高数导数的概念（课堂PPT）

1、.1第二章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton.2 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。导数。

2、 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念两个最重要的基本概念导数与微分，然后再导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。有关变化率的计算问题。.3 导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。小变化时，函数大体

3、上变化多少。重点重点导数与微分的定义及几何解释导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式导数与微分基本公式四则运算法则四则运算法则复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则高阶导数高阶导数隐函数和参量函数求导隐函数和参量函数求导难点难点导数的实质，用定义求导，链式法则导数的实质，用定义求导，链式法则.4问题的提出问题的提出导数的定义导数的定义导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系可导与连续的关系利用导数定义求导数利用导数定义求导数小结小结 第一节第一节 导数的概念导数的概念左、右导数左、右导数.5一、引出导数概念的两个实例设描述质点运动位置的函数为)(tfs 则

4、到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 0tso)(0tf)(tft.6 xyo)(xfy C2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfyCNT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切线 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx.7两个问题的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk

5、)()(0 xfxf0 xx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题.8二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)

6、()(lim000则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. .9说明说明: 在经济学中, 边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .100limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在 ,在点 不可导. 0 x就说函数.11.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x

7、.)(,)(内内可可导导在在开开区区间间就就称称函函数数处处都都可可导导内内的的每每点点在在开开区区间间如如果果函函数数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：.12.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(00 xxxfxf .13 函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映了函数在

8、该点处的变化快慢，而与临近点是否可导了函数在该点处的变化快慢，而与临近点是否可导无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的函数。函数。 导数定义式中的导数定义式中的x x必修连续地趋于零。必修连续地趋于零。.14三、由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即.15例例2 2.)(sin)(s

9、in,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 .16例例3 3.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x .17例例4 4.)1, 0()(的的导导数数求求函函数数 aaa

10、xfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee .18例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1log1)(logaxexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa .19四、左、右导数2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000

11、00 xxfxxfxxxfxfxfxxx .20如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等. 左右导数统称为左右导数统称为单侧导数单侧导数 ( ) , f xa b在闭区间上可导的定义.21例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfh

12、h 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy.22五、五、 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0

13、)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf.23例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即.242.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的

14、导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.251111例例7. 问曲线3xy 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy)

15、1(131xy即023 yx故在原点 (0 , 0) 有垂直切线.26六、可导与连续的关系证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx . 00)( limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx.)(0连连续续在在点点函函数数xxf定理定理 若若y=f(x)y=f(x)在在 点可导，则点可导，则y=f(x)y=f(x)在在 处一处一定连续定连续. .0 x0 x.27在点处右右 导数存在0 x定理定理2. 函数)(xf)(xf在点0 x必 右右 连续.(左左)(左左)由定理1和定理2,可得:)(xf在闭区间 a , b 上可导,)(baCxf注意:

16、可导的条件要比连续强,存在处处连续但是处处不可导的函数.28连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(. 1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角点点为为处处不不可可导导在在xfxx 反例反例:xy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.xyoxy .29)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxy

17、xxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x31 xyxy01.30., )()(. 30点点不不可可导导则则指指摆摆动动不不定定不不存存在在在在连连续续点点的的左左右右导导数数都都函函数数xxf例如例如,0, 00,1sin)( xxxxxf.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy.31.)()(,)(. 4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy .32七、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )

18、(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.33思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00

19、 xfxf？与导函数.342. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x时, 恒有,)(2xxf问)(xf是否在0 x可导?解解:由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可导, 且0)0( f.355. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(

20、xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x = 0 连续 .36作业作业 P86 1 , 5 , 6, 11, 16 , 18 .37牛顿牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家. 他在数学上的卓越贡献是创立了微积分. 1665年他提出正流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版). 他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .38莱布尼兹莱布尼兹(1646 1716)德国数学家, 哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人 , 他在学艺杂志上发表的几篇有关微积分学的论文

21、中,有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .39一一、 填填空空题题：1 1、 设设)(xf在在0 xx 处处可可导导，即即)(0 xf 存存在在，则则 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已已知知物物体体的的运运动动规规律律为为2ts ( (米米) )，则则该该物物体体在在 2 t秒秒时时的的速速度度为为_ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 设设321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy

22、, , 则则它它们们的的导导数数分分别别为为dxdy1= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy2= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy3= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .练练习习题题.404 4、 设设2)(xxf , ,则则 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 线曲 线xey 在 点在 点)1,0(处 的 切 线 方 程 为处 的 切 线 方 程 为_._.二、二、 在下列各题中均假定在下列各题中均假定)(0 xf 存在，按照导数的定存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出义观察下列极限，分析并指出A表示什么？表示什么？ 1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、Ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； 3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000. .三、证明：若三、证明：若)(xf为偶函数且为偶函数且)0(f 存在，则存在，则0)0( f. .41四、四、 设函数设函数 0,00,1sin)(xxxxxfk问问k k满足什么条满足什么条件，件，)