四边形辅助线练习题

1、特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.一、和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.1 .利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图1,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCD遑平行四边形.求证:OE与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2 .利用两组对边平行构造平行四边形例2如图2,在4ABC中,E、

2、F为AB上两点，AE=BFED/AC,FG/AC交BC分别为D,G.求证:ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题3 .利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图3,已知AD是4ABC勺中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.图3.当已知说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形中点或中线应思考这种方法二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4如图5,在ABC中，/ACB=90,/BAC

3、的平分线交BC于点D,E是AB上一点，且AE=ACEF/BC交AD于点F,求证：四边形CDE嘱菱形.crb例5如图6,四边形ABCDt菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题 线的作法较少.例6 如图7,已知矩形 AB

4、C咕一点，PA=3, PB=4, PC=5.求PD的长.和矩形有关的试题的辅助图7四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线1例7如图8,过正方形ABCD勺顶点B作BE/AC,且AE=AC又CF/AE.求证：/BCF=2/AEB.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.与中点有关的辅助线作法、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形.例1.

5、已知：如图，ad为AABC中线，求证：AB+AC>2AD.类题1.已知：如图，AD为AABC的中线，AE=EF求证：BF=AC.二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形例2.已知：如图，在AABC中，2C=90。M为AB中点，P、Q分别在AGBC上，且PM_LQM222于M.求证：PQ2=AP2+BQ2.类题2.已知：MBC的边BC的中点为N,过a的任一直线AD1BD于d,CE_LAD于E.求证:NE=ND.三、有中点时，可连结中位线.例3.如图，AABC中，D、E分别为ARAC上点，且BD=CEMkN为BE、CD中点，连MNxARAC于P、Q,求证：AP

6、=AQ1.类题3.已知：如图，E、F分别为四边形ABCD勺对角线中点，AB>CD求证：EF>（ABCD）.2类题4.如图，AABC中，AD是高，CE为中线，DG_LCE,G为垂足，DC=BE求证：（1）G是CE的中点；（2）ZB=2/BCE.四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题例4.已知：如图，在RtAABC中，NBAC=90，AB=ACD为bc边中点，P为BC上一点，PF_LAB于F,PE_LAC于E.求证：DF=DE.类题5.已知：如图，矩形ABCDE为CB延长线上一点，且AC=CEF为AE中点，求证：BF_LFD.六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时,

7、AD/ BC, AB _L BC , M为 CD的中点.求证:类题6.已知：梯形ABC计,ab/CDE为bc中点，EF_LAD于F.求证：S梯形ABCD=EFAD.【作业】1、已知ABC和DBE为等腰直角三角形，/ABCNDBE=90,AB、D在同一直线上，MNP分别是ADACDE边上的中点，试说明MP与MN的关系并证明。2、如果上题中AB、D不在同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生变化？证明结论3、平行四边形ABCD对角线相交于点O,P、EF分别是ADOBOC的中点，AC=2AB求证：PE=EFOE4、等腰梯形ABC计，DC/AB,/AOB=60,E、F、M分别是ODOABC的中点求证

8、：EFM是等边三角形。5、如图，在四边形ABC计，AB=CDMN、P、Q分别是ADBCBDAC的中点。求证：MNPQ互相垂直平分。6、如图，在ABC中，E是AB的中点，CD平分/ACBAD±CD,垂足为点D,求证：2DE=BC-AC7、BDCE分别为ABC外角平分线，AMLBD于MANLCE于N,探究MN<ABBCAC的关系附加题：(1)若将上题中BD改为/ABC的平分线，其它条件不变，则上题结论是否成立。(2)若BDCE分别为/ABC和/ACB勺平分线，其它条件不变，以上结论是否成立？(画图、证明)8、AABC43,AB=AC/BAC=t,在ABAC上截取ADAE,且AD=A

9、E连结DE=如图1所示，贝U易证BD=CE如图2所示，将ADE1时针针旋转到如图所示位置，连结BDCB(1)判断BD与CE的数量关系及BRCE延长线所夹锐角的度数。(2)点GF分别是等腰ABC等4AD很边的中点，/BAC=/DAE=t，点P是线段CD的中点，试探索/GPF与口的关系，并加以证明。9、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题：(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；(2)如图1,在ABC中，AB=AC点D在BC上，且CD=CA点E、F分别为BGAD的中点，连接EF并延长交AB于点G求证：四边形AGECt等邻角四边形；(3

10、)如图2,若点D在4ABC的内部，(2)中的其他条件不变，EF与CD交于点H.图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由.EF, FG, GH HE1、在四边形ABC计，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，顺次连结(1)请判断四边形EFGH勺形状，并给予证明；(2)试添加一个条件，使四边形EFGK菱形，并说明理由。2、如图，在四边形ABC中,AB=AD,CB=CD点M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形MNPO矩形.小结：中点四边形：对角线的四边形的中点四边形是菱形对角线的四边形的中点四边形是矩形对角线的四边形的中点

11、四边形是正方形对角线的四边形的中点四边形是平行四边形(1)顺次连接四边形各边中点所得的四边形是.(2)顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是.(3)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是.(4)顺次连接菱形各边中点所得的四边形是.(5)顺次连接正方形各边中点所得的四边形是练习题：1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是(A矩形B直角梯形C菱形D.正方形2、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是A、等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形3、.顺次连接一个四边形的各边

12、中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是()平行四边形菱形等腰梯形对角线互相垂直的四边形A.B.C.D.4、顺次连接四边形ABC南边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABC什定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形5.如图，在梯形ABC丽,AB/CDAD=BC点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则下列结论一定正确的是().以一，丁一.£A./HGF=/GHEB./GHE=/HEFC./HEF=ZEFGD./HGF=/HEF6、如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按7、我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是.8、如图，点E、F、GH分别是任意四边形ABC由ADBDBCCA的中点，当四边形ABCD勺边至少满足条件时，四边形EFGHI菱形.9、如图，四边形ABC由,AC=a,BD=b,且ACLBD顺次连接四边形ABC略边中点，得到四边形ABCD,再顺次连接四边形ABC