二次函数存在性——平行四边形

1、 二次函数存在性二次函数存在性 平行四边形问题平行四边形问题在坐标平面内，两点在坐标平面内，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点的中点 M(x，y) 的坐标之间满足：的坐标之间满足：221yyy，221xxx知识储备：知识储备：中点坐标公式中点坐标公式例例1已知平行四边形已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的三个顶点 A(3，0)， B(2，2)，C(5，2)，求顶点，求顶点 D 的坐标的坐标 所以顶点所以顶点 D 的坐标为的坐标为 (0，4) 分析：分析：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同所以它们的坐标也相同12212

2、2yx40yx解得解得 解：设点解：设点 D 的坐标为的坐标为 (x，y) ， A (3，0)， B (2，2)， C (5，2)，线段线段BD中点为中点为（ ， ）22x22y 线段线段AC中点为中点为（1，1）例例2已知平行四边形已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的三个顶点 A(x1，y1)， B(x2，y2) ， C(x3，y3) ，求顶点，求顶点 D 的坐标的坐标 D 点坐标为点坐标为 (x1+x2+x3，y1+y2+y3) 2222231231yyyyxxxx231231yyyyxxxx解得解得 解：设点解：设点 D 的坐标为的坐标为 (x，y) ， A(x1，y1)， B(x2，

3、y2) ， C(x3，y3) ， 线段线段AC中点为中点为（ ， ）231xx 231yy 线段线段BD中点为中点为（ ， ）22xx 22yy 例例1.1.如图，抛物线如图，抛物线y= xy= x2 2+x- +x- 与与x x轴相交于轴相交于A A、B B两点，顶点为两点，顶点为P P（1 1）求点）求点A A、B B的坐标；的坐标；（2 2）坐标平面内是否存在点）坐标平面内是否存在点F F，使得以，使得以A A、B B、P P、F F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点符合条件的点F F的坐标的坐标2123点点F F的坐标为（的坐标

4、为（-1-1，2 2）、）、（3 3，-2-2）、（）、（-5-5，-2-2）题型一：题型一：已知三个定点已知三个定点变式：变式：已知：抛物线已知：抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴相交于轴相交于A A、B B两点（两点（A A、B B分别在原点的左右两侧），与分别在原点的左右两侧），与y y轴轴正半轴相交于正半轴相交于C C点，且点，且OAOA：OBOB：OC=1OC=1：3 3：3 3，ABCABC的面积为的面积为6 6，（如图，（如图1 1）（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）坐标平面内是否存在点）坐标平面内是否存在点M M，使得以点，使得

5、以点M M、A A、B B、C C为顶为顶点四边形是平行四边形？若点四边形是平行四边形？若存在，请求出点存在，请求出点M M的坐标；若的坐标；若不存在，请说明理由；不存在，请说明理由；M1M1（4 4，3 3）或）或M2M2（-4-4，3 3）或）或M3M3（2 2，-3-3）1已知，如图抛物线已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c与与y轴交于轴交于C点，点，与与x轴交于轴交于A、B两点，两点，A点在点在B点左侧。点点左侧。点B的坐标的坐标为为(1，0),OC=30B (1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式； (2)若点若点D是线段是线段AC下方抛物线上的动点，求四边下方抛物线上的动点，求四

6、边形形ABCD面积的最大值：面积的最大值：题型二：题型二：已知两个定点已知两个定点(3)若点若点E在在x轴上，点轴上，点P在抛物线上。是否存在以在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以为顶点且以AC为一边的平行四边形为一边的平行四边形?若存若存在，求点在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由2如图，已知抛物线如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于与一直线相交于A（1，0），），C（2，3）两点，与）两点，与y轴交于点轴交于点N其顶点为其顶点为D（1）抛物线及直线）抛物线及直线AC的函数关系式；的函数关系式；（2）设点）设点M（3，m），求使），求使MN

7、+MD的值最小时的值最小时m的值；的值；（3）若抛物线的对称轴与直线）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点相交于点B，E为直线为直线AC上的上的任意一点，过点任意一点，过点E作作EFBD交抛物线于点交抛物线于点F，以，以B，D，E，F为为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，的坐标；若不能，请说明理由；请说明理由；（4）若）若P是抛物线上位于直线是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求上方的一个动点，求APC的的面积的最大值面积的最大值 小结：确定两定点连接的线段为一边，小结：确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行

