专题六---几何探究题解题思路

1、专题六 几何探究题的解题思路、方法简述随着中考的改革 ,几何的综合题不再是定格在”条件 演绎 结论”这样封闭的模式 中,而是必须利用题设大胆猜想、 分析、比较、 归纳、推理, 或由条件去探索不明确的结论 ,或由 结论去探索未给予的条件 , 或讨论存在的各种可能性 ; 探索图形的运动、变换规律更是中考的热 点题型 . 解决此类问题 , 数学思想的合理应用起着关键性的作用 , 一个题目往往需要几个思想方 法交织应用 .二、思想方法1. 分类讨论思想 分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要 进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分类是按照数学对象的

2、相同点或差异 点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重 不漏；分类的原则是： （ 1）分类中的每一部分必须是独立的； （2）一次分类必须是一个标准； （3）分类讨论应逐级进行。2. 数形结合思想 数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而 达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导 形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力， 至关重要。3. 函数与方程思想 函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的 矛

3、盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题的函数关 系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质 或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。4. 转化与化归思想 转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟 悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进 行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程点P在BC边上，当/ APD =90时,(不与端点C重合).、 过点P作PE丄PD，交y轴于点E，设OP二

4、x ,E 二 y ,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(1)证明：如图2,1=180- / B- / 2/ 3=180- / APD- / 2又/ B= / C ABPA PCD难则反原则。三、典例分析例1:阅读理解：如图1,在直角梯形 ABCD 中，AB / CD，/ B =90,易证.ABP s ：PCD，从而得到BPPC = AB CD . 解答下列问题：(1) 模型探究：如图2,在四边形ABCD中， 点P在BC边上，当/ B =Z C=Z APD时，求证：BP PC 二 AB CD ;(2) 拓展应用：如图3,在四边形ABCD中，AB =4, BC =10, CD =6,

5、 / B =Z C =60 ,A丄BC于点，以为原点，以BC所在的直线 为x轴，建立平面直角坐标系，点 P为线段C上一动点如图 当/ APD =60时，求点P的坐标;设 P 点坐标为(x, 0), (0 XV8)贝9 BP=2+x , PC=8-x BP PC =AB CD 即(2+x) (8-x)= 4 6 解得：x1 =2,x2 =4点P的坐标为P (2, 0)或P (4, 0)解法一：如图 3,过点D作DML x轴于点M1则 CM= CD =3 , DM= 3 3 OM=52(I )当点P在线段 OM上设为P1, P1 M=x-5 (0 x w 5)/ E1O=Z DMP 1=Z E1

6、P1D=90 0 OP1?P1M=OE1?DM即 x(5 - x)= y 3 3 y，x2 士x (0 xw 5)99(n )当点P在线段CM上设为P2 , P 2 M=x-5 (5 x8)OE2 OP2F2M DM / 1= / 2 Rt E2OP2 s Rt P2 MD OP P2M = OE2 DM 即 x(x-5)= y 3 3f S (5 x8)99解法二：如图 3,过点D作DMLx轴于点M则 CM=CD =3 , DM= 3 3 OM=5 D(5, 3.3)2(I )当点P在线段 OM上设为P1, P1 M=5-x (0 x w 5) 连接DE EF2 +RD2 =EQ2即 x2+

7、y2+(5-x) 2+ (3 )2 =( 3-y) 2+52 32 丄 5-y - xx (0 xw 5)99(n )当点P在线段CM上设为P2 , P 2 M=x-5 (5 x8) 连接DE 2 E2P22P2D2 =E2D2即 x 2 y2(x-5) 2+ ( 3 3) 2 =(3 3+y) 2 +52994 / 35一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）上升到新背景中的“特 殊”（问题（2），使学生经历了“特殊一一般一特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思 维过程试题在第一环节中提

8、供了“易证， ABP s PCD ”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并 善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力例2.已知菱形ABCD的边长为1 , ADC =60，等边 AEF两边分别交边 DC、CB于 点 E、F .（1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边 AEF的外心；（2）若点

