高中数学知识网络(集合与函数)

1、一、集合§1.1集合与元素集合与元素的关系： 和 。集合中元素的特征： 、 、 。集合的分类：按集合中元素的个数多少分为： 、 、 。集合的表示方法： 、 、 。§1.2集合与集合关系子集：若，则 ，即是的子集。真子集：若且（即至少存在，但 ），则是的真子集。若集合中有个元素，则集合的子集个数为 ，真子集个数为 。任何一个集合是它本身的子集，即 。对于集合，如果，且，则 。空集是任何集合的 ，是任何 集合的真子集。集合相等：且 。运算交集：定义： 且 性质： , , ， , 。并集：定义： 或 性质： , , ， , 。 。补集：定义： 且 性质： , , , ， 。9 /

2、 9二、函数§2.1函数及其表示映射：设，是两个非空的集合，按照某种对应关系，使对于集合中的 元素，在集合中都有 的元素和它对应，那么就称为从集合到集合的一个映射。函数的三要素： 、 、 。函数的主要表示方法： 、 、 。函数的定义域：分式的分母 。偶次根式的被开方数 。对数的真数 ，底数 。零次幂的底数 。三角函数中的正切函数，。已知函数定义域为，求函数的定义域，只需 。已知函数定义域为，求函数的定义域，只需要求的 。§2.2函数的基本性质函数的单调性设函数的定义域为：（1）如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有，就说在这个区间上是 。（2）如果

3、对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有，就说在这个区间上是 。利用函数的导数判断单调性设函数在某个区间内可导，如果，则在这个区间上为 ；如果 ，则在这个区间上为减函数。函数单调性的常用结论：若，均为某区间上的增函数，则在这个区间上也为 ；若，均为某区间上的减函数，则在这个区间上也为 。若为增函数，则为 ；若为减函数，则为 。若与的单调性相同，则是 ；若与的单调性不同，则是 。奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性 。常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。函数的奇偶性对于函数，如果对于定义域内任意一个，都有 ，那

4、么就叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个，都有，那么就叫做 。奇函数的图象关于 成中心对称图形；偶函数的图象关于 成轴对称图形。反之也成立。函数奇偶性的常用结论如果一个奇函数在处有定义，则 ；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则 （反之不成立）。两个奇函数之和（或差）为 函数，两个偶函数之和（或差）为 函数；两个奇函数之积（或商）为 函数，两个偶函数之积（或商）为 函数。一个奇函数与一个偶函数的积（或商）为 函数。两个函数和复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是 函数；当两个函数都是奇函数是，该复合函数是 函数。函数的周期性对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域

5、内的每一个值时， 都成立，那么是周期函数，是它的周期。函数图象的画法描点连线法： 、 、 。函数变换：平移变换：的图象向左平移个单位，得到函数 的图象； 的图象向右平移个单位，得到函数 的图象； 的图象向上平移个单位，得到函数 的图象； 的图象向下平移个单位，得到函数 的图象。伸缩变换：的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数 的图象；的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数 的图象。对称变换：与的图象关于 轴对称；与的图象关于 轴对称；与的图象关于 对称；的图象可将的图象在 轴下方的部分关于 轴对称，其余部分不变；的图象可先作出的图象，再根据 的图象关于轴对称，

6、作出的图象。§2.3基本初等函数指数函数指数的运算： 。 ； ； 。指数函数：定义：一般地，把函数 叫做指数函数。指数函数定义域 值域 图象作出函数 的图象作出函数的图象性质过定点 单调性： 单调性： 时， ；时， 。时， ；时， 。作出函数，的图象作出函数，的图象对数函数对数的运算：，为 ，为 。性质： ； ； ； 。换底公式： 。对数函数：定义：一般地，把函数 叫做对数函数。对数函数定义域 值域 图象作出函数 的图象作出函数的图象性质过定点 单调性： 单调性： 时， ；时， 。时， ；时， 。作出函数，的图象作出函数，的图象幂函数定义：一般地，函数 叫做幂函数，是自变量，是常数。

7、性质：所有幂函数在上都有定义，并且图象都通过点 。如果，则幂函数的图象过原点，并且在区间为 。如果，则幂函数的图象在区间是 。当为奇数时，幂函数为 ，当为偶数时，幂函数为 。幂函数为奇数为奇数作出函数图象奇偶性： 为奇数为偶数奇偶性： 为偶数为奇数奇偶性： 第一象限性质单调性： 单调性： 过定点： 二次函数1二次函数的定义：如果（、是常数，），那么叫做的二次函数。2二次函数的表达式：一般式：（）；（）；（）；顶点式：（）；（）；交点式：（）；3二次函数的图像：二次函数（）的图像是抛物线。开口：当时开口向上，并向上无限延伸；当时开口向下，并向下无限延伸。顶点、对称轴：把二次函数（）的右边二次三项

8、式配方，得（）点为抛物线的顶点，直线为抛物线的对称轴。4二次函数的性质：抛物线开口方向当时开口向上，并向上无限延伸；当时开口向下，并向下无限延伸。顶点坐标对称轴轴轴直线直线直线最值时，时，时，时，时，时，时，时，时，时，增减性在对称轴左侧，随的增大而减小作出函数图象在对称轴右侧，随的增大而增大在对称轴左侧，随的增大而增大在对称轴右侧，随的增大而减小5. 二次函数（）的系数，与抛物线的关系决定开口方向：时开口向上时开口向下，同时决定对称轴位置：，同号时对称轴在轴左侧，异号时对称轴在轴右侧0时对称轴是轴决定抛物线与轴的交点：>0时抛物线交于轴的正半轴<0时抛物线交于轴的负半轴0时抛物线过原点>0时，方程（）有两个实根，抛物线与轴有两个交点<0时，方程（）没有实根，抛物线与轴没有交点0时，方程（）有一个实根，抛物线与轴有一个交点，或者说抛物线与轴相切§2