人员安排问题

1、人员安排问题一位管理人员安排一些工程师完成三个项目A、B、C。项目A、B、C分别需要18、12和30人一月来完成。工程师甲、乙、丙和丁都可以完成这些项目。他们的月工资分别是3000元、3500元、3200元和3900元。假设工程师在每6个月中只能被安排一个项目，所有项目要求只能在18个月内完成。1.求完成所有项目的总费用最小的分配方案（分配工程师到具体项目）。2.假设由于个性冲突，工程师乙和丙不能同时在一个项目中工作。他们的个人矛盾会对人员的安排带来额外损失吗?3.如果项目A能够在前6个月内完成，公司会发10000元的奖金。这会改变最优解吗？解：1.（1）问题分析：a.要求求完成所有项目的总费

2、用的分配方案，用S表示项目的总费用；tij(i=1,2,3, j=1,2,3,4)表示第j个人完成项目i的时间（月数）。得到如下表1。甲乙丙丁项目At 11t 12t 13t 14项目Bt 21t 22t 23t 24项目Ct 31t 32t 33t 34表1 数据表完成所有项目的总费用，等于工程师甲、乙、丙和丁参与完成项目A、B、C各所用的月数与月工资的成绩之和，则可表示为：min S=3000*( t 11+ t 21+ t 31) +3500*（t 12+ t 22+ t 32）+3200*（t 13+ t 23+ t 33）+3900*（t 14+ t 24+ t 34）b.工程师甲、

3、乙、丙和丁完成项目A、B、C所用的总时间约束为：（t 11+ t 21+ t 31）+（t 12+ t 22+ t 32）+（t 13+ t 23+ t 33）+（t 14+ t 24+ t 34）>=60;18+12+30=60c. 项目A、B、C完成所需的时间约束为：t 11+ t 12+ t 13+ t 14>=18; t 21+ t 22+ t 23+ t 24>=12; t 31+ t 32+ t 33+ t 34>=30.d.所有项目要求只能在18个月内完后才（一个人最多只能工作18个月）：0<=t 11+ t 21+ t 31<=18; 0&l

4、t;=t 12+ t 22+ t 32<=18;0<=t 13+ t 23+ t 33<=18; 0<=t 14+ t 24+ t 34<=18. 由于问题需要将工程师分配到具体项目，所以将问题进行优化。a ij=1 i=j=1,2,3 表示甲工程师在j时期被安排于第i个项目;a ij=0 i=j=1,2,3 表示甲工程师在j时期不被安排于第i个项目;b ij=1 i=j=1,2,3 表示乙工程师在j时期被安排于第i个项目;b ij=0 i=j=1,2,3 表示乙工程师在j时期不被安排于第i个项目;c ij=1 i=j=1,2,3 表示丙工程师在j时期被安排于第i

5、个项目;c ij=0 i=j=1,2,3 表示丙工程师在j时期不被安排于第i个项目;d ij=1 i=j=1,2,3 表示丁工程师在j时期被安排于第i个项目;d ij=0 i=j=1,2,3 表示丁工程师在j时期不被安排于第i个项目.相应的具体到每个时期的表示方式如表2所示：时期一时期二时期三甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙丙丁项目Aa 11b 11c 11d 11a 12b 12c 12d 12a 13b 13c 13d 13项目Ba 21b 21c 21d 21a 22b 22c 22d 22a 23b 23c 23d 23项目Ca 31b 31c 31d 31a 32b 32c 32d 32a 33

6、b 33c 33d 33表2 数据表e.工程师甲、乙、丙和丁在时期一、时期二、时期三各阶段都有可能被安排参与项目，则：甲、a 11+ a 21+ a 31<=1 ; a 12+ a 22+ a 32<=1 ; a 13+ a 23+ a 33<=1.乙、b 11+ b 21+ b 31<=1 ; b 12+ b 22+ b 32<=1 ; b 13+ b 23+ b 33<=1.丙、c 11+ c 21+ c 31<=1 ; c 12+ c 22+ c 32<=1 ; c 13+ c 23+ c 33<=1.丁、d 11+ d 21+ d3

7、1<=1 ; d 12+ d 22+ d 32<=1 ; d 13+ d 23+ d 33<=1.f. 工程师们在一个时期内参与一个项目，工资应按6个月来计算，则工程师甲、乙、丙、丁工作于这几个项目所用的总时间为时期一、时期二、时期三的所有时间之和，则：甲、6*（a 11+ a12+ a13）= t 11; 6*（a 21+ a 22+ a 23）=t 21; 6*（a 31+ a 32+ a 33）=t 31;乙、6*（b11+ b12+ b13）= t 12; 6*（b 21+ b 22+ b 23）=t 22; 6*（b 31+ b 32+ b33）=t 32;丙、6*

8、（c11+ c12+c 13）= t 13; 6*（c 21+ c 22+ c 23）=t 23; 6*（c 31+ c 32+ c 33）=t 33;丁、6*（d11+ d12+ d13）= t 14; 6*（d 21+ d 22+ d 23）=t 24; 6*（d 31+ d 32+ d 33）=t 34;（2）建立模型(3)采用LINGO进行仿真具体的程序如图1所示：图1程序代码运行程序输出结果如下所示：Global optimal solution found. Objective value: 198000.0Objective bound: 198000.0Infeasibilit

