三次样条插值

1、三次样条插值1. 算法原理由于在许多实际问题中，要求函数的二阶导数连续，人们便提出了三次样条插值函数，三次样条插值函数是由分段三次函数拼接而成的，在连接点处二阶导数连续。设S(x)在节点处的二阶导数，其中为待定参数。由S（x）是分段三次多项式可知，是分段线性函数，在子区间上可以表示为其中，对S（x）两端积分两次得其中和为积分常数。由插值条件得由此解得代入得：求导得：令得在处的左导数 又令得在处右导数 ，从而有，由在节点处一阶导数的连续性知，即两端同乘得，记，则关于的方程组写成。三种边界条件的三弯矩方程：（1）第一种边界条件：已知。取，这时方程组减少了两个未知量，变成只含n-1个未知量的n-1个

2、方程的方程组，用矩阵表示为可用追赶法求解出后，即得三条样条插值函数。（2） 第二种边界条件，已知，记，则有，得，即，其中，得到方程组，用矩阵表示为，该方程组的系数矩阵是严格三对角占优矩阵，可用追赶法求解。（3）第三种边界条件：周期型边界条件。已知是以为周期的周期函数，则由周期性可知，这时将点看成是内节点，则有，也即，其中，方程组第1个方程为：，所以方程组为，用矩阵表示为，显然系数矩阵为严格对角占优矩阵，可用LU分解法求解。2. 程序框图3. 源程序function x=mchase(A,d)%追赶法n=length(d);u=zeros(n,1);u(1)=A(1,1);for k=2:n l

3、(k)=A(k,k-1)/u(k-1); u(k)=A(k,k)-l(k)*A(k-1,k);endy=zeros(n,1);y(1)=d(1);for i=2:n y(i)=d(i)-l(i)*y(i-1);endx=zeros(n,1);x(n)=y(n)/u(n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(y(i)-A(i,i+1)*x(i+1)/u(i);endxendfunction T=mspline1(x0,y0,f21,f22,xx)%三次样条插值函数第一种边界条件%x0、y0分别为节点的横坐标和纵坐标；%f21为左端点的二阶导数值,f22为右端点的二阶导数值；xx为由插值点组

4、成的向量n=length(x0)-1;%计算小区间数for i=1:n h(i)=x0(i+1)-x0(i);endfor i=1:n-1 mu(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1); lamda(i)=1-mu(i); d(i)=6*(y0(i+2)-y0(i+1)/h(i+1)-(y0(i+1)-y0(i)/h(i)/(h(i)+h(i+1);endA=zeros(n-1);for i=1:n-2 A(i+1,i)=mu(i+1);%次下对角线 A(i,i+1)=lamda(i);%次上对角线 A(i,i)=2;%主对角线endA(n-1,n-1)=2;dd=zeros(n-1,1);

5、%右端列向量for i=2:n-2 dd(i)=d(i);enddd(1)=d(1)-mu(1)*f21;dd(n-1)=d(n-1)-lamda(n-1)*f22;M=mchase(A,dd);%追赶法求解M值hmulamdaAddM=f21,M',f22't=sym('t');a=zeros(n,1);b=zeros(n,1);c=zeros(n,1);e=zeros(n,1);for i=1:n a(i)=M(i)./(6*h(i); b(i)=M(i+1)./(6*h(i); W1(i)=b(i)-a(i); W2(i)=3*(a(i).*x0(i+1)

6、-b(i).*x0(i); c(i)=y0(i)./h(i)-h(i).*M(i)/6; e(i)=y0(i+1)./h(i)-h(i).*M(i+1)/6; W3(i)=3*b(i).*x0(i).2-3*a(i).*x0(i+1).2+e(i)-c(i); W4(i)=a(i).*x0(i+1).3-b(i).*x0(i).3+c(i).*x0(i+1)-e(i).*x0(i); Si(t)=W1(i).*t3+W2(i).*t2+W3(i).*t+W4(i)%每个小区间的三次样条差值函数表达式endm=length(xx);T=zeros(m,1);for k=1:m for j=1:n

