讲义41平行四边形的性质及判定

1、讲义4.1平行四边形的性质及判定知识要点归纳1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB/ DC, AD/ BC,那么四边形ABCD是平行四边形。定义的作用：（1）给出一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形；（2）给出了平行四边形的一个重要性质：两组对边分别平行。例一、 如图，在平行四边形 ABCD中, EF/ AB, GH/ AD,图中有多少个平行四边形？ 注意：平行四边形的定义是判定四边形是否是平行四边形的方法之一。2、平行四边形的性质（1）定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。（2）性质：A、平

2、行四边形的对角相等。B、平行四边形的对边相等。C、平行四边形的对角线互相平分。（3） 平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身 重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。注意：边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平 分。例二、 如图，平行四边形ABCD的对角线 AC、BD相交于 0,周长为 80cm,AOB的周长比.BOC的周长大12cm，求这个平行四边形各 边的长。3、平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积，如图所示，平行四边形ABCD的面积=BC *AE =CD -BF,也就是平行四边形的

3、面积 =底边长X高=ah （其中a是平行四边形的任意一条边长，h必须是a边与其对边的距离。）缶 a V_具戸注意：同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等， 如图所示，平行四边形ABCD 与平行四边 EBCF有公共边BC，则平行四边形 ABCD的面积=平行四边形 EBCF的面积。例三、 如图，已知平行四边形 ABCD中的周长是36cm, DE、DF分别是它的两条高,且DE= 4 3cm, DF =5 3cm,求平行四边形的面积。4、平行四边形的概念和性质在实际应用中易出现的错误女口：平行四边形的一条角平分线分对边为3和4两部分，求平行四边形的周长。例四、如图，线段AB、AD相交于点A ,若

4、过点B作直线BE/ AD在BE上取一点C,使BC=AD连接CD贝U AC与BD的关系是5、运用平行四边形的性质计算(1)平行四边形的对边平行 如：如图，在平行四边形ABCD中，CE是.DCB的平分线，F是AB的中点,(3)E、AB=6 , BC=4 ,平行四边形的对角相等，对边相等。 如：如图，在平行四边形 ABCD 中,已知 DE=3cm，求 BF.平行四边形的对角线互相平分F分别是 AB、CD上的点，且AE=CF ,如：如图，已知 0是平行四边形 ABCD的对角线交点， AC=38cm , BD=24cm , AD=14cm ,AOB与 AOD的周长之差为例五、已知如图，在平行四边形 AB

5、CD中，M、N分别在AD、BC 上, E、F在 对角线上，且 AM=CN,BE=DF,则MF与NE有怎样的位置关系？并说明理 由。例六、如图，在平行四边形 ABCD中，AE/ CF, AE与BD相交于点P,CF与BD相交于 点Q BP与DQ是否相等？请说明理由。b匚厂°£6、开放性思维问题添加的条件由解题者提供，再利用平行四边形的性质，得到已知结论；或根据题目中的 已知条件，同学们自己写出结论，再进行证明或设计一种方案并证明它的正确性。女口：如图，在平行四边形 ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是.DAB、 ABC、. BCD、. CDA的平分线，AQ与BN相交于P,C

6、N与BQ相交于M,在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出来的结论，并给出证明过程（要求推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）。例七、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，要使 ADF 也.ICBE，还需添加一个什么条件？（只需添加一个条件）例八、如图，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案是正确的。7、构成或转移平行四边形的边和角应用平行四边形的性质可以证明线段相等，角相等，因此常构造平行四边形， 利用平行四边形的对边相等、对角相等来转移边和角，从而把分散的条件集中起来。

7、EC 丄 FD.注意：（1 ）证明线段的垂直关系通常可以通过证角等于90 ; （2）在解决有关平行四边形的问题时，要善于通过平行四边形的性质和全等三角形两种途径寻求等量关系。例九、如图，在四边形 ABCD中, AD/ BC,且AD> BC, BC=6cm,P Q分别从 A C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动，几秒后 四边形ABQR是平行四边形？8、平行四边形的判定法(1) 定义判定法：两组对边分别平行是的四边形是平行四边形。(2) 定理判定法：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。C、对角线互相平分