9、E、F始终在分别在边DC、CB上移动，记等边 AEF的外心为点P . 猜想验证：如图2,猜想lAEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； 拓展运用：如图 3,当.AEF面积最小时，过点 P任作一直线分别交边 DA于点N ,1 1交边DC的延长线于点M，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是,DM DN请说明理由1DAD內N A图2图3解：（1）证明：如图1，分别连接OE、OF四边形ABCD是菱形 AC 丄 BD , BD 平分 ADC , AD = DC = BC COD COB AOD =9011ADO ADC 60O =30。22又 E、F分别为DC、CB中点5 / 35111 OE

10、 CD、OF BC、AO AD 2 2 2 OE =OF =OA 点O即为.AEF的外心(2)猜想：外心P 一定落在直线 DB上证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI _ CD于I , PJ _ AD于J .则.PIE PJD =90P到直线AD、AC的距离相等，如 . IPJ =360 -. PIE -. PJD - . JDI点P是等边 AEF的外心, . EPA =120 , PE =PA IPJ = EPAPIE 也 PJA . IPJ = JPA PI 二 PJ IPJ =360 -90 -90 -60 =120点P在.ADC的平分线上，即点 P落在直线DB上 分析：证点

11、P落在.ADC的平分线上，也就证明点此便可构造两个直角三角形证明全等。若考虑对角互补，便可联想到四点共圆, 从而利用圆的性质便有下面两种解法。另解法一：分别连接 PA、PC、PD乙BCD =120 , AD =CD点P是等边AAEF的外心， EAF =60, EAF BCE =180 A、F、C、E 四点共圆， PA = PC/ DA =DC CDP 也 ADP . CDP ADPP落在.ADC的平分线上.即点P落在直线DB上.另解法二：分别连接PA、PE、PD 点P是等边 AEF的外心 EPA =120 , PE =PA PEA =30 ADCEPA =180 A、P、E、 D四点共圆O .

12、 PDA =/PEA =30 P落在.ADC的平分线上即点P落在直线1 1为定值2DM DN当AE _DC时，.AEF面积最小， 此时点E、F分别为DC、CB中点 连接BD、AC交于点P，由（1） 可得点P即为AEF的外心解法一：如图，设MN交BC于点G设DM=x, DN = y(x = 0, y = 0)，则 CN = yB/ BC CG图5/ DA，且 BC 二 DA , P 是 BD 的中点 :GBPMDP=1 x/ BC / DA NCG s ：NDMCNCGDN DM BG = DM = x即DM匚丄=2DN分析：观察图形，得到结论 AM 线段集中到两个相似的三角形厶NCG式从而得到

13、结论。依据此策略，可得到解法二、解法二：如图，连接 PE 点P、11 PE DA 一 ,22PE / DA NEP s NDMNE EPDMND设 DM =x, DN =y则NE二CG，把1用AD或CD代替, ,.NDM 中，把要计算的线段或相关 并把长度用字母表示，化简含字母的代数 xyx Jy2 211x y=2,则DM1DNG作直线GH /解法三：过点/ GH / CD HMG s . QMNHG HMCD交AD于点DN DM1 DM -AMDM (1DN1DM丄=2- DM )DM图6图7DM DN解法四：过点 C作直线CK / MN交BD于点K，过点A作AH / MN交BD于H /

14、CK / MN , AH / MN DCK s DNP，:DMP s ：DAH DCDKDA DH1DKDN-DP，DM DPDN - DP11DK DH-+DMDNDP由 CKP 也. ：AHP 得：KP =HP1DMDK DH =2DP11 2DMDN解法五：如图，过点B图8S DNPP 作 PI _ DC 于 I , PJJ3_ DA 于 J，贝U PI 二 PJ 二41 1 1-DN 卩 1 DM PJDM DN sin 6022213131、3-DNDMDM DN242422DM DN = 2DMDN 1 一1 2DMDN11DM DN分析：因为+而 DMDMDNDM ? DN二 S

