有 0 1-m00 即 0 解得 . 此时的取值范围是 .若,则有m00 解得1.而当时方程才有实数根.故此种情况不可能存在.综上所述,当的取值范围为时,方程的两个实数根同号.说明:涉及一元二次方程的参数问题,常需作分类讨论,其中特别要注意判别 第8页式、二次项的系数、根与系数关系等问题.分类讨论的思想应用很广,在开放性试题中应尤为注意。探索性问题很好地体现了新课程标准的理念中提出的“逐步培养学生:会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳演绎和类比进行推理；会准确地阐述自己的思想和观点；形成良好的思维品质。”的精神。中考数学命题：“坚持体现素质教育的要求，加强与社会实际和学生生活实际的联系，重视对学生运用所学基础知识和基本技能，分析问题和解决问题的能力的考查。”在中考中出现探索性问题，不仅能反映学生的思维能力，而且使中考试卷具有较好的区分度，具有一定的选拔人才的功能，并有