第五节曲面及其方程

1、第五节 曲面及其方程教学目的：介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。教学重点：1.球面的方程 2.旋转曲面的方程教学难点：旋转曲面 教学内容：一、曲面方程的概念1. 实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。2. 曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程（1）有下述关系：（1） 曲面上任一点的坐标都满足方程（1）（2） 不在曲面上的点的坐标都不满足方程（1）那么，方程（1）就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程（1）的图形。3几种常见曲面（1）球面例1：建立球心在、半径为R的球面

2、的方程。 解：设是球面上的任一点，那么即：或：特别地：如果球心在原点，那么球面方程为（讨论旋转曲面）（2）线段的垂直平分面（平面方程）例2：设有点和，求线段的垂直平分面的方程。 解：由题意知道，所求平面为与和等距离的点的轨迹，设是所求平面上的任一点，由于，那么化简得所求方程研究空间曲面有两个基本问题：（1） 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状。i. 旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。二、旋转曲面的方程设在yoz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为f（y，z）0把这曲线绕

3、z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，设为曲线C上的任一点，那么有f（y1，z1）0（2）当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴旋转到另一点，这时zz1保持不变，且点M到z轴的距离将z1z，代入（2）式，就有螺旋曲面的方程为旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角（0°<<90°），方程为：其中三、柱面1定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。 定曲线C：准线动直线L：母线2特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线

4、平行于y轴的柱面。3：几个常用的柱面：b) 圆柱面：（母线平行于z轴）c) 抛物柱面：（母线平行于z轴）小结：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)。作业：作业卡 P74第六节 空间曲线及其方程教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式。第五、六节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。教学重点：1.空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影教学难点：空间曲线在坐标面上的投影教学内容：一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。特点：曲线上的点都满足

5、方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数：当给定时，就得到曲线上的一个点，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程为（3）消去其中一个变量（例如z）得到方程（4）曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上。此柱面（垂直于平面）称为投影柱面，投影柱面与平面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为同理可以求出空间曲线在其它坐标面上的投影曲线。在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线。例1：设一个立

6、体由上半球面和锥面所围成，见右图，求它在面上的投影。 解：半球面与锥面交线为消去z并将等式两边平方整理得投影曲线为：即平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。立体在平面上的投影为圆所围成的部分：小结：1.空间曲线的一般方程、参数方程：2.空间曲线在坐标面上的投影作业： 作业卡 P74 第七节 平面及其方程教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。教学重点：1.平面方程的求法 2.两平面的夹角教学难点：平面的几种表示及其应用教学内容：一、

7、平面的点法式方程1平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。2平面的点法式方程已知平面上的一点和它的一个法线向量，对平面上的任一点，有向量n，即n代入坐标式有：（1）此即平面的点法式方程。例1：求过三点（2，1，4）、（1，3，2）和（0，2，3）的平面方程。解：先找出这平面的法向量，由点法式方程得平面方程为即：二、 平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。平面的一般方程为：几个平面图形特点：1）D0：通过原点的平面。2）A0：法线向量垂直于轴，表示一个平行于轴的平面。同理：B0或C0：分别表示一个平行于轴或轴的平面。3）

8、AB0：方程为，法线向量，方程表示一个平行于面的平面。同理：和分别表示平行于面和面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：都表示一个平面，该平面的法向量为例2：设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程。解：设平面为，由平面过原点知由平面过点知， 所求平面方程为三两平面的夹角定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。设平面， 按照两向量夹角余弦公式有：三、几个常用的结论设平面1和平面2的法向量依次为和1) 两平面垂直：（法向量垂直）2) 两平面平行：（法向量平行）3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点，平面的方程为 ，则点到平面的距离为例3：研究以下各组里两平面的位置关系

9、：解：(1)，两平面相交，夹角(2) ， 两平面平行两平面平行但不重合。（3）两平面平行所以两平面重合小结：平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。两平面的夹角以及点到平面的距离公式。作业：作业卡 P75第八节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点：1.直线方程 2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式 2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。已知直线上的一点和它的一方

10、向向量，设直线上任一点为，那么与s平行，由平行的坐标表示式有：此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）如设就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。例1：用对称式方程及参数方程表示直线 解：在直线上任取一点，取解得，即直线上点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程为：参数方程：例2 一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程 解：因为直线和轴垂直相交,所以交点为取，所求直线方程：一 两直线的夹角两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。设两直线和的方向向量依次为和，两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算两直线和垂

11、直： （充分必要条件）两直线和平行：（充分必要条件）例3：求过点且与两平面和的交线平行的直线方程解：设所求直线的方向向量为，根据题意知直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取所求直线的方程三、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为。设直线的方向向量为，平面的法线向量为，直线与平面的夹角为，那么直线与平面垂直：s/n 相当于（充分必要条件）直线与平面平行：sn 相当于（充分必要条件）平面束方程： 过平面直线的平面束方程为四、杂例：例1：求与两平面x4z3和2xy5z1的交线平行且过点（3，2

12、，5）的直线方程。解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s一定与两平面的法线向量垂直，所以因此，所求直线的方程为例2：求过点（2，1，3）且与直线垂直相交的直线方程 解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为x= -1+3ty=1+2tz=-t并代入上面的平面方程中去，求得t，从而求得交点为以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量故所求直线方程为例3：求直线 在平面上的投影直线的方程 解：应用平面束的方法 设过直线的平面束

13、方程为即这平面与已知平面垂直的条件是解之得代入平面束方程中得投影平面方程为yz10所以投影直线为小结：本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）。作业：作业卡 P76第九节：二次曲面教学目的：介绍几个常见的二次曲面及描绘二次曲面的截痕法，为下学期的重积分及线面积分做准备。教学难点：截痕法 教学内容：一、二次曲面三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面二、截痕法用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。三、几种特殊的二次曲面1 椭球面方程为使用截痕法，先求出它与三个坐标面的交线： ，这些交线都是椭圆。再看这曲面与平行于坐标面的平面的交线：椭球面与平面的交线为椭圆（），同理与平面和的交线也是椭圆。椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化。可知其形状如右