Euler法和改进的Euler法实验报告

1、用Euler法和改进的Euler法求u=-5u(0t1)，u(0)=1的数值解，步长h=0.1，0.05，并比较两个算法的精度。解：1) 当步长h=0.1时编写程序如下所示clfclearclc %直接求解微分方程y=dsolve('Dy=-5*y','y(0)=1','t')%Euler法h=0.1;t=0:h:1;n=length(t);u=zeros(1,n);u(1)=1;zbu(1,1)=t(1);zbu(2,1)=u(1);for i=2:n f=-5*u(i-1); u(i)=u(i-1)+h*f; zbu(1,i)=t(i); z

2、bu(2,i)=u(i);endzbu%改进的Euler法v=zeros(1,n);v0=zeros(1,n);v(1)=1;zbv(1,1)=t(1);zbv(2,1)=v(1);for i=2:n f=-5*v(i-1); v0(i)=v(i-1)+h*f; v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i); zbv(1,i)=t(i); zbv(2,i)=v(i);endzbv plot(t,u,'r*','markersize',10)hold on,plot(t,v,'r.','markersize',20)hold

3、 on,ezplot(y,0,1)hold on,title('Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1）),grid onlegend('Euler法','¸改进的Euler法','解析解')%解真值h=0.1;t=0:h:1;n=length(t);for i=1:n y(i)=1/exp(5*t(i); %通过第一部分程序直接解得的解析解 zby(1,i)=t(i); zby(2,i)=y(i);endzby我们可以得到计算后的结果图像如图一所示图1 Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1）同时，我们得到

4、Euler法，改进的Euler法和解析解的在各点处数值分别如下所示：t坐标0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0欧拉1.00000.50000.25000.12500.06250.03130.01560.00780.00390.00200.0010改进欧拉1.0000 0.6250 0.3906 0.2441 0.1526 0.0954 0.0596 0.0373 0.0233 0.0146 0.0091真值1.00000.60650.36790.22310.13530.08210.04980.03020.01830.01110.0067表1 Euler法和改进的E

5、uler法在各点数值比较（h=0.1）为了比较Euler法和改进的Euler法的算法精度，在这里我们利用相对误差的概念进行评判。对于Euler法和改进的Euler法的每个的估计值有：相对误差=估计值真值 真值从而我们可以通过计算得到如下的相对误差表：t坐标0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0欧拉0 0.1756 0.3204 0.4398 0.5382 0.6193 0.6862 0.7413 0.7867 0.8242 0.8551改进欧拉0 0.0305 0.0618 0.0942 0.1275 0.1618 0.1972 0.2336 0.2712 0.30

6、99 0.3498表2 Euler法和改进的Euler法在各点相对误差比较（h=0.1）为了评定算法精度，我们对每种算法的在所有点处的相对误差求平均，可以得到Euler法的平均相对误差为0.5443，改进的Euler法的平均相对误差为0.1670。由此我们可以得出改进的欧拉法的算法进度更高。2) 当步长h=0.05时程序编写如下clfclearclc %直接求解微分方程y=dsolve('Dy=-5*y','y(0)=1','t')%Euler法h=0.01;t=0:h:1;n=length(t);u=zeros(1,n);u(1)=1;zbu(

7、1,1)=t(1);zbu(2,1)=u(1);for i=2:n f=-5*u(i-1); u(i)=u(i-1)+h*f; zbu(1,i)=t(i); zbu(2,i)=u(i);endzbu%改进的Euler法v=zeros(1,n);v0=zeros(1,n);v(1)=1;zbv(1,1)=t(1);zbv(2,1)=v(1);for i=2:n f=-5*v(i-1); v0(i)=v(i-1)+h*f; v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i); zbv(1,i)=t(i); zbv(2,i)=v(i);endzbv plot(t,u,'r*',&#

8、39;markersize',10)hold on,plot(t,v,'r.','markersize',20)hold on,ezplot(y,0,1)hold on,title('Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1）),grid onlegend('Euler法','¸改进的Euler法','解析解')%解真值h=0.01;t=0:h:1;n=length(t);for i=1:n y(i)=1/exp(5*t(i); %通过第一部分程序直接解得的解析解 zby(1,i)

9、=t(i); zby(2,i)=y(i);endzby计算后的结果图像为图1 Euler法和改进的Euler法比较（h=0.05）同时，我们得到Euler法，改进的Euler法和解析解的在各点处数值分别如下所示：t坐标0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.50欧拉1.0000 0.7500 0.5625 0.4219 0.3164 0.2373 0.1780 0.1335 0.1001 0.0751 0.0563 改进欧拉1.0000 0.7813 0.6104 0.4768 0.3725 0.2910 0.2274 0.1776 0.1388 0

10、.1084 0.0847 真值1.0000 0.7788 0.6065 0.4724 0.3679 0.2865 0.2231 0.1738 0.1353 0.1054 0.0821 t坐标0.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00欧拉0.0422 0.0317 0.0238 0.0178 0.0134 0.0100 0.00750.0056 0.0042 0.0032改进欧拉0.0662 0.0517 0.0404 0.0316 0.0247 0.0193 0.01500.0118 0.0092 0.0072真值0.0639 0.0498 0.0388 0.0302 0.0235 0.0183 0.01430.0111 0.0087 0.0067表1 Euler法和改进的Euler法在各点数值比较（h=0.05）此时，求出两种算法的相对误差的平均值分别为：Euler法改进的Euler法0.29600.0321由此可见改进的Euler法的算法精度高于Euler法。由以上的分析我们可以得出如下结论：1. Euler法和改进的Euler法相比较，改进的Euler法的计算精度更高，相对误差也比较小。因此在求解微分方程的数值解时，改进的Euler法优于Eule