20182019数学北师大版必修2作业 73 球的表面积和体积

1、,学生用书单独成册)A.基础达标1用一平面去截体积为4的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为()A2B.C. D1解析：选C.由已知得球的半径为R，又r2，所以r1，所以d.2如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A942 B3618C.12 D.18解析：选D.由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体其中，V球·()3，V长方体2×3×318.所以V总18.3一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()A12 B24C32 D48解析：选D.由

2、三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为×44，即球的半径为2，所以该球的表面积是4(2)248.4如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A9 B10C11 D12解析：选D.由三视图可知该几何体上面是个球，下面是个圆柱，由已知数据得表面积SS球S圆柱4×122×122×1×312.5如图，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60°，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点

3、P，则三棱锥P­DCE的外接球的体积为()A. B.C. D.解析：选C.折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体P­CDE，我们容易求得该正四面体外接球半径为，所以外接球的体积V.6长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球的表面积为_解析：如图所示为过长方体的一条体对角线AB的截面设长方体中有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则由已知有解得所以球的半径RAB.所以S球4R29.答案：97一个圆柱的底面直径和高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、球的体积之比为_解析：设球的半径为R，则由已知得V圆柱R2·2R2R3，V球R3，所以，V圆柱V球2R3R332

4、.答案：328已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为_解析：设正方体的棱长为a，则6a224，解得a2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2等于球的直径，则球的半径是，则此球的体积为()3.答案：9一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形圆柱形部分的高为h cm，半径为r cm.试管的容量为108 cm3，半球部分容量为全试管容量的.(1)求r和h；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4 cm处，求水的体积解：(1)因为半球部分容量为全试管容量的，所以半球部分与圆柱体部分容量比为，即，所以hr，r3×108×

5、;，所以r3(cm)，h10(cm)(2)Vr3×r2×(h4)×33××32×672(cm3)10有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解：设正方体的棱长为a.如图所示图(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1a，r1，所以S14ra2.图(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r2a，r2a，所以S24r2a2.图(3)中正方体的各个顶点在球面

6、上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2.综上可得S1S2S3123.B.能力提升1正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为()A64B32C16 D8解析：选A.如图，过正三棱锥P­ABC的顶点P作PM平面ABC于点M，则球心O在PM上，|PM|6，连接AM，AO，则|OP|OA|R，在RtOAM中，|OM|6R，又|AB|6，且ABC为等边三角形，故|AM|2，则R2(6R)2(2)2，则R4，所以球的表面积S4R264.2三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SAABBC1，则球O的表面

7、积为()A. B.C3 D12解析：选C.由题意可知SBBC，SAAC，则SC是球的直径因为SAABBC1，由勾股定理可求得AC，SC，所以R，所以S4×()23，故选C.3若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为_解析：如图，O1O2，OO1，AO1，所以AO，即R.所以V.答案：4三棱锥P­ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，ABC所在的小圆面积为16，则该三棱锥的高的最大值为_解析：如图所示，因为ABC所在小圆面积为16，所以小圆半径rOA4.又球的体积为，所以，所以球半径R5，所以OO3.当P在OO上时取得最值，所以三棱锥的高

8、满足2PO8.答案：85.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？解：(1)因为半球的直径是6 cm，可得半径R3 cm，所以两个半球的体积之和为V球R3·2736(cm3)又圆柱筒的体积为V圆柱R2·h×9×218(cm3)所以这种“浮球”的体积是：VV球V圆柱361854169.6(cm3)(2)根据题意，上、下两个半球的表面积是S球表

9、4R24××936(cm2)又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧2Rh2××3×212(cm2)，所以1个“浮球”的表面积为S(m2)因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S2 500×12(m2)因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶100×121 200(克)6(选做题)已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为a，PBa，PDa，PAPCa，且PD是四棱锥的高(1)在四棱锥内放入一球，求球的最大半径；(2)求四棱锥外接球的半径解：(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最

10、大，即球心到各面的距离均相等设球的半径为R，球心为S，如图，连接SA，SB，SC，SD，SP.因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S­PAB，S­PBC，S­PCD，S­PAD与四棱锥S­ABCD的高都为R，且它们恰好组合成四棱锥P­ABCD.因为PD为四棱锥P­ABCD的高，PDADBCa，四边形ABCD为正方形，又PAPCa，PBa，所以PB2PA2AB2PC2BC2，所以PAB，PCB为直角三角形且全等所以SPABSPCB·a·aa2，SPDASPDCa2，S正方形ABCDa2，所以VP­ABCD·a2·aa3.VS­PABVS­PBC·a2·Ra2R，VS­PADVS­PDC·a2·Ra2R，VS­ABCD·a2·Ra2R，因为VP­ABCDVS­PABVS­PBCVS­PADVS­PDCVS­ABCD，所以a3a2Ra2R