数列与极限部分复习讲义

1、数列与极限部分复习讲义上南中学 欧阳民一、复习目标定位1 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 2 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前项和公式，并能解决简单的实际问题 3 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前项和公式，井能解决简单的实际问题 4 .会应用归纳法的原理进行归纳和猜想，知道数学归纳法的原理，理解数学归纳法的两个步骤，掌握数学归纳法的步骤，会用数学归纳法证明有关自然数的命题.5 .理解直观描述的数列极限的意义，掌握数列极限的四则运算法则；会求无穷等比数列各项的和，会用数列知识解决简单的实际问题

2、；通过数列概念的建立及其应用，提高数学抽象能力，发展数学建模能力.二、知识点归纳1 一般数列的通项与前项和的关系：2 等差数列的通项公式：，(其中为首项、为已知的第项) 当时，是关于的一次式；当时，是一个常数3 等差数列的前项和公式：， 当时，是关于的二次式且常数项为；当时（），是关于的正比例式 4 等差数列的通项与前项和的关系：5 等差中项公式： （有唯一的值）6 等比数列的通项公式：，(其中为首项、为已知的第项，)7 等比数列的前项和公式：当时， (是关于的正比例式)；1 / 13当时，=8 等比中项公式： （，有两个值）9 等差数列的任意连续项的和构成的数列、仍为等差数列 10 等差数列

3、中，若则11 等比数列中，若，则12 等比数列的任意连续项的和构成的数列、仍为等比数列（当为偶数且公比为的情况除外）13 两个等差数列与的和差的数列、仍为等差数列 14 两个等比数列与的积、商、倒数的数列、仍为等比数列 15 等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16 等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 17 三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：。18 三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：。 (因为其公比为>0,对于公比为负的情况不能包括)19 为等差数列，则 ()是等比数列 20 （）是等比数列，则 (且) 是等差数列 21 .研究一个数列的极限，

4、关注的是数列“后面”无限项的数值问题，改变该数列“前面”任何项的值，都不会影响这个数列的极限22 .数列前项和不同于无穷数列各项和，前者表示有穷项和，后者表示无穷项和（所有项和），两者表述的项数范围不同23 .归纳法属特殊到一般的数学思想方法，用它推断出的结论有时正确有时不一定正确（除完全归纳法推出的结论是正确外）.这种推理虽然不严谨，有时会推测错误的结论，但它却是探索新问题、学习新知识、发现新规律的重要途径24 .数学归纳法的适用范围，仅限于有关自然数（或）的命题.整数、有理数和实数等都是无限集，它们有关的命题用数学归纳法是不适用的。三、复习教学点睛1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注

5、意辨析数列中的项与数集中元素的异同。 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性；2 数列前项和与通项的关系式 ；3 求通项常用方法； 作新数列法：作等差数列与等比数列 累差叠加法 最基本形式是 归纳、猜想法 4 数列前项和常用求法； 重要公式 等差数列中 裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项 错项相消法 并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 5 求数列的最大、最小项的方法； 如 ，如 研究函数的增减性 如6 . 数列极限的理解 ； 7 . 等比数列的各项和及其应用 ；8 . 数学

6、归纳法及应用 。四、题型、方法1、等差数列中，通项，前项和（为公差，）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：是常数(=常数，)，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数有：（）。例数列满足：.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式。分析：注意证明数列是等差数列，则要证明是常数，而，所以，即数列是等差数列。又，则，所以。2、等差数列前项和、次项和、再后项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前项和（和不为0）、次项和、再后项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前项的积、次项的积、再后项的积仍成等比数列。例1已知数列是等差数列，

7、是其前项的和，则；分析：注意到是等差数列的连续4项的和，它们成等差数列，可以得到，所以。例2已知数列是等比数列，是其前项的积，则。分析：由成等比，则，所以。3、在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质。例数列是等比数列，且公比为整数，则的值为。分析：由得或，又此数列的公比为整数，所以公比，则。4、等差数列当首项且公差，前n项和存在最大值.当首项且公差，前项和存在最小值，求等差数列前项和的最值可以利用不等式组来确定的值；也可以利用等差数列的前项的和是的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解。例1若是等差数列，首项，则（1）使前项和最大的自然数是

