4 时　比较法证明不等式

1、§4不等式的证明第1课时比较法证明不等式1理解比较法证明不等式的理论依据(重点)2掌握用比较法证明不等式的一般方法及步骤(重点)3会用比较法证明简单的不等式(难点)基础·初探教材整理1求差比较法阅读教材P16“例1”以上部分，完成下列问题1理论依据(1)a>bab>0；(2)abab0；(3)a<bab<0.2定义：要证明a>b，只要证明ab>0即可这种方法称为求差比较法3步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断符号；(4)下结论填空(填不等号)：(1)aR，a2b2_2ab.(2)a，b，m为正数，b<a，_.(3)x21_x.【解

2、析】(1)a2b22ab(ab)20，故填.(2)a，b，m为正数，且a>b.<0，故填<.(3)x21x2>0，故填>.【答案】(1)(2)<(3)>教材整理2求商比较法阅读教材P16“例3”以上部分，完成下列问题1理论依据当b>0时，(1)a>b>1，(2)a<b<1，(3)ab1.2定义：证明a>b(b>0)，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)若>1，则a>b.()(2)求商比较法的关键是将商与1比较()(3)求商比较法适合于任何

3、两数的比较大小()【解析】(1)×若b>0时，>1a>b.若b<0时，>1a<b.(2)关键是与1比较(3)×求商比较法一般适合于两个同号数之间比较【答案】(1)×(2)(3)×质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型求差比较法证明不等式已知a，bR，求证：a2b21abab.【精彩点拨】此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号【自主解答】法一：化成几个平方和a2b2

4、abab1(ab)2(a1)2(b1)20，a2b21abab.法二：a2b2abab1a2(b1)ab2b1.对于a的二次三项式，(b1)24(b2b1)3(b1)20.a2(b1)ab2b10，故a2b21abab.求差比较法证明不等式的技巧1求差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑能否化简或值是多少2变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法3因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号再练一题1已知

5、a>0，b>0，求证：. 【导学号：94910017】【证明】()0.原不等式成立.求商比较法证明不等式已知a，b均为正数，且(ab)(mn)>0.求证：ambn>anbm.【精彩点拨】根据条件和结论，可作商与1比较，其中要用到指数函数的性质，由题设知ab与mn同号，再作分类讨论【自主解答】由a，b均为正数，易得anbm>0，ambn>0.amnbnm.由(ab)(mn)>0，得ab与mn同号且不等于零(1)当a>b>0时，>1，mn>0，>1，ambn>anbm.(2)当b>a>0时，0<<

6、1，mn<0，>1，ambn>anbm.综上，a，b均为正数，均有ambn>anbm.1两端均出现4个字母a，b，m，n，变形为，将与mn视为两个整体，减少了字母讨论的个数2求商比较法证明的步骤是：“作商变形判断商与1的大小”再练一题2已知a>b>c>0，求证：a2ab2bc2c>abcbcacab.【证明】由a>b>c>0，得acbbcacab>0.不等式左右两边作商，得aa-b·aa-c·bb-c·bb-a·cc-a·cc-b··.a>b>

7、;0，>1，ab>0，即>1.同理>1，>1.>1.即a2ab2bc2c>abcbcacab.探究共研型比较法的应用探究1求差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？【提示】求差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系探究2求商比较法主要适用的类型是什么？【提示】主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式的不等式证明已知an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列(1)求q的值；(2)设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn

8、的大小，并说明理由【精彩点拨】(1)由条件列方程求q值；(2)写出Sn与bn的表达式，采用作差法比较Sn与bn的大小判断符号时注意n的取值【自主解答】(1)由题设知2a3a1a2，即2a1q2a1a1q.又a10，2q2q10，q1或.(2)若q1，则Sn2n.当n2时，SnbnSn10，故Snbn.若q，则Sn2n·.当n2时，SnbnSn1，故对于nN，当2n9时，Snbn；当n10时，Snbn；当n11时，Snbn.比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法.当被证明的不等式两端是多项式、分式或对数式，一般使用求差比较法，当被证明的不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式

9、或幂指数形式时，一般使用求商比较法.比较法应用各种比较大小的地方，如函数单调性的证明、数列、三角等方面都会涉及.再练一题3在等比数列an和等差数列bn中，a1b1>0，a3b3>0，a1a3，试比较a5和b5的大小【解】设等比数列an的公比为q，等差数列bn的公差为d，a3a1q2，b3b12d.a1b1>0且a3b3，a1q2b12d，2da1q2b1a1q2a1a1(q21)a1a3，q21，而b5a5a14da1q4a12a1(q21)a1q4a1q42a1q2a1a1(q21)2.(q21)2>0，a1>0，a1(q21)2>0，a1(q21)2&l

10、t;0，即b5<a5.构建·体系1设ta2b，sab21，则下列t与s的大小关系中正确的是()At>sBtsCt<sDts【解析】st(ab21)(a2b)(b1)20，st.【答案】D2已知等比数列an的各项均为正数，且公比q1，若P，Q，则P与Q的大小关系为()APQBPQCPQDPQ【解析】an为等比数列且各项为正数，a2·a9a4·a7，又q1，a2a9，即PQ，故选C.【答案】C3设a，b，m均为正数，且<，则a与b的大小关系是_. 【导学号：94910018】【解析】>0，又a，b，m为正数a(am)>0，m>0，因此ab>0，a>b.【答案】a>b4已知0<a<，且M，N，则M，N的大小关系是_【解析】由0<a<，得0<ab<1,1ab>0.故MN>0，M>N.【答案】M>N5