平面向量的概念及线性运算-教师

1、第1讲平面向量的概念及线性运算【高考会这样考】1考查平面向量的线性运算2考查平面向量的几何意义及其共线条件基础梳理1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1) 交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求

2、a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.1 / 12(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；()aaa； (ab)ab.4共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(2

3、)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合双基自测1 D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A BC. D.解析如图，.2判断下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析只有正确3若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A. B.C. D.解析.4如图，正六边形ABCDEF中，() A0 B. C. D.解析.5设a与b是两个不共线向量，

4、且向量ab与2ab共线，则_.解析由题意知：abk(2ab)，则有：k，.考向一平面向量的概念【例1】下列命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行审题视点 以概念为判断依据，或通过举反例说明其正确与否解析由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出

5、，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C. 解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2)方向相同【训练1】 给出下列命题：若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若a与b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确命题的序号是_解析正

6、确，错误考向二平面向量的线性运算【例2】如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.0 B.0C.0 D.0审题视点 利用平面向量的线性运算并结合图形可求解析0，2220，即0. 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量，和用平行四边形法则，差用三角形法则【训练2】 在ABC中，c，b，若点D满足2，则A.bc B.cb C.bc D.bc解析2，2()，32 bc.考向三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线审题视点 (1)先证明，

7、共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k.(1)证明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共线，又它们有公共点，A，B，D三点共线(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两不共线的非零向量，kk10.k210.k±1. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点【训练3】 (2011·兰州模拟)已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是()A2 B1C1 D

8、1解析由ab，ab(，R)及A，B，C三点共线得：t ，所以abt(ab)tatb，即可得所以1.故选D.难点突破有关平面向量中新定义问题解题策略从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的问题，一般难度较大这类问题的特点是背景新颖，信息量大，通过它可考查学生获取信息、分析并解决问题的能力解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在【示例1】定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0 Ba

9、bbaC对任意的R，有(a)b(ab) D(ab)2(a·b)2|a|2|b|2【示例2】 (2011·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC、D可能同时在线段AB上DC、D不可能同时在线段AB的延长线上练习题：1.出下列命题：若，则；若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；若，则；的充要条件是且；若，则。其中，正确命题材的序号是2. 化简得 3.在四边形

10、ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形OAPQBab第4题4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若a，b，则， (用a、b表示) D C E FA B5 .已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：.证明：如图，连接EB和EC ， 由和可得， （1）例1 由和可得， （2）（1）+（2）得， （3）E、F分别为AD和BC的中点，代入（3）式得，6.已知不共线，,求证：A,P,B三点共线的充要条件是解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数，使得,即,，再证充分性：若则=,与共线，A,P,B三点共线. 7已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（C）A. |a|b|=|ab| B. |a|b|=|a+b| C.|a|b|=|ab| D. |a|b|=|a+b|8.设四边形ABCD中，有则这个四边形是（C）A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形9.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：， ， 。解析：原式= ；原式= ；原式= 。10.设为未知向量， 、为已知向量，满足方程2-(5+3-4)+-3=0，则=（用、表