第5讲二项分布与正态分布

1、班级学科数学讲课人时间课题 第5讲 二项分布与正态分布课型学习目标1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布能解决一些简单的实际问题；学习重点理解n次独立重复试验的模型及二项分布能解决一些简单的实际问题；学习难点了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.课前检测 学习过程 知 识 梳 理1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)(P(A)>0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A).(2)条件概率

2、具有的性质：0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)2事件的相互独立性(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与_也都相互独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的(2)

3、在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为XB(n，p)，并称p为成功概率4正态分布(1)正态曲线：函数，(x) ，x(，)，其中和为参数(>0，R)，我们称函数，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的

4、分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<Xb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作XN(，2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(<X)0.682_6；P(2<X2)0.954_4；P(3<X3)0.997_4诊 断 自 测1判断正误(请在括号中打“”或“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率(×)(2)相互独立事件就是互斥事件(×)(3)对于任意两个事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立(×)

5、(4)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(BA)表示事件A，B同时发生的概率()2袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为()A. B. C. D.解析第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为.答案B3(2015·武汉模拟)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是()A. B. C. D.解析每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次重复试验，用X表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布，即B，P(X2)C×&

6、#215;.答案C4设随机变量X服从正态分布N(2，9)，若P(X>c1)P(X<c1)，则c等于()A1 B2 C3 D4解析2，由正态分布的定义知其图象关于直线x2对称，于是2，c2.答案B5(人教A选修23P55练习3改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为_解析记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P()P()·P()1P(A)1P(B)，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，所求概率为1P()1.答案考点一条件

7、概率【例1】 (1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A. B. C. D.(2)已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A. B. C. D.解析(1)法一(1)P(A)，P(AB)，由条件概率公式，得P(B|A).法二n(A)CC4，n(AB)1，P(B|A).(2)设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)，P(B|A)，P(AB)P(B|A)·

8、;P(A)×，所以两次都取到红球的概率为.答案(1)B(2)C规律方法条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A).这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).【训练1】 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A. B. C. D.解析法一设事件A为“第1次抽到的是

9、螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)，P(AB)×，则所求概率为P(B|A).法二第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为.答案D考点二相互独立事件同时发生的概率【例2】 (2013·陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概

10、率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X2”的事件概率解(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，A与相互独立则A·表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”P(A)P(A)·P()P(A)·1P(B)×，(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)，依题意，A，B，C相互独立，相互独立，且AB，AC，BC，ABC彼此互斥又P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)××××××，P(X3)P

11、(ABC)××，P(X2)P(X2)P(X3).规律方法(1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解【训练2】 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率解记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件

12、AB；“恰有1人击中目标”是AB；“至少有1人击中目标”是ABAB.(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立，P(AB)P(A)·P(B)0.8×0.80.64.(2)“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A)，另一种是甲未击中乙击中(即B)根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为PP(A)P(B)P(A)·P()P()·P(B)0.8×(10.8)(10.8)×0.80.160.160.32.(3)“两人各射击

13、一次，至少有一人击中目标”的概率为PP(AB)P(A)P(B)0.640.320.96.考点三独立重复试验与二项分布【例3】 (2014·四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率解(1)X可能的取值为10，20，100，200.根据题意，有P(X1

14、0)C××，P(X20)C××，P(X100)C××，P(X200)C××.所以X的分布列为X1020100200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1，2，3)，则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)11.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.规律方法利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式Pn(k)Cpk(1p)nk的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p

15、；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率【训练3】 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛局数的分布列解(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.记“甲以4比1获胜”为事件A，则P(A)C·.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.乙以4比2获胜的概率为P1C·，乙以4比3获胜的概

16、率为P2C·，所以P(B)P1P2.(3)设比赛的局数为X，则X的可能取值为4，5，6，7.P(X4)2C，P(X5)2C·，P(X6)2C·，P(X7)2C·.比赛局数的分布列为X4567P考点四正态分布【例4】 已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X<4)0.8，则P(0<X<2)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析由P(X<4)0.8，得P(X4)0.2，由题意知正态曲线的对称轴为直线x2，P(X0)P(X4)0.2，P(0<X<4)1P(X0)P(X4)0.6，P(0<X<2)P

17、(0<X<4)0.3.答案C规律方法(1)求解本题关键是明确正态曲线关于x2对称，且区间0，4也关于x2对称(2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：熟记P(<X)，P(2<X2)，P(3<X3)的值；充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.【训练4】 在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布，即XN(100，100)，已知满分为150分若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试不及格(小于90分)的人数解由XN(100，100)知100，10.P(90<X110)P(10010<X10010)0.682 6，P(X<90

18、)(10.682 6)0.158 7，不及格人数为2 000×0.158 7317(人).思想方法1古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)，其中，在实际应用中P(B|A)是一种重要的求条件概率的方法2相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B)3二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(Xk)Cpkqnk.其中k0，