函数的单调性(1)

1、1函数的单调性函数的单调性 2我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律。的规律。( ) fxx函数的图像由左到右是上升的2f(x) = x函数在轴的左侧是下降的，在轴的右侧是上升的。f(x)=xR函数在上函数值随的增大而增大2f(x) = x-0函数在（， 上函数值随的增大而减小，在（，）上函数值随的增大而增大。递增的递增的递增的递增的递减的递减的1x1f(x )2x2f(x )3一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I I: : 一、一、函数是单调性的定义函数是单调性的定义f(x)12xx，12xx12f(x

2、 )f(x ) 如果对于定义域如果对于定义域I I内内 上的上的 两个自变量的两个自变量的值值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函数，那么就说函数 在区间在区间D D上是上是 某个区间某个区间D D任意任意递增的递增的（一）增函数（一）增函数1x2xx0y)(1xf)(2xf上升上升4一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I:I:f(x)12xx，12xx12f(x )f(x ) 如果对于定义域如果对于定义域I I内内 上的上的 两个自变量的两个自变量的值值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函数，那么就说函数 在区间在区间D D上是上是 某个区间某个区间D

3、 D任意任意递减的（二）减函数（二）减函数x0y1x2x)(1xf)(2xf下降下降5 （三）单调性（三）单调性 如果函数如果函数 在区间在区间D D上是增加的或减少的，那么上是增加的或减少的，那么就说函数就说函数 在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区，区间间D D叫做叫做 的单调区间的单调区间 如果函数如果函数 在在整个定义域内整个定义域内是增加的或是减少是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是的，我们分别称这个函数是增函数增函数或或减函数减函数，统称为，统称为单调单调函数函数yf(x)yf(x)yf(x)(x)yf61.1.在中学数学中所说的单调性是指严格的单调

4、性在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, ,即必须是即必须是f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2),),而不能是而不能是f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) () (或或f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2););二、二、 对函数单调性的理解对函数单调性的理解2.2.函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, ,是局部概念是局部概念; ;3.3.学习函数的单调性学习函数的单调性, ,要注意定义中条件和结论是要注意定义中条件和结论是双向使用的双向使用的. .xy074.函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质。（这个区间可以是整个

5、定义域这个区间也可以是定义域的真子集）5.单调性讨论必须在一个区间上。6.区间端点的写法（对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此写单调区间是包括端点也可以不包括也可以，但对于某些点无意义时单调区间就不包括这些点）(如1,yx87.并不是所有函数都具有单调性，有的函数不具有单调性（如y=2，y=x(x0,1,2)8.函数单调性定义中的, ， 必须满足任意性，不可以随意取两个特殊值。函数单调性的几何意义：单调增函数：在定义区间上图像从左到右上升单调减函数：在定义区间上图像从左到右下降1x2x9 2 2、如果对于区间（如果对于区间（a a，b b）上的任

6、意）上的任意x x有有f(x)f(x)f( f(a a) )，则函数，则函数f(x)f(x)在在区间（区间（a a，b b）上）上是是增增函数函数想一想想一想判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确12xx1 1、如果对于区间（、如果对于区间（a a，b b）上存在）上存在 ，使得，使得则函数则函数f(x)f(x)在区间（在区间（a a，b b）上是增函数。）上是增函数。12f(x )f(x )3 3、函数、函数f(x)f(x)在区间（在区间（a a，b b）上有无数个自变量）上有无数个自变量x x，使得当，使得当 时，有时，有 则函数则函数f(x)f(x)在区间（在区间（a a，b b）上是

7、增函数。）上是增函数。12axx.b12)f(a)f(xf(x.f(b)4 4、若、若f(x)是是R R上的增函数，且上的增函数，且 , , 则则 。12( )( )f xf x12xx错误错误错误错误错误错误正确正确10三、单调区间的求法：（1）直观法：对于我们熟悉的函数，如一次函数，二次函数，反比例函数等，可直观判断它们的单调性，写出其单调区间（2）图像法：能作出图像的函数我们可通过观察法确定函数的单调区间。（3）定义法：有些函数不能作出图像，也不能观察出单调区间，只有用定义法来求其单调区间，对于抽象函数单调性判断的方法11依据函数图象给出单调区间 12131415 例例1 1：下图是定义

8、在闭区间下图是定义在闭区间 -5-5，55上的函数上的函数y= =（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数-5Ox y12345-1-2-3-4123-1-2解：解：yf（x）的单调区间有）的单调区间有 5 5，2 2），）， 2 2，1 1），），11，3 3），），33，5.5.其中其中yf（x）在）在 5 5，2 2），），11，3 3）上）上是减函数是减函数， 在在 2 2，1 1），），33，5 5）上是增函数）上是增函数. .)(xfy16不能作函数图像用定义法求解函数单调性及单调区间 17181920本节课主要学习了以下内容：本节课主要学习了以下内容： 2 2根据定义证明函数的单调性的主要步根据定义证明函数的单调性的主要步骤骤 1 1函数的单调性及单调区间的概念；函数的单调性及单调区间的概念；211.1.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数上，函数是增函数还是减函数. .解：解：函数的单调区间是函