8、；（2）使前项和的最大自然数 ；分析：由条件可以看出，可知最大，则使最大的自然数为2006；由知，所以，则使的最大自然数为4012。例2在等差数列中，满足且是数列前项的和，若取得最大值，则。分析：首项、公差（比）是解决等差（比）数列的最基本出发点，等差（比）数列的运算多可以通过首项与公差（比）来解决.由知，则.当时，当时，所以。5、数列是等比数列，其前项的和是关于的分段函数，在求和过程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论.例1数列是等比数列，前项和为，且，求的取值范围。分析：注意到等比数列的公比是不为零的常数，前项和存在的前提条件是，且，知，则，有，则。例2数列是等比数列，首项，公比，求的值。

9、分析：涉及到等比数列的前项和的问题不能直接的应用公式，要考虑到公比的取值情况.当时，此时；当时，则=。6、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差（比），若不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若是等差数列，则对于任意自然数有；若是等比数列，则对于任意的自然数，有，在这两关系式中若取，这就是等差（比）数列的通项公式。例1已知数列是等差数列，首项，且.若此数列的前项和为，问是否存在最值？若存在，为何值？若不存在，说明理由。分析：对于本题来说，等差数列的基本性质用不上，可以化归为首项与公差来解决。设此数列的公差为，则，即，由知，所以数列是递减数列，故有最大值而

10、无最小值.由等差数列的通项公式知：，当时，当时，.所以最大.综上知，当时，最大，不存在最小值。例2已知正项等比数列中，首项，且.若此数列的前项积为，问是否存在最值？说明理由。分析：与例1联系起来，这是数列中的“类比”问题.其解决的思想方法是一样的，对于单调正项数列，前项积最大（小），则应满足。设此数列公比为，则，则.由知：时，时，.所以当时，最大，没有最小值。特别注意等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示.我们知道：若数列是正项等比数列，记，则数列是等差数列.反之若数列是等差数列，记，则数列是等比数列。7、已知数列的前项和

11、，求数列的通项公式时，要注意分段，当满足时，才能用一个公式表示。例已知数列的前项和，若是等差数列，求的通项公式。分析：证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的定义出发。等差、等比数列的性质不能作为证明的理由。由知，时，当时，.当时，而.若数列是等差数列，则，所以，则。8、形如：+的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如：的递推数列，求通项用连乘（约项）法。例数列满足，求数列的通项公式。分析：解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的基本递推关系：，等比数列的递推关系：。由题知：相加得：，又，所以，而满足此式，则。9、一次线性递推关系：数列满

12、足：是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当时，此数列是等差数列，当（时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令化成等比数列求解。例已知数列满足：，求此数列的通项公式。分析：由得：知数列是等比数列，首项为2，公比为2，所以，知。10、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项。例某企业去年底有资金积累万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在原有的基础上增长20%，但每年底要留出万

13、元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求的最大值。分析：与年数相关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系，在设数列时就要指明.特别注意年底、年初的不同。设从今年开始每年底该企业的资金积累为万元，则（万元），则.所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，。由题知，则，求得：。即的最大值大约为8%。11、常见的极限要记牢：，注意存在与是不相同的，特别注意此式的结构形式；若是关于的多项式函数，要会求。例1求下列各式的值：（1）。分析：对于指数型的分式型极限，一般是分子、分母同除以幂底数绝对值较大的幂，这样可以求出极限。（1）当时，原式；当时，原式。例2若，则；。分析：对于分子分母是关于的整式的分式型极限，若分子的最高的幂指数大于分母的最高的幂指数，则此式极限不存在；当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时，极限是分子、分母的最高次幂的系数比；当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时，极限是零.注意