概率论与数理统计第三章

1、计算机科学学院计算机科学学院 裘国永裘国永第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 n二维随机变量二维随机变量 n边缘分布边缘分布n条件分布条件分布n相互独立的随机变量相互独立的随机变量n两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分多维随机变量及其分布布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量。我们重点讨论二维随机变量。本章内容是第二章内容的推广本章内容是第二章内容的推广 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布。但及其分布。

2、但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。需要用几个随机变量来描述。在打靶时，命中点的位置由一对在打靶时，命中点的位置由一对r.v（两个坐标）确定。（两个坐标）确定。飞机的重心在空中的位置由三飞机的重心在空中的位置由三个个r.v （三个坐标）确定等等。（三个坐标）确定等等。3.1 二维随机变量二维随机变量一、定义一、定义 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S=e。X = X(e)和和Y=Y(e)是定义在是定义在S上的随机变量，由它们构上的随机变量，由它们构成的向量成的向量(X,Y)，称为二维随机变（向）量。，称为

3、二维随机变（向）量。 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X及及Y的性质有的性质有关，而且还依赖于关，而且还依赖于X和和Y的相互关系，因此必须把的相互关系，因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。作为一个整体加以研究。研究方法与一维类似，用研究方法与一维类似，用分布函数、分布律、分布函数、分布律、或或概率密度概率密度来描述其统计规律。来描述其统计规律。 ( )F xP Xx x X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量X二、联合分布函数二、联合分布函数X和和Y的的联合分布函数（联合分布函数（Joint distribution）( , )() ()F x yP X

4、xYy ,P Xx Yy , x y 如果把如果把 (X, Y) 看成平面上看成平面上随机点的坐标。随机点的坐标。取定取定 x, y R，F(x, y) 就就是点是点 (X, Y) 落在平面上的落在平面上的以以(x, y)为顶点而位于该为顶点而位于该点左下方的无限矩形区点左下方的无限矩形区域内的概率。如右图。域内的概率。如右图。联合分布函数的几何意义联合分布函数的几何意义(x, y)(X, Y)由上面的几何解释由上面的几何解释, ,易见易见: :随机点随机点(X, Y)落在矩形区域落在矩形区域: : x1Xx2, y1Yy2内的概率内的概率 Px1Xx2 , y1Yy2 =F(x2, y2)-

5、F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1)J 说明说明(x2, y1)x(x2, y2)(x1, y2)(x1, y1)1. F (x,y) 是变量是变量x, y的非减函数。的非减函数。即即 y R 取定取定, 当当x1x2时时, F(x1, y)F(x2, y)。同样同样 x R取定取定, 当当y1y2时时, F(x, y1)F(x, y2)。 2. x, y R 有有 0F(x, y)1。分布函数分布函数F(x, y)具有的基本性质具有的基本性质 y R, F (-, y) = 0， x R, F (x, -) = 0， F(-, -)= 0， F(, )= 1例例3.1

6、 已知二维随机变量已知二维随机变量(X, Y)的分布函数为的分布函数为( , )()()23xyF x yA BarctgCarctg解解: :(,)122FA BC (,)()023yFyA BCarctg (,)()022xFxA Ba rctgC 212BCA 102,03(2,3)(0,3)(2,0)(0,0)16PXYFFFF1）求常数）求常数A, B, C. 2）求）求02,03.PXY 000(0, )lim( , )(, );xxF xyF x yF xy 000( ,0)lim( , )( ,).yyF x yF x yF x y 3. 右连续性右连续性 对任意对任意x R,

7、 y R, 4. 矩形不等式矩形不等式对于任意对于任意(x1, y1), (x2, y2) R2, x1 x2， y1YP XY 解：解：1001xdxdy12 ( , )xyf x y dxdy 求：（求：（1）常数）常数A； （2）F(1,1)；（；（3） (X,Y)落在三落在三角形区域角形区域D：x 0, y 0, 2x +3y 6 内的概率。内的概率。 (23 ),0,0(,) ( , )0,xyAexyX Yf x y 其其它它例例3.3 设设解：解： （1）由归一性）由归一性6A 11(23 )2300(2)(1,1)6(1)(1)xyFedxdyee (23 )00( , )1x

