第3章0102欧拉方法

1、微分方程微分方程: 包含自变量、未知函数及未知函数的包含自变量、未知函数及未知函数的导数导数或微分或微分的方程的方程常微分方程常微分方程: 未知函数为一元函数的微分方程未知函数为一元函数的微分方程偏微分方程偏微分方程: :未知函数为多元函数未知函数为多元函数, ,从而含有多元函从而含有多元函数偏导数的微分方程数偏导数的微分方程一阶常微分方程一阶常微分方程: 微分方程中各阶导数的最高阶数为微分方程中各阶导数的最高阶数为一阶的一阶的定解条件：定解条件：初值问题初值问题-给出积分曲线在初始时给出积分曲线在初始时刻的状态刻的状态边值问题边值问题-给出积分曲线在首末两给出积分曲线在首末两端的状态端的状态

2、 00)(,),(yxybaxyxfy定理：常微分方程初值问题定理：常微分方程初值问题设设x0a,b, f(x,y)对对 x 连续且关于连续且关于y满足满足李普希兹李普希兹条件条件，则上述初值问题在，则上述初值问题在a,b上有唯一解。上有唯一解。李普希兹李普希兹(Lipshitz)条件：条件： 存在常数存在常数L, ,使使2121),(),(yyLyxfyxf 对所有对所有xa,b及任何实数及任何实数y1、y2均成立。均成立。 00)(,),(yxybaxyxfy数值解法数值解法定解问题定解问题: :数值解法：数值解法： 给定点给定点a=x0 x1xn=b, , 将初值问题将初值问题离散化离散

3、化为差分方程为差分方程, ,求出解函数求出解函数( (积分曲线积分曲线) ) y(x) 在这些点的近似在这些点的近似值值y1 ,y2 ,yn 。所求得的所求得的近似值近似值 y1 ,y2 ,yn 称为微分方程的称为微分方程的数值解数值解。00( , )()dyf x ydxy xy一阶常微分方程初值问题一阶常微分方程初值问题 00( , )()dyf x ydxy xy 的数值解法。的数值解法。 基本思想：基本思想：常微分方程初值问题的数值解是求微分方程常微分方程初值问题的数值解是求微分方程的解的解( )y x（即微分方程初值问题的积分曲线） ， 在区间（即微分方程初值问题的积分曲线） ， 在

4、区间 , a b中中给定一系列点（节点）给定一系列点（节点）1nnnxxh（1,2,n ）上的近似）上的近似值值ny。这里。这里nh为为1nx到到nx的步长，且的步长，且0nh 。 差分方法差分方法(差分格式差分格式)3.1 3.1 欧拉方法欧拉方法3.1.1 3.1.1 欧拉欧拉(Euler)格式格式一阶常微分方程一阶常微分方程 00( , )()yf x yy xy 的解的解( )yy x是通过点是通过点00(,)xy的一条曲线的一条曲线( )yy x，称之为微分，称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点方程的积分曲线。积分曲线上每一点( , )x y的切线斜率的切线斜率( )y x等于

5、等于函数函数( , )f x y在这点的值。在这点的值。 1 1 几何推导几何推导 从初始点从初始点000(,)P xy出发，做切线出发，做切线0()y x，与，与1xx交于交于111( ,)P x y点，用点，用1y作为曲线作为曲线( )y x上的点上的点11( , ( )x y x的纵的纵坐标坐标1()y x的近似值。 再从的近似值。 再从1P做切线做切线1( )y x， 与， 与2xx交于交于222(,)P xy点，用点，用2y作为曲线作为曲线( )y x上的点上的点22(, ()xy x的纵坐标的纵坐标2()y x的近似的近似值。这样下去便可作出一条折线值。这样下去便可作出一条折线01

6、2P PP 。设已作。设已作出折线的顶点出折线的顶点为为nP，再从，再从nP做切线做切线()ny x，推进到，推进到111(,)nnnPxy。 过过00(,)xy做以做以000()(,)y xf xy为切线斜率的方程为切线斜率的方程 0000(,)()yyf xyxx 当当1xx时，得时，得100010(,)()yyf xyxx，取，取11()y xy。 过过11(,)x y做以做以111( )( ,)y xf x y为切线斜率的方程为切线斜率的方程 1111( ,)()yyf x yxx 当当2xx时，得时，得211121( ,)()yyf x yxx，取，取22()y xy。 一般地，过一

7、般地，过(,)nnxy做以做以()(,)nnny xf xy为切线斜率的方程为切线斜率的方程 (,)()nnnnyyf xyxx 当当1nxx时，得时，得11(,)()nnnnnnyyf xyxx，取，取1()nny xy。 从从0 x出发逐个算出出发逐个算出12,nx xx，对应的数值解，对应的数值解12,ny yy。 一般取一般取1nnxxh，得欧拉公式，得欧拉公式 1(,)nnnnyyhf xy 欧拉公式的几何意义欧拉公式的几何意义 用一条初始点重合的折线， 来近似表用一条初始点重合的折线， 来近似表示微分方程的解（积分曲线）示微分方程的解（积分曲线）( )yy x。 2 2 欧拉法的数

