32　简单的三角恒等变换

1、3.2简单的三角恒等变换【选题明细表】 知识点、方法题号化简求值1,2,3,4,13恒等式证明8简单应用5,6,7综合应用9,10,11,121.下列各式中,值为的是(B)(A)sin 15°cos 15°(B)cos2-sin2(C) (D)解析:选项A中,原式=sin 30°=;选项B中,原式=cos =;选项C中,原式=×=tan 60°=;选项D中,原式=cos 30°=.故选B.2.(2019·泰安高一期末)已知cos =-,<<3,那么sin 等于(D)(A)(B)-(C)(D)-解析:因为<&

2、lt;3,所以<<,所以sin <0.由cos =1-2sin2,得sin =-=-=-.故选D.3.已知2sin =1+cos ,则tan 等于(B)(A)(B)或不存在(C)2(D)2或不存在解析:2sin =1+cos ,即4sin cos =2cos2,当cos =0时,tan 不存在,当cos 0时,tan =.故选B.4.化简(sin +cos )2+2sin2(-)得(C)(A)2+sin (B)2+sin(-)(C)2 (D)2+sin(+)解析:原式=1+2sin cos +1-cos2(-)=2+sin -cos(-)= 2+sin -sin =2.故选C

3、.5.使函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)为奇函数的的一个值是(D)(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=2sin(2x+).当=时,f(x)=2sin(2x+)=-2sin 2x是奇函数.故选D.6.函数f(x)=sin(2x-)-2sin2x的最小正周期是. 解析:f(x)=sin 2x-cos 2x-(1-cos 2x)=sin 2x+cos 2x- =sin(2x+)-,所以T=.答案:7.若向量a=(2sin ,-1),b=(cos ,2sin2+m)(R),且ab,则m的最小值为. 解析:因为a=(2sin ,

4、-1),b=(cos ,2sin2+m)(R),且ab,所以2sin cos =2sin2+m,所以m=-2sin2 +2sin cos =cos 2+sin 2-1=sin(2+)-1,因为R,所以sin(2+)-,所以m的最小值为-1.答案:-18.求证:=.证明:原式等价于1+sin 4-cos 4=(1+sin 4+cos 4),即1+sin 4-cos 4=tan 2(1+sin 4+cos 4)(*)而(*)式右边=tan 2(1+cos 4+sin 4)=(2cos22+2sin 2cos 2)=2sin 2cos 2+2sin22=sin 4+1-cos 4=左边,所以(*)式

5、成立,原式得证.9.函数y=cos2(x-)+sin2(x+)-1(A)(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数解析:y=+-1=sin 2x,是奇函数.故选A.10.(2019·全国卷)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y= sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到. 解析:y=sin x-cos x=2sin(x-),y=sin x+cos x=2sin(x+),y=2sin(x+)的图象至少向右平移个单位长度得到y=2sin(x+-) =2sin(x-)的图象.答案:11.关于函数f(x)=sin x

6、cos x-cos2x,给出下列命题:f(x)的最小正周期为2;f(x)在区间(0,)上为增函数;直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴;函数f(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到;对任意xR,恒有f(+x)+f(-x)=-1.其中正确命题的序号是. 解析:f(x)=sin 2x-=sin(2x-)-,显然错;x(0,)时,2x-(-,0),函数f(x)为增函数,故正确;令2x-=+k,kZ得x=+,kZ,显然x=是函数f(x)图象的一条对称轴,故正确;f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到y=sin 2(x-)=sin(2x-),故错;f(+x

7、)+f(-x)=sin(2x+)-+sin(-2x-)-=sin(2x+)-sin (2x+)-1=-1,故正确.答案:12.已知函数f(x)=sin(-x)sin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在,上的单调性.解:(1)f(x)=sin(-x) sin x-cos2x=cos x sin x-(1+cos 2x)=sin 2x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin(2x-)-,因此f(x)的最小正周期为,最大值为.(2)当x,时,有02x-,从而当02x-,即x时,f(x)单调递增,当2x-,即x时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在,上单调递增;在,上单调递减.13.(2019&