8、yf x y dxdyAedxdy （3） (X ,Y)落在三角形区域落在三角形区域D: x 0, y 0, 2x +3y 6 内的概率内的概率。(23 )(,)6xyDPX YDedxdy 2233(23 )006xxydxedy 617e （III）两个常用的二维连续型分布）两个常用的二维连续型分布（1）二维均匀分布）二维均匀分布若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为21( , )( , )0,Dx yDRSf x y ，其其它它则称则称(X, Y)在区域在区域D上上（内内）服从服从均匀分布均匀分布。(,)GDSPX YGS 易见易见，若若(X, Y)在区域在区域

9、D上上（内内） 服从均匀分布服从均匀分布，对对D内任意区域内任意区域G，有有例例3.4 设设( (X, Y)服从如图区域服从如图区域D上的均匀分布，上的均匀分布，（1） 求求(X, Y)的概率密度的概率密度； （2） 求求PY2X；（3） 求求F(0.5,0.5)。1DS解：解：（1）其他Dyxyxf,0),(, 1),(（2）先算出阴影部分的面积）先算出阴影部分的面积为为1- - = 。故。故PY2X= 。21414141（3）F(0.5,0.5)= 。5 . 005 . 0025. 02ydydxdyyy若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度（2） 二维正态分布二维

10、正态分布其中其中均为常数均为常数, ,且且1212, 120,0,| 1 则称则称(X,Y)服从参数为服从参数为 的二维正态分布。的二维正态分布。1212, 记作记作( X,Y )N( )。122212, 121221211( , )exp()2(1)21xf x y 21221222 ()()() xyy 事实上事实上, 对对n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)PX1 x1, X2 x2, , Xn xn称为的称为的n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)的的分布函数分布函数,或或随机变量随机变量X1, X2, , Xn的的联合联合分

11、布函数分布函数。五、分布函数的概念推广到五、分布函数的概念推广到n维随机变量的情形维随机变量的情形作业作业P84 ：2、3一、边缘分布函数一、边缘分布函数二维随机变量二维随机变量(X,Y)作为一个整体作为一个整体, 具有分布函数具有分布函数F(x,y)。其分量其分量X和和Y也也都是随机变量都是随机变量, 也有自己的分布函数也有自己的分布函数, 将其分别记为将其分别记为FX(x), FY(y)。依次称为二维随机变量。依次称为二维随机变量(X,Y) 关于关于X和关于和关于Y的的边缘分布函数（边缘分布函数（Marginal distribution）。3.2 边缘分布边缘分布X和和Y的边缘分布函数的

12、边缘分布函数, 本质上就是一维随机变量本质上就是一维随机变量X和和Y的分布函数。之所以称其为边缘分布是相对于的分布函数。之所以称其为边缘分布是相对于(X,Y)的联合分布而言的。的联合分布而言的。同样地同样地, 联合分布函数联合分布函数F(x,y)就是二维随机变量就是二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数, 之所以称其为联合分布是相对于之所以称其为联合分布是相对于其分量其分量X或或Y的分布而言的。的分布而言的。注意注意FX(x)=PXx=PXx,Y=F(x,)边缘分布函数与联合分布函数之间的关系边缘分布函数与联合分布函数之间的关系FY(y)=PYy=PX,Yy=F(,y)边缘分布实际上是高维

13、随机变量的某个边缘分布实际上是高维随机变量的某个( (某些某些) )低低维分量的分布维分量的分布。一般一般, 对离散型对离散型 r.v ( X,Y ), X和和Y 的联合分布律为的联合分布律为则则(X,Y)关于关于X的边缘分布律为的边缘分布律为(X,Y)关于关于Y 的边缘分布律为的边缘分布律为二、边缘分布律二、边缘分布律,1,2,.ijijP Xx Yypi j 1,1, 2, .iiijjPXxppi 1,1, 2,.jjijiP Yyppj X Y y1 y2 yj pi . p11 p12 . p1j . p1 . p21 p22 . p2j . p2 . pi1 pi2 . pij .

