毕业答辩：具有饱和传染率的SIQR传染病模型的研究

1、具有饱和传染率的具有饱和传染率的SIQR传染病模传染病模型的研究型的研究 所在院系：数理学院所在院系：数理学院学科专业：基础数学学科专业：基础数学指导教师：指导教师：答答 辩辩 人人 ： 答辩时间：答辩时间：2012-6-2内容提要内容提要1 1研究背景及意义2 2预备知识3研究内容4总 结4研究背景及意义研究背景及意义 古往今来传染病一直威胁着人类的健康， 传染病在历史上的每一次的发生都给人类的生存和国民经济带来灾难性的影响。长期以来，人类不断的对传染病进行理论上的研究。近20年，国际上传染病模型研究迅速发展，并建立了大量的数学模型。随着对传染病模型研究的不断深入，至今已取得不少的成果。 本

2、文根据实际需要做基本假设并构建数学模型，在研究、分析、构造传染病模型时 ，人口数量较多，传染率为饱和接触率更符合实际，对传染病的控制，我们通常采取的措施是隔离患病者或对易感者进行预防接种，从而减少传染病的传播。因此本文所讨论的模型都具有饱和传染率的SIQR模型。研究背景及意义研究背景及意义预备知识预备知识，其中 时，补充定义 。012211nnnnnaaaa, 0000010014223231224212531kkkkkkaaaaaaaaaaaaaHnk, 2 , 1nj 0ja(1)(1) Hurwitz判别法：判别法：考虑多项式方程所有根都有负实部的充分必要条件是预备知识预备知识(2)(2

3、)Bendixson-Dulac判别法：判别法：设在单连通域G内，考虑平面自治系统若存在函数 ，使得 yxQyyxPx,)(),(1GCyxB)0(0)(yBQxBPGyx),(且不在G的任一子区域内恒为零，则该系统在G内不存在闭轨线 ，预备知识预备知识于 的任意解。其中 ，满足在 上连续，且对每个 ，极限 存在，且 是非减的。又设(3)(3)比较定理比较定理：设函数 ,同时RRRVn: kkkkktttVxIxtVttxtVtgxtVD,RRRg:nkkRtt,1, 2 , 1kRxnxtfytfkxtyt,lim, RRk: . 0,00ututttututtutgukkkkk,000ux

4、tV 0)(,tttrtxtV 00,xttxtx,0t是如下标量脉冲微分方程的最大解： 那么，如果 则 ，这里 是系统存在 ,0tt),()(00uttrtr研究内容研究内容具有饱和传染率的具有饱和传染率的 传染病模型传染病模型SIQR具有垂直传染的具有垂直传染的 传染病模型传染病模型 SIQR具有脉冲接种的具有脉冲接种的 传染病模型传染病模型 SIQR模型一：一类具有常数输入及饱和传染率的模型一：一类具有常数输入及饱和传染率的SIQR传染病模型传染病模型 模型的建立模型的建立 基本假设：易感者类S(t),普通染病者类I(t),染病隔离者类Q(t),移出者类R(t),且总人数为N(t);N(

5、t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)。SIQR传染病模型框图为模型一：一类具有常数输入及饱和传染率的模型一：一类具有常数输入及饱和传染率的SIQR传染病模型传染病模型 当R01时，方程组有两个平衡点p0(A/d,0,0,0),p*(S*,I*,Q*,R*)；当R01时，方程组有惟一的平衡点p*(S*,I*,Q*,R*)。 模型一：一类具有常数输入及饱和传染率的模型一：一类具有常数输入及饱和传染率的SIQR传染病模型传染病模型 通过对模型的分析，得到了模型的平衡点以及平衡点稳定性的条件R0，并证明了当R01时 , 无病平衡点全局渐进稳定 ,说明疾病最终会消失；当R01时 , 地方病平衡点

6、全局渐近稳定，这时疾病将成为地方病并且流行。分析讨论分析讨论模型二：一类具有垂直传染和预防接种的模型二：一类具有垂直传染和预防接种的SIQR传染病模型传染病模型 模型的建立模型的建立 基本假设：设b为非染病者S和R的出生率系数，d为死亡率系数；b为染病者I和Q的出生率系数，d为染病者的死亡率系数； 和分别为I类和Q类的移出率系数； 是隔离率系数；q是垂直传染率(p+q=1)；m是对易感者新生儿进行预防接种的比例。SIQR传染病模型框图为模型二：一类具有垂直传染和预防接种的模型二：一类具有垂直传染和预防接种的SIQR传染病模型传染病模型 模型二：一类具有垂直传染和预防接种的模型二：一类具有垂直传

7、染和预防接种的SIQR传染病模型传染病模型 QbpIdtdQIbpSSdtdIbQIbbpSSISmbdtdS)()(1)(1) 1(当R01时，方程组有两个平衡点 ， ；当R01时，方程组有惟一的平衡点 。 )0 , 0 ,11(0mP),(QISP),(QISP假设b=d,b=d,N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)=1,则得到方程组模型二：一类具有垂直传染和预防接种的模型二：一类具有垂直传染和预防接种的SIQR传染病模型传染病模型 通过对模型的分析，得到了模型的平衡点以及平衡点稳定性的条件R0，并证明了平衡点的稳定性。同时讨论了R0不但与种群的传染率、因病死亡率、隔离率和恢复

8、率有关,还与新生儿的染病比例有关。所以，在防治具有垂直传染的传染病时，对个体生育的控制也能有效的防治传染病的传播. 分析讨论分析讨论模型三：一类具有垂直传染及脉冲接种的模型三：一类具有垂直传染及脉冲接种的SIQR传染病模型传染病模型 模型三：一类具有垂直传染及脉冲接种的模型三：一类具有垂直传染及脉冲接种的SIQR传染病模型传染病模型 假设b=d,b=d,pbb,N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)=1,则得到方程组ntnQnQnInInSmnSntQbpQItQIbpIISSItIbQIbbpbSSSItS)()()()()()1 ()()(1)()(1)(系统存在无病周期解 。0 , 0),(tS模型三：一类具有垂直传染及脉冲接种的模型三：一类具有垂直传染及脉冲接种的SIQR传染病模型传染病模型 通过对模型的分析，得到了系统的无病周期解，并证明了无病周期解全局渐近稳定性的条件以及系统一致持久性的充分条件。在脉冲接种时，R01意味着疾病一致持久，这时疾病将流行而成为地方病。 分析讨论分析讨论总总 结结 本文利用传染病动力学的