8、的四边形是平行四边形。D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。例十、若一个四边形的边长是a、b、c、d，其中a、c为对边，满足2 2 2 2a b c d -2bd-2ac=0，则此四边形是。例一、如图，在 ABC中，AB 二 AC,P是BC点，PE / AC,PF/ AB,分别交 ABPF、AB之间存在什么关系，并证明你的猜想。9、三角形中位线定理(1) 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；(2) 三角形中位线定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一 半；(3) 三角形中位线定理的作用：A、位置关系：可以证明两条直线平行；B、数量关系：可以证明

9、线段的相等或倍分。(4) 三角形中位线定理的应用：平行四边形的判定。已知DE为ABC的中位线如图1所示，延长中位线DE至F，使EF二DE,连接CF ,则ADE也厶CFE,有AD平行且等于 FC,所以FC平行且等于BD，则四边形BCFD为平行四边形。如图(2)所示，延长 DE至F, 使 EF=DE，连接DC、AF、FC,则四边形ADCF 为平行四边形，有AD平行且等于FC,所以FC平行且等于BD，则四边形BCFD 为平行四边形。如图(3)所示，过 C作CF/ AB交DE的延长线于F，U ADECFE ,有AD平行且等于CF，所以FC平行且等于BD,则四边形BCFD为平行四边形。注意：(1 )三角

10、形共有三条中位线，并且它们又重新构成了一个新的三角形;(2)要会区别三角形的中线与中位线。1例十二、如图，三角形 ABC中，.BAC =90°，延长BA到D,使AD二 AB ,点E、F2分别为边BC AC的中点。(1)求证：DF=EB;(2)过点 A作 AG/ BC,交 DF于 G,求证:AG=DG.10、证明四边形为平行四边形的方法(1)证明两组对边分别相等，得平行四边形。如：如图，在三角形 ABC中，ACB=90°,BC的垂直平分线 DE交BC于D，交AB于E,F在DE的延长线上，并且 AF=CE.求证：四边形 ACEF是平行四边形。证明一组对边平行且相等，得平行四边形

11、。证明两组对边分别平行，得平行四边形。 女口 ：如图，在三角形 ABC中，AB=AC , E是AB的中点，D在BC上,FC。求证：四边形 AEFC是平行四边形。(4) 证明对角线互相平分，得平行四边形。女口 ：已知:E、F是平行四边形 ABCD对角线AC上的两点，并且 AE=CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形。例十三、如图，在四边形 ABCD中，AB=DC ,AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE,EFEG+FH=AC.形 ABC 中，与对角线BD相交于点0,求证: 例十四、例十五、如图，在三角形 ABC中,O是BD的中点。AE=BF,FH /EG / AC ,求证：.ACB

12、 =90°,AC的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E,点F在BC的延长线上，且.CDF =/A,求证：四边形CEDF是平行四边形。例十六、如图，AB、CD交于点0,AC/ DB AO=B0 E、F分别为0C OD的中点，连接 AF、BE,求证:AF / BE.求证:11、学科综合问题本节常与全等三角形、等腰三角形知识结合在一起考查，需灵活运用平行四边形的性质和 判定，在解决问题时，不单是孤立判定一个四边形是平行四边形，往往是判定出一个四边 形是平行四边形后，要利用平行四边形的性质、三角形的相关知识等解决问题。ABCD中，AE=CF,点M、N分别是DE、BF的中点,注意：证明两条线段相等的常用方法：（1）等角对等边；（2）等腰三角形底边上的高（或顶角平分线）平分底边； （3）证明线段所在的三角形全等； （4） 一点为某线段的 中点；（5）平行四边形的对边相等或对角线互相平分。例十七、如图，三角形 ABC为等边三角形，P是三角形ABC内任一点，PD/ AB,PE/ BC, DF/ AC,若三角形 ABC的周长为12,则PD+PE+DI等于多少？12、探索思维问题本节中的探索性问题，主要体现在对方法和结论的探究上，要与全等三角形、等腰三角形 知识综合在一起，灵活运用平行四边形的性质和判定。女口：已知；如图