14、 pi . p .j p .1 p .2 . p .j .x1 x2xi.解：解：XY 1 0 pi. 11/10 3/10 03/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为： X10Y10 Pk 2/53/5Pk2/53/53/52/53/5例例3.5 已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为右右图。图。求求X、Y的边缘分布律。的边缘分布律。2/5YX10 11/10 3/100 3/10 3/10三、边缘密度函数三、边缘密度函数对连续型对连续型 r.v (X,Y )，设联合概率密度为，设联合概率密度为f(x,y)，则则( X,Y )关于关于X的边缘概率函数为的

15、边缘概率函数为( X,Y )关于关于Y的边缘概率函数为的边缘概率函数为( )( ,)Yfyf x y dx ( )( ,)Xfxf x y dy 例例3.6 若若(X,Y)在矩形区域在矩形区域axb, cyd上服从均匀上服从均匀分布，求它的两个边缘概率密度函数。分布，求它的两个边缘概率密度函数。解：解：由题意由题意(X, Y)的概率密度函数为的概率密度函数为1,()()( , )0,axb cydba dcf x y 其其他他那么那么, ,11,()()0,dcdyaxbba dcba 其其他他( )( , )Xfxf x y dy 注注 本题中本题中X和和Y都是服从均匀分布的随机变量。但都是

16、服从均匀分布的随机变量。但对于其它（不是矩形）区域上的均匀分布对于其它（不是矩形）区域上的均匀分布, 不一定不一定有上述结论。有上述结论。1,( )0,Xaxbbafx 其其他他1,( )0,Ycyddcfy 其其他他即即, ,同理同理, ,例例3.7 设设(X,Y)服从单位圆域服从单位圆域x2+y21上的均匀分布上的均匀分布,求求X和和Y的边缘概率密度。的边缘概率密度。解解: :当当x1时时,1,( , )( , )0,x yDf x y 其其他他( )( , ).Xfxf x y dy ( )( , )00Xfxf x y dydy当当-1-1x11时时（注意积分限的确定方法注意积分限的确

17、定方法）( )( , )Xfxf x y dy 22221111100 xxxxdydydy 221x (熟练时被积函数为熟练时被积函数为0的部分可省略的部分可省略)由由X和和Y在问题中地位的对称性，将上式中的在问题中地位的对称性，将上式中的x改改为为y，就得到就得到Y的边缘概率密度的边缘概率密度:221, 1,1( )0,Xxxfx 其其他他221, 1,1( )0,Yyyfy 其其他他例例3.8 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为（1）求常数）求常数c; （2）求关于）求关于X和和Y的边缘概率密度。的边缘概率密度。解解:（1）210( , )1xxf x y dxdydxcdy 2,(

18、 , )0,cxyxf x yothers 6c(2)( )( , )Xfxf x y dy 2266(), 01xxdyxxx 0,othersxy01y=xy=x2xy01y=xy=x2( )( , )Yfyf x y dx 66(), 01yydxyyy 0,others例例3.9 设设(X,Y) 服从如图区域服从如图区域D上上的均匀分布，求关于的均匀分布，求关于X的和关于的和关于Y的边缘概率密度。的边缘概率密度。x=yx=-y11,10( ),010,xXxdyxfxdyxothers ,01( )0,yYydxyfyothers 例例3.10 设连续型设连续型r.v (X ,Y )

19、N( 1, 2, s12, s22, )。则。则X N( ( 1 1, , 1 12 2) )，Y N( ( 2 2, , 2 22 2) )。J 说明说明对于确定的对于确定的 1 1, , 2 2, , 1 1, , 2 2, ,当当 不同时，对应不同的不同时，对应不同的二维正态分布，但他们的边缘分布是一样的。说二维正态分布，但他们的边缘分布是一样的。说明明由由X和和Y的边缘分布不能确定它们的联合分布。的边缘分布不能确定它们的联合分布。 对这个现象的解释是对这个现象的解释是: 边缘概率密度只考虑了单边缘概率密度只考虑了单个分量的情况个分量的情况, 而未涉及而未涉及X与与Y之间的关系。之间的关

20、系。 ( (X , Y) N( ( 1 1, , 2 2, , 1 12 2, , 2 22 2, , ) ) X N( ( 1 1, , 1 12 2),),Y N( ( 2 2, , 2 22 2) )。( (与参数与参数 无关无关) )作业作业P85：6、7、93.3 条件分布条件分布在第一章中，我们介绍了条件概率的概念。在第一章中，我们介绍了条件概率的概念。)()()|(BPABPBAP推广到随机变量推广到随机变量 设有两个设有两个r.v. X, Y ， 在给定在给定Y 取某个或某些值的取某个或某些值的条件下，求条件下，求X 的概率分布。的概率分布。这个分布就是条件分布这个分布就是条件