9、ies: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 21Variable Value Reduced CostT11 0.000000 3000.000T21 0.000000 3000.000T31 18.00000 3000.000T12 6.000000 3500.000T22 12.00000 3500.000T32 0.000000 3500.000T13 6.000000 3200.000T23 0.000000 3200.000T33 12.00000 3200.000T14 6.000000 3900.00

10、0T24 0.000000 3900.000T34 0.000000 3900.000A11 0.000000 0.000000A12 0.000000 0.000000A13 0.000000 0.000000A21 0.000000 0.000000A22 0.000000 0.000000A23 0.000000 0.000000A31 1.000000 0.000000A32 1.000000 0.000000A33 1.000000 0.000000B11 0.000000 0.000000B12 1.000000 0.000000B13 0.000000 0.000000B21 1

11、.000000 0.000000B22 0.000000 0.000000B23 1.000000 0.000000B31 0.000000 0.000000B32 0.000000 0.000000B33 0.000000 0.000000C11 1.000000 0.000000C12 0.000000 0.000000C13 0.000000 0.000000C21 0.000000 0.000000C22 0.000000 0.000000C23 0.000000 0.000000C31 0.000000 0.000000C32 1.000000 0.000000C33 1.00000

12、0 0.000000D11 1.000000 0.000000D12 0.000000 0.000000D13 0.000000 0.000000D21 0.000000 0.000000D22 0.000000 0.000000D23 0.000000 0.000000D31 0.000000 0.000000D32 0.000000 0.000000D33 0.000000 0.000000 整理输出结果如表3和表4所示：甲乙丙丁项目A0666项目B01200项目C180120表3数据表时期一时期二时期三甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙丙丁项目A001101000000项目B010000000100项

13、目C100010101010表4数据表答：根据仿真结果可以得出第一时期，甲工程师在C项目，乙工程师在B项目，丙和丁工程师在A项目 ；第二时期，甲和丙工程师在C项目，乙工程师在A项目，丁工程师休息；第三时期，甲和丙工程师在C项目，乙工程师在B项目。2.（1）问题分析：根据要求工程师乙和丙不能同时在一个项目中工作，所以只需要在1中的问题分析中加入另一个约束条件即可。添加条件如下所示：b11+c11<=1;b12+c12<=1;b13+c13<=1;b21+c21<=1;b22+c22<=1;b23+c23<=1;b31+c31<=1;b32+c32<

14、=1;b33+c33<=1.（2）建立模型（3）采用LINGO进行仿真具体的程序如图2所示：图2程序代码运行程序输出结果如下所示： Global optimal solution found.Objective value: 198000.0Objective bound: 198000.0Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 21Variable Value Reduced CostT11 0.000000 3000.000T21 0.000000 3000.000T31 18

15、.00000 3000.000T12 6.000000 3500.000T22 12.00000 3500.000T32 0.000000 3500.000T13 6.000000 3200.000T23 0.000000 3200.000T33 12.00000 3200.000T14 6.000000 3900.000T24 0.000000 3900.000T34 0.000000 3900.000A11 0.000000 0.000000A12 0.000000 0.000000A13 0.000000 0.000000A21 0.000000 0.000000A22 0.000000

16、 0.000000A23 0.000000 0.000000A31 1.000000 0.000000A32 1.000000 0.000000A33 1.000000 0.000000B11 0.000000 0.000000B12 1.000000 0.000000B13 0.000000 0.000000B21 1.000000 0.000000B22 0.000000 0.000000B23 1.000000 0.000000B31 0.000000 0.000000B32 0.000000 0.000000B33 0.000000 0.000000C11 1.000000 0.000

17、000C12 0.000000 0.000000C13 0.000000 0.000000C21 0.000000 0.000000C22 0.000000 0.000000C23 0.000000 0.000000C31 0.000000 0.000000C32 1.000000 0.000000C33 1.000000 0.000000D11 1.000000 0.000000D12 0.000000 0.000000D13 0.000000 0.000000D21 0.000000 0.000000D22 0.000000 0.000000D23 0.000000 0.000000D31

18、 0.000000 0.000000D32 0.000000 0.000000D33 0.000000 0.000000整理输出结果如表5和表6所示：甲乙丙丁项目A0666项目B01200项目C180120表5数据表时期一时期二时期三甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙丙丁项目A001101000000项目B010000000100项目C100010101010表6数据表答：根据仿真结果得出乙和丙的个人矛盾不会带来额外损失。3.（1）问题分析：g. 如果项目A能够在前6个月内完成，公司会发10000元的奖金,所以要加入约束条件：a11+b11+c11+d11=3; (2)建立模型（3）采用LINGO进行仿真具

19、体的程序如图3所示：图3程序代码程序运行结果如下所示：Global optimal solution found.Objective value: 198000.0Objective bound: 198000.0Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 21Variable Value Reduced CostT11 0.000000 3000.000T21 0.000000 3000.000T31 18.00000 3000.000T12 6.000000 3500.000T22 12

20、.00000 3500.000T32 0.000000 3500.000T13 6.000000 3200.000T23 0.000000 3200.000T33 12.00000 3200.000T14 6.000000 3900.000T24 0.000000 3900.000T34 0.000000 3900.000A11 0.000000 0.000000A12 0.000000 0.000000A13 0.000000 0.000000A21 0.000000 0.000000A22 0.000000 0.000000A23 0.000000 0.000000A31 1.000000 0.000000A32 1.000000 0.000000A33 1.000000 0.000000B11 1.000000 0.000000B12 0.000000 0.000000B13 0.000000