8、且相等则两动点连接的线段应和已知边平行且相等例例2.2.如图，抛物线如图，抛物线y=- xy=- x2 2+bx+c+bx+c与与x x轴交于轴交于A A、B B两两点（点（A A点在点在B B点左侧），与点左侧），与y y轴交于点轴交于点C C，对称轴为，对称轴为直线直线x=1/2 x=1/2 ，OA=2OA=2，ODOD平分平分BOCBOC交抛物线于点交抛物线于点D.D.（1 1）求抛物线的解析式和点）求抛物线的解析式和点D D的坐标；的坐标；（2 2）点）点M M是抛物线上的动点，是抛物线上的动点，在在x x轴上是否存在点轴上是否存在点N N，使，使A A、D D、M M、N N四个点为

9、顶点的四边形是四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的所有满足条件的M M点坐标；如点坐标；如果不存在，请说明理由果不存在，请说明理由21E（3 3）存在）存在（i i）当）当ADAD为为口口AMDNAMDN的对角线时，的对角线时， 则则MDANMDAN，即，即MDxMDx轴轴 yM=yDyM=yD， M M与与D D关于直线关于直线x=1/2 x=1/2 对称，对称， M M（-1-1，2 2）NM（iiii）当）当ADAD为平行四边形为平行四边形ADNMADNM的边时，的边时，平行四边形平行四边形ADNMADNM是中心对称图形，是中心对称图形

10、，ANDANDANMANM|yM|=|yD|yM|=|yD|，即即yM=-yD=-2yM=-yD=-2，两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线则这条线段可能为平行四边形的边或对角线变式：变式：如图，已知抛物线的顶点为如图，已知抛物线的顶点为A A（2 2，1 1），），且经过原点且经过原点O O，与，与x x轴的另一个交点为轴的另一个交点为B B（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）若点）若点C C在抛物线的对称轴上，点在抛物线的对称轴上，点P P在抛物线在抛物线上，且以上，且以O O、C

11、C、P P、B B四点为顶点的四边形为平四点为顶点的四边形为平行四边形，求行四边形，求P P点的坐标；点的坐标；变式：变式： （2010陕西省）陕西省）24如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，抛物线抛物线A（-1,0），），B（3,0）C（0，-1）三点。）三点。（1）求该抛物线的表达式；）求该抛物线的表达式；（2）点）点Q在在y轴上，点轴上，点P在抛物线上，要使在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。的坐标。1.已知抛物线已知抛物线y1=-1/2x2+2x ：（1）求抛物线的顶点坐标）求抛物线

12、的顶点坐标.（2）将抛物线向右平移）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移个单位，再向上平移1个单位，个单位，得到抛物线得到抛物线y2，求抛物线，求抛物线y2的解析式的解析式.（3）如下图，抛物线的顶点为）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点，轴上有一动点M，在、，在、这两条抛物线上是否存在点这两条抛物线上是否存在点N，使，使O（原点）、（原点）、P、M、N四点构成以四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由点的坐标；若不存在，请说明理由.xyy12345678954321-1-2-3-41y2 -1xyy1234567895

13、4321-1-2-3-41y2 -12已知：如图所示，关于的抛物线已知：如图所示，关于的抛物线y=ax2+x+c与轴交于与轴交于点点A(-2,0)、点、点B(6,0)，与，与Y轴交于点轴交于点C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点）在抛物线上有一点D，使四边形为等腰梯形，使四边形为等腰梯形ABCD，写出点写出点D的坐标，并求出直线的坐标，并求出直线AD的解析式；的解析式；（3）在（）在（2）中的直线）中的直线AD交抛物线的对称轴于点交抛物线的对称轴于点M，抛，抛物线上有一动点物线上有一动点P，x轴上有一动点轴上有一动点Q是否

14、存在以为是否存在以为A,M,P,Q顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由的坐标；如果不存在，请说明理由BA OCyxMBAoCyx4QQ3Q1Q2P3P1P2DP43如图，抛物线与如图，抛物线与x轴交轴交A、B两点（两点（A点在点在B点左侧），点左侧），直线与抛物线交于直线与抛物线交于A、C两点，其中两点，其中C点的横坐标为点的横坐标为2（1）求）求A、B 两点的坐标及直线两点的坐标及直线AC的函数表达式；的函数表达式；（2）P是线段是线段AC上的一个动点，过上的一个动点，过P点作点作y轴的平行线交轴的平行线交抛物线于抛物线于E点，求线段点，求线段PE长度的最大值；长度的最大值；（3）点）点G抛物线上的动点，在抛物线上的动点，在x轴上是否存在点轴上是否存在点F，使，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，点坐标；如果不存在，请说明理由请说明理由4、在平面直角坐标系中，抛物线经过、在平面直角坐标系中，抛物线经过A，B，C三点三点（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的