21、分布。例如，例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以个学生，分别以X和和Y 表示其体重和身高。则表示其体重和身高。则X和和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布都是随机变量，它们都有一定的概率分布。体重体重X身高身高Y体重体重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布现在若限制现在若限制Y=1.8（米）（米）, 在这个条件下去求在这个条件下去求X的条的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高为件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高为1.8米的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求米的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布。其体重的分

22、布。容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样。很不一样。例如，例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增在条件分布中体重取大值的概率会显著增加。加。一、离散型一、离散型r.v.的条件分布的条件分布第一章的条件概率概念在另一种形式下的重复。第一章的条件概率概念在另一种形式下的重复。定义定义1 设设 (X,Y )是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量, 对于固定对于固定的的 j, 若若PY=yj0, 则称则称为为在在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的条件分布律的条件分布律。PX=xi|Y=yj=，i=1,2, ,ijjP Xx YyP Y

23、y i jjpp 作为条件的那个作为条件的那个r.v.,认为取值是给定的，在此条件认为取值是给定的，在此条件下求另一下求另一r.v.的概率分布的概率分布。条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质。正如条件概率是一种概率，具有概率的切性质。正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质。一切性质。例如：例如：i=1,2, 若若PX=xi0，则称，则称为为在在X= xi条件下随机变量条件下随机变量Y的条件分布律的条件分布律。PY=yj|X=xi=，j=1, 2 , ,ijiP Xx YyP XX i jipp |0,ijP XxYy1|1ijiP Xx

24、Yy 例例3.11（1）在发车时有在发车时有n个乘客的条件下，中途有个乘客的条件下，中途有m个人个人下车的概率；下车的概率；（2）二维随机变量（二维随机变量（X,Y ) 的概率分布。的概率分布。解：解：（1）当当|P Ym Xn,)1(mnmmnppC 0,1, .mn 设某班车起点站上车人数设某班车起点站上车人数 X 服从参数为服从参数为l0l0的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p, 且且中途下车与否相互独立。以中途下车与否相互独立。以 Y 表示在中途下车的表示在中途下车的人数，求：人数，求：0,1,2,.n ,mYnXP |nXPnXmYP ,!

25、)1(l ll l enppCnmnmmn, 2 , 1 , 0, 1 , 0 nnm（2）联合分布率为联合分布率为二、连续型二、连续型r.v.的条件分布的条件分布设设(X,Y)是二维是二维连续型连续型r.v, 由于对任意由于对任意x, y, PX=x=0, PY=y=0, 所以不能直接用条件概率所以不能直接用条件概率公式得到条件分布公式得到条件分布, 下面我们直接给出条件概率下面我们直接给出条件概率密度的定义。密度的定义。定义定义2 设设X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为 f (x,y), 边缘概率密边缘概率密度为度为 fX(x), fY(y), 则对与固定的则对与固定的 x , fX

26、(x)0, 定义定义已知已知 X=x的条件的条件下下, Y 的条件密度函数的条件密度函数为为同样同样, 对与固定的对与固定的 y, fY(y)0, 定义定义为已知为已知 Y=y的条件的条件下下, X的条件密度函数的条件密度函数。.|( , )(|)( )Y XXf x yfy xfx |( , )(|)( )X YYf x yfx yfy 定义的解释：定义的解释：将上式左边乘以将上式左边乘以 dx , 右边乘以右边乘以 (dxdy)/dy即得即得,P xXxdx yYydyP yYydy |dyyYydxxXxP以以为例为例|( , )(|)( )X YYf x yfx yfy |( , )(

27、|)( )X YYf x y dxdyfx y dxfy dy |dyyYydxxXxP换句话说，对很小的换句话说，对很小的dx和和 dy,表示已知表示已知 Y 取值于取值于y 和和 y+dy之间的条件之间的条件下下，X取取值于值于x 和和 x+dx之间的条件概率。之间的条件概率。|(|)X Yfx y dx|(|)X Yfx y dx运用条件概率密度运用条件概率密度, 可以在已知某一随机变量值的可以在已知某一随机变量值的条件下条件下, 定义与另一随机变量有关的事件的条件概定义与另一随机变量有关的事件的条件概率。即率。即: 若若(X,Y)是连续型是连续型r.v, 则对任一则对任一集合集合A,特

