专题15解析几何椭圆中的最值问题备考策略

1、椭圆中的最值问题备考策略主标题：椭圆中的最值问题备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：椭圆，最值，备考策略难度：5 重要程度：5考点一：求离心率的最值问题2 2【例1】若 代B为椭圆 务当=1(a .b .0)的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使a b AQB =120°，求此椭圆离心率的最小值。分析：建立a,b,c之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关， 很难使用椭圆的定义。 故考虑使用到角公式转化为坐 标形式运用椭圆中x, y的取值进行求解离心率的最值。解：不妨设 A(a,0

2、),B(-a,0),Q(x, y)，利用到角公式及.AQB=12O0得：= tan 1200i_y又点A在椭圆上，故x22ab22 a2 22ab22ab2-a2 y ,消去x, 化简得y 2又y乞b即bbJ3c2% 3c2则 4a2 (a2 c2) _3c4,6 .e ： 1。3，从而转化为关于e的高次不等式 3e4 4e2 - 4 一 0解得故椭圆离心率的最小值为6。(或 2ab _ 3c2 = . 3(a2 - b2)，得：0 ：上 3，由3a 3L /b、2+存 J6ep-(a)，故 丁e <1)(注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值)考点二：利用椭圆的定义求有关最值【例2

3、】已知点P(-2,2 2-3),F 2为椭圆 -1的右焦点，点2516M在椭圆上移动,求丨MP| + | MF丨的最大值和最小值。分析：欲求丨MP| + | MF |的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义| ME | =2a- | MF | , F 1为椭圆的 左焦点。解：| MP| + | MF | = | MP | +2a- | MF | 连接 PF 延长 PF交椭圆于点M,延长FP交椭圆于点M由三角形三边关系知-I PF | < | MP| - | MF | < | PF |当且仅当 M与M重合时取右等号、 M与 M重合时取左 等号。因为 2a=10, |

4、 PFi | =2 所以(| MP| + | MF |)max=12, (| MP| + | MF |)min=82 2结论：设椭圆y- =1的左右焦点分别为 Fi、F2, P(xo,y o)为椭圆内一点，M(x,y)为 a2 b2椭圆上任意一点，则|MP| + | MF |的最大值为2a+ | PFi | ,最小值为2a- | PF |。考点三：利用二次函数法求有关最值问题2 2【例3】求定点A(a,0)到椭圆卑 莒 =1上的点之间的最短距离。a2b2分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示|PA |，转化为x,y的函数，求最小值。1 1解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，|PA |

5、2=(x-a) 2+y2 =(x-a) 2+1- x2= (x-2a)2+1-a2 由2 2椭圆方程知x的取值范围是-.、2,._2(1)J2minI a | w ,贝 U x=2 a 时 | PA |min2(2)(3)若 a<,则 | PA | min= | a+ 2 |22 2结论：椭圆 二 1 =1上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两 a2b2点间距离公式表示|MA |或| MB | ,通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值注意自变量的取值范围。考点四：利用 三角函数法求 有关最值问题2【例3】椭圆 笃y2 = 1上的点M(x,y)到直线l : x+2y=4的距离记为d,求d的最值。4分析：为了统一变量，可以用椭圆的参数方程，即三角换元。解:d=x +2y 4、 52x y2 =142 令"x = 2 cosB则。二竺匕口=三価曲昇)V5£5 丨4当sin()=1 时,d min=当s