8、学推导欧拉法的数学推导 泰勒展开法泰勒展开法 将将1()ny x在在nx处做泰勒展开处做泰勒展开 21()()()()()2!nnnnnhy xy xhy xhy xy 当当h充分小时，忽略高次项得充分小时，忽略高次项得 22()()2!nhyO h 因此，有欧拉公式因此，有欧拉公式 1(,)nnnnyyhf xy 3 欧拉法欧拉法数值微分推导数值微分推导 用用向前差商向前差商代替导数代替导数 nxxxx,210 设设 等距，步长等距，步长1,0,1,nnhxxn yxfhxyxyhxyhxyhxyhxyxy,)()()( 令令x=xn , x+h=xn+1 , y(xn)yn ，y(xn+1

9、 ) yn+1 ,初值问题离散化为初值问题离散化为 00)(),(yxyyxfy初值问题初值问题100(,) ,0,1,2,()nnnnyyh f xyny xy(欧拉公式欧拉公式) 4 4 欧拉法的数值积分推导欧拉法的数值积分推导 将方程将方程( )( , )y xf x y两端从两端从nx到到1nx积分，有积分，有 11( )d( , ( )dnnnnxxxxy xxf x y xx 11()()( , ( )dnnxnnxy xy xf x y xx 算出积分项，可得算出积分项，可得1()ny x。利用。利用左矩形公式左矩形公式 1( , ( )d( , ( )nnxxf x y xxh

10、f x y x 代入，并离散化，有欧拉公式代入，并离散化，有欧拉公式 1(,)nnnnyyhf xy 例例 用欧拉方法解初值问题用欧拉方法解初值问题2(0)1xyyyy 其中其中0,1x。 解解 欧拉公式欧拉公式12(,)()nnnnnnnnxyyhf xyyh yy 0,1x，取步长，取步长 h=0.1，有，有 n=0 x0=0 0100022 0()10.1(1)1.11xyyh yy ， 1n12111220.1()1.10.1(1.1)1.19181.1xyyh yy1 . 01x 局部截断误差和阶：局部截断误差和阶：数值公式的精度数值公式的精度 定义定义 局部截断误差：假设第局部截断

11、误差：假设第n步是准确的，即步是准确的，即y(xn )=yn， 将将 y(xn+1 ) - yn+1 定义为数值方法的局部截定义为数值方法的局部截断误差断误差。 由于实际上由于实际上yn不是准确值，因此它的误差会传播不是准确值，因此它的误差会传播下去。实际计算时，每一步都可能产生舍入误差。下去。实际计算时，每一步都可能产生舍入误差。 定义定义 若局部截断误差为若局部截断误差为O(hp+1), p为正整数，则为正整数，则称数值公式是称数值公式是p阶阶公式公式, , 精度是精度是p阶。阶。 局部截断误差的局部截断误差的主项系数：主项系数： 若局部截断误差的主项可以表示为若局部截断误差的主项可以表示

12、为则称该格式是则称该格式是p阶阶的，系数的，系数C称为局部截断误差的称为局部截断误差的主项系数主项系数。 )()()!1(1)1(1pnpphOxyphCR 欧拉公式的截断误差是欧拉公式的截断误差是O(h2)，公式是公式是1 阶阶的，局部截断误差的主项系数为的，局部截断误差的主项系数为1。1(,)()()nnnnnnyyh f xyy xh y x211()() () ( )2nnny xy xyxhyh二阶泰勒公式二阶泰勒公式 两式相减，由设两式相减，由设 yn=y(xn ) ，有，有 22112nnhy xyyO h欧拉公式的局部截断误差和阶欧拉公式的局部截断误差和阶取步长取步长2 . 0

13、h，用欧拉法解初值问题，用欧拉法解初值问题1)0(2yxyyy其中其中6 . 0 , 0 x。 解解 用欧拉法求解公式，得用欧拉法求解公式，得 )(),(21nnnnnnnnyxyhyyxhfyy 取步长取步长h h=0.2=0.2 时，时，6 . 0 , 0 x，有，有 n=0 221000010.2( 10 1 )0.8yyhyx y 1n 22211110.80.20.80.2 0.80.6144yyhyx y 2n 22322220.61440.20.61440.40.61440.461321yyhyx y隐式（后退）欧拉公式：隐式（后退）欧拉公式： 取取1()ny x的的向后差商向后

14、差商 111() ()()nnny xy xy xh 替代替代111()(,)nnny xf xy中的导数项，并离散化，则有隐式欧拉中的导数项，并离散化，则有隐式欧拉公式有公式有 111(,)nnnnyyhf xy 隐式欧拉公式的局部截断误差：隐式欧拉公式的局部截断误差： 假设假设()nnyy x，则，则 211()()2nnnhy xyyx = =O(h2) 隐式欧拉公式与显式欧拉公式的隐式欧拉公式与显式欧拉公式的精度精度相当，都是相当，都是一阶一阶方法。方法。 3.1.2 隐式欧拉格式隐式欧拉格式为 了 提 高 精 度 ， 改 用为 了 提 高 精 度 ， 改 用 中 心 差 商中 心 差