28、别，取特别，取A=(- , x)，可得到，可得到在已知在已知 Y=y下，下， X的的条件分布函数及已知条件分布函数及已知 X=x下，下， Y的条件分布函数的条件分布函数|(|)X YAP XA Yyfx y dx |(|)|X YFx yP Xx Yy|(|)xX Yfx y dx |(|)|Y XFy xP Yy Xx|(|)yY Xfy x dy 例例3.12 设设(X,Y)服从单位圆域服从单位圆域x2+y21上的均匀分布上的均匀分布,求：条件概率密度求：条件概率密度 。解解:1,( , )( , )0,x yDf x y 其其他他|(|)X Yfx y221, 1,1( )0,Yyyfy

29、 其其他他那么当那么当 -1 y 1 时时,|( , )(|)( )X YYf x yfx y dxfy 2221,112 10,yxyy 其其他他例例3.13 已知已知(X,Y)（1）求条件概率密度）求条件概率密度|(|)Y Xfy x（2）求条件概率求条件概率11|33P YX xy1解解: :( )( , )Xfxf x y dy 212211140 xx ydyxothers 2421(1),1180,xxxothers （1）2221,1( , )40,x yxyf x y 其其它它则当则当-1x1，且，且x024|2,1( , )( | )1( )0,Y XXyxyf x yfy

30、xxfxothers （2）|13111|(|)333Y XP YXfydy 11329.110(1)81ydy 作业作业P85：10、14、15难点：难点：求条件分布时如何确定条件分布律和条求条件分布时如何确定条件分布律和条 件密度不为零的范围。件密度不为零的范围。3.4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量, P Xx YyP Xx P Yy随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。一、定义一、定义 设设 X, Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的 x, y, 有有则称则称X, Y相互相互独立（独立（independent） 。两事件两事件

31、A, B 独立的定义是：独立的定义是：若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A, B独立独立。可知，随机变量可知，随机变量 X, Y相互独立，实际上是指：相互独立，实际上是指：对于任意的对于任意的 x, y, 随机事件随机事件 Xx与与Yy相互独立。相互独立。用分布函数表示用分布函数表示, , 即即( , )( )( )XYF x yFx Fy 设设 X,Y是两个是两个r.v.，若对任意的，若对任意的x, y,有有则称则称X, Y相互相互独立。独立。它表明，两个它表明，两个r.v.相互相互独立时，它们的联合独立时，它们的联合分布函数可由两个边缘分布函数唯一确定。分布函数可由两个边缘分

32、布函数唯一确定。二、等价定义二、等价定义其中其中f (x, y)是是X,Y的联合概率密度的联合概率密度,( , )( )( )XYf x yfx fy 几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X, Y相互相互独立独立。对任意的对任意的 x, y, 有有若若 (X,Y)是连续型是连续型r.v. , 则上述独立性的定义等价于则上述独立性的定义等价于:这里这里“几乎处处几乎处处成立成立”的含义是：的含义是：在平面上除去面在平面上除去面积为积为0的集合外，的集合外，处处成立。处处成立。fX (x), fY (y) 分别是分别是X 和和Y 的边缘的边缘概率密度。概率密度。若若 (X,Y)是离散型是离散型r.

33、v , 则上述独立性的定义等价于则上述独立性的定义等价于:则称则称X和和Y相互相互独立。独立。对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi , yj) ,有有PX=xi ,Y=yj= PX=xiPY=yj, i, j=1, 2, .若若(X,Y)N( 1, 2, 12, 22, ) , X和和Y相互独立的相互独立的充充要条件要条件是是 =0。思考思考: 已知已知(X,Y)N( 1, 2, 12, 22, ) ，问，问X和和Y在什么时候是相互独立的在什么时候是相互独立的?由这几个等价命题可知，要判断两个随机变量由这几个等价命题可知，要判断两个随机变量X与与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对再看是否对(X, Y)的每一对可能取值点的每一对可能取值点, 边缘分布边缘分布的乘积都等于联合分布即可。的乘积都等于联合分布即可。例例3.14 已知随机变量已知随机变量 (X, Y) 的分布律为的分布律为试确定常数试确定常数，使得使得随机变量随机变量 X与与 Y相互独立相互独立。解解 先求出各随机变量的边缘分布律：先求出各随机变量的边缘分布律：为了为了使使随机变量随机变量 X与与 Y相互独立，由独立性定义可得相互独立，由独立性定义可得（1/18+）/3=1/18且（且（1/9+）/3=