15、 DMNB正与 DMN的面积有关，其中DM ,DN也可以看成是将 DMN分为 DNP和DMP后，计算面积过程中涉及的底边。这种对 所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。解法六：如图4,以点D为坐标原点,DA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设直线MN的解析式为y =kx b可求得点P的坐标为（3,乜）4 4b二仝-3k44j 33直线MN的解析式为y =kxk 3k b图10求得直线DN的解析式为y二、3x二 DNcos603k 32 2令 kx -3k43k上=0 x = 443k4 43k - 3二 2丄DM DN评析：本题是一道集阅读理解、实验操作

16、、猜想证明、应用探究于一体的综合题型。试题 以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心（中心）、三角形的中位线、相似、全等等初中数学几何主干知识； 试题源于教材，立足数学通性、通法，具有公平性、原创性，既紧扣双基，又突出能力要求。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，试题引导学生学会一种解决问题的策略一一试验、发现、联想、推广。其新意主要体现 在让学生在操作、实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的 能力，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推

17、理能力。本题结论开放、方法开放、 思路开放，能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思 想、数形结合思想。其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心（中心）的的判定，属于基础题；第二问为先猜想，因有第一步作铺垫不难猜测点P落在直线DB上，证点P落在/ ADC的平分线上，也就证明点 P到直线AD AC的距离相等（结论转换），如此便可构造两个直角 三角形证明相等，思路自然，知识基本，方法核心，属于能力考查范围；第（2）小题第以探究性问题让学生先判断、后推理，重思维，轻计算，对学生的思维能力要求较高。四、强化训练1.如图，在矩形 ABCD中，AB = 9 ,

18、 AD =3.3，点P是边BC上的动点（点P不与 点B、点C重合），过点P作直线PQ / BD，交CD边于Q点，再把 PQC沿着动直线PQ 对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x , PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为 y .（1 ）求 CQP的度数；（2）当x取何值时，点 R落在矩形ABCD的AB边上？9 / 35（3）求y与x之间的函数关系式;Q（备用图1）（备用图2）2.如图 1,在 Rt ABC 中，NC =90, AC =BC =6 , D 是 AB 边上一点，E 是在 AC 边上的一个动点（与点 A、C不重合），DF _ DE，DF与射线CB相交于点F。（1）如图1,如果点D

19、是边AB的中点，求证：DE二DF ；（2）如图2,如果=m，求匹的值；DBDFAD 1（3） 如果，设AE =x，BF =y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；10 / 35D备用图3.四边形ABCD是矩形，AB =2 , AD =3，点M是射线DC上的一个动点（点 M不 与点D重合），N是点M关于AD的对称点，射线 AM交射线BC于E，设DM二m , CE二n , -ANE的面积为S.（1）如图1，当点M在DC边上运动时，试用 m的代数式表示n,并写出m的取值范围；（2）当点M在射线DC上运动时，判断 也ANE的面积S是否为定值，若是定值，请求出该 定值；若不是，请用 m的代数式表

20、示S，并写出m的取值范围.NADMC E图2 （备用图）4.已知：在矩形 ABCD中，AB =10, BC =12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形 ABCD边AB、BC、DA 上, AE = 2 .（1）如图1,当四边形EFGH为正方形时，求 GFC的面积；（2）如图2，当四边形EFGH为菱形，且BF =a时，求 GFC的面积（用含a的代数式表 示）；（3） 在（2）的条件下，GFC的面积能否等于2 ?请说明理由.5.已知， ABC是等腰直角三角形， BAC =90, BC =2 , D是线段BC上一点，以 AD为边，在AD的右侧作正方形 ADEF 直线AE与直线BC交于点G，连

21、接CF .(1) 如图1,当BD 1时，求证： ACF也ABD ；(2) 如图2，当BD 1时，请在图中作出相应的图形，猜测线段CF与线段BD的关系，并 说明理由；(3) 连接GF，判断线段BD为何值时，GFC是等腰三角形.13 / 35 FC6.有公共顶点大小不等的正方形 ABCD与正方形AEFG ,两个正方形分别绕着点 A旋转 至下列图形的位置，其中 BAE - ( (0 ： v :：: 180).(1) 如图1,连接BG、DE，判断线段BG与DE的数量及位置之间的关系，并说明理由;(2) 连接BE、DG，过点A的直线垂直DG于H交BE于P.如图2，求证 ABE与AADG的面积相等；AP如