15、 商 111 ()()2nny xy xh 替 代替 代()(,)nnny xf xy中的导数项，并离散化，有中的导数项，并离散化，有两步欧拉公式两步欧拉公式 112(,)nnnnyyhf xy 两步欧拉公式是两步法，要用两步欧拉公式是两步法，要用前两步前两步的值。的值。 两步欧拉公式的两步欧拉公式的局部截断误差局部截断误差: : 231()()()()()( )2!3!nnnnnhhy xy xhy xhy xy xy 231()()()()()( )2!3!nnnnnhhy xy xhy xhy xy xy 上二式相减，可得上二式相减，可得 3.1.3 两步欧拉格式两步欧拉格式311()(

16、)2()( )3nnnhy xy xhy xy 311()()2()( )3nnnhy xy xhy xy 设设()nnyy x，11()nnyy x前两步准确。则上式成为前两步准确。则上式成为 311()2(,)( )3nnnnhy xyhf xyy 与与 112(,)nnnnyyhf xy 相比较，因此，有相比较，因此，有 两步欧拉公式的局部截断误差是两步欧拉公式的局部截断误差是3()O h，是，是二阶方法二阶方法。 3.2 3.2 改进的欧拉方法改进的欧拉方法对微分方程对微分方程y=f(x,y) 两边求两边求xn到到xn+1 的定积分，有的定积分，有11()()( , ( )dnnxnn

17、xy xy xf x y xx选用不同的方法计算积分，就会得到不同的差分格式选用不同的方法计算积分，就会得到不同的差分格式. 1111( , ( )d (, ()(, ()2nnxnnnnnnxxxf x y xxf xy xf xy x将将y(xn ) 、y(xn+1 )分别用分别用yn、yn+1 代替，构造数值公式代替，构造数值公式11100 (,)(,) ,0,1,2,2()nnnnnnhyyf xyf xynyy x3.2.1. 梯形格式梯形格式利用利用梯形公式梯形公式计算积分，有计算积分，有 梯形梯形格格式式 111(,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy 梯形公式是梯形公式

18、是显式显式欧拉公式与欧拉公式与隐式隐式欧欧拉公式的拉公式的算术平均算术平均，也是，也是隐式公式隐式公式。 3.2.2 3.2.2 改进的欧拉格式改进的欧拉格式 欧拉方法欧拉方法 ，显式，计算量小，精度低。，显式，计算量小，精度低。梯形方法梯形方法 是隐式公式是隐式公式 , ,计算量大，精度高。计算量大，精度高。 实际计算时，将二者综合之，先用欧拉公式计算出实际计算时，将二者综合之，先用欧拉公式计算出yn+1作作为初始值为初始值, ,初始值精度不高，取作初始值精度不高，取作预报值预报值，代入梯形公式，代入梯形公式，得到得到校正值校正值yn+1。写成写成预报预报- -校正公式校正公式 1111(,

19、) (,)(,)2nnnnnnnnnnyyh f xyhyyf xyf xy1(,)nnnnyyh f xy111 (,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy预报预报- -校正公式校正公式又常常写成一步嵌套显式形式又常常写成一步嵌套显式形式 或写成平均化形式或写成平均化形式11 (,)(,(,)2nnnnnnnnhyyf xyf xyh f xy11(,)(,)1()2pnnncnnpnpcyyh f xyyyh f xyyyy预报预报- -校正公式的局部截断误差校正公式的局部截断误差 y(xn+1)- yn+1=O(h3)1111(,) (,)(,)2nnnnnnnnnnyyh f x

20、yhyyf xyf xy 32,21,hOyxfyxfyxfhyxfhyiiiiyiixiii 预报预报- -校正公式的局部截断校正公式的局部截断误差误差假设假设 yi=y(xi), 解函数在解函数在x=xi处的处的泰勒公式泰勒公式为为 32121hOhxyhxyxyxyiiii hyi 1),(),(2111 iiiiiiyxfyxfhyy在改进的欧拉公式中，在改进的欧拉公式中， ),(),(2hhxfyxfhyhiiii 设设则有则有求出在求出在h=0处的泰勒公式，整理后得处的泰勒公式，整理后得 00,021,032 hOyxfyxfhyxfhiiyiixii iy 0 上式上式h 和和h2 项的乘数应为零，于是项的乘数应为零，于是 ,0iiixyyxf iiiiiyiixxyyxfyxfyxf ,0 32,2,hOyxfyxfyxfhyxfhyiiiiyiixiii 111 iiixyhxyy 320200hOhh 3hO 因而因而改进的欧拉法改进的欧拉法是是二阶二阶的。的。 用改进欧拉法解初值问题用改进欧拉法解