7、 if (xx(k)>=x0(j)&(xx(k)<x0(j+1) T(k)=W1(j).*(xx(k).3)+W2(j).*(xx(k).2)+W3(j).*xx(k)+W4(j); end endendTEndfunction T=mspline2(x0,y0,f11,f12,xx)%三次样条插值函数第二种边界条件%x0、y0分别为节点的横坐标和纵坐标；%f11为左端点的二阶导数值,f12为右端点的二阶导数值；xx为由插值点组成的向量n=length(x0)-1;%计算小区间数for i=1:n h(i)=x0(i+1)-x0(i);endfor i=1:n-1 mu(i

8、)=h(i)/(h(i)+h(i+1); lamda(i)=1-mu(i); d(i)=6*(y0(i+2)-y0(i+1)/h(i+1)-(y0(i+1)-y0(i)/h(i)/(h(i)+h(i+1);endA=zeros(n+1);%系数矩阵dd=zeros(n+1,1);%右端列向量for k=2:n A(k,k)=2;%主对角线元素 A(k,k-1)=mu(k-1);%次下对角线元素 A(k,k+1)=lamda(k-1);%次上对角线元素endA(1,1)=2;A(1,2)=1;A(n+1,n+1)=2;A(n+1,n)=1;dd(1)=6*(y0(2)-y0(1)/h(1)-f1

9、1)/h(1);dd(n+1)=6*(f12-(y0(n+1)-y0(n)/h(n)/h(n);for k=2:n dd(k)=d(k-1);endM=mchase(A,dd);%追赶法求解M值hmulamdaAddMt=sym('t');a=zeros(n,1);b=zeros(n,1);c=zeros(n,1);e=zeros(n,1);for i=1:n a(i)=M(i)./(6*h(i); b(i)=M(i+1)./(6*h(i); W1(i)=b(i)-a(i); W2(i)=3*(a(i).*x0(i+1)-b(i).*x0(i); c(i)=y0(i)./h(i

10、)-h(i).*M(i)/6; e(i)=y0(i+1)./h(i)-h(i).*M(i+1)/6; W3(i)=3*b(i).*x0(i).2-3*a(i).*x0(i+1).2+e(i)-c(i); W4(i)=a(i).*x0(i+1).3-b(i).*x0(i).3+c(i).*x0(i+1)-e(i).*x0(i); Si(t)=W1(i).*t3+W2(i).*t2+W3(i).*t+W4(i)%每个小区间的三次样条差值函数表达式endm=length(xx);T=zeros(m,1);for k=1:m for j=1:n if (xx(k)>=x0(j)&(xx(

11、k)<x0(j+1) T(k)=W1(j).*(xx(k).3)+W2(j).*(xx(k).2)+W3(j).*xx(k)+W4(j); end endendTend%计算实习，第一种边界条件clear;x=-1:0.2:1;%输入节点横坐标y=ones(1,11)./(ones(1,11)+25*x.2)%计算节点纵坐标t=sym('t') ;f=1/(1+25*t2);%定义函数f2=diff(f,2)%函数的二阶导数式f21=vpa(subs(f2,'t',-1)%计算左端点的二阶导数值f22=vpa(subs(f2,'t',1)%

12、计算右端点的二阶导数值xx=-1:0.1:1;T=mspline1(x,y,f21,f22,xx); T=T'ezplot(f,-1 1);%画出函数f的曲线hold onplot(x,y,':',xx,T,'-');%根据函数计算和插值计算的结果画出的曲线%计算实习，第二种边界条件clear;x=-1:0.2:1;%输入节点横坐标y=ones(1,11)./(ones(1,11)+25*x.2)%计算节点纵坐标t=sym('t') ;f=1/(1+25*t2);%定义函数f1=diff(f,1)%函数的一阶导数式f11=vpa(subs(f1,'t',-1)%计算左端点的一阶导数值f12=vpa(subs(f1,'t',1)%计算右端点的一阶导数值xx=-1:0.1:1;T=mspline2(x,y,f11,f12,xx); T=T'ezplot(f,-1 1);%画出函数f的曲线hold onplot(x,y,':',xx,T,'-');%根据函数计算和插值计算的结果画出的曲线4. 计算结果第一种边界条件：x-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81函数计算值0.03850.05880.