22、图3，试判断DG比是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是，请说明理由14 / 37.（1）如图 1,在 ABC 中，AC =BC =2、2 , ACB =90，点 E 在 AC 边上（不与点A、C重合），过E作DE _ AB于D ,连接CD、BE , M为BE的中点，连接 CM、DM . 求证：CDM是等腰直角三角形； 若AD二x， CDM的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；（2）如果把图1中的 ADE绕着点A逆时针旋转至图2的位置，其它的条件不变，那么 CDM是否还是等腰直角三角形？请说明理由 .CC/X15 / 35 e8.如图1，在菱形ABCD中，AB=4

23、,/ BAD =120, M是BC边上的点，/ BAM ( 0 AD即点H已经不在边 AB上 .故不可能有 Sgfc =2.解法二：GFC的面积不能等于2.点H在AD上, 菱形边长 EH的最大值为2 37. BF的最大值为2.21 .又因为函数Sgfc =12 -a的值随着a的增大而减小,所以Sgfc的最小值为12 -2 21 .又 12 一221 2 , GFC勺面积不能等于 2.5解：（1）v四边形 ADEF是正方形， ABC是等腰直角三角形， AB= AC AD= AF / BAC=Z DAF= 90o/ BAD=Z CAFABD ACF/ W（2）作图如右：/猜测：CF= BD CFL

24、 BDHDcG罔2理由是：同（1）可得 ABDA ACF CF= BD / ACF=Z ABD=Z ACB= 45o/ FCB= 90o, CFL BD（3）连接GF AE是正方形 ADEF勺对角线FAE=Z DAE= 45o又 AD= AF AG= AG（ 2 2x） 2= 2x2 解得：X1 = 2 + ,2 1 （舍去），X2= 2- , 2如图 2，当 BD 1 时， CG= BD FG= DG= BC= 2在 Rt CFG,，根据勾股定理得FG = CG2+ CF, 22 = 2x2解得：X1= 2 （舍去），X2=i：2综上所得，当BD等于22或. 2时， CFG是等腰三角形6.解

25、：（1） BG = DE BG _ DE理由： 方法一：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形 AD =AB AE = AG . DAB = EAG =90 DAE 二 BAG = 90 二 DAE也 BAG BAG可以看作由 DAE顺时针旋转90得到的（或 DAE可以看作由BAG逆时针旋转90得到的），故BG =DE ,BG DEBCEFA方法二：连接BD如图.证 QAE 也 BAG 得 BG 二 DE ,ADE ABG . ODB . OBD = (. ADB /ADE )(. ABD . ABG)二.ADB . ABD =900 . BOD =900 BG _ DE方法一：过E作EM

26、_AB于M,过G作GN _ DA的延长线于N .则 ME / AN . AEM = . EAN乙MAE =90 ZAEM , . NAG =90 -”EAN . MAE NAG又 AG 二 AE . AME ANG =90。 EM =GN1 S abe =2 AB EM1S adg AD gn ,ECMNFAGD图2AB = AD S abe - S.adg方法二：过B作BM/ AE交直线HP于M .则.BMA = . MAE MAE AGDMAE =90 NGAH，. AGD =90 -”GAH . BMA 二.AGD 同理：.BAM 二.ADG 又 AB =AD ：ABM 也 DAG S

27、ABM - SDAGBM - AG/ AE =AG BM = AE又 BPM EPABPM EPA S.abm - S.abeS.Abe - S.Adg/ 二ABM 也二 DAG AM = DG BPMF1为定值一2 AM 二 2AP1 AP =丄 DG2所以DG方法三： 过A作AM - BE于M交DG于N .DN HG乙BAP 二900 WDAH , . ADN =90。_ DAH BAP 二 ADN. ABP =90 - BAM , . DAN =90/BAM又 AB =DA . ABP DAN冋理可证：S APE = S GNAS abp S ape = S dan SGNA即 S.AB

28、E - S ADG/ . ABP 也:DAN , AP =DNAPE GNA AP = GNAP所以为定值DG方法四：过B作BM丄直线HP于M，过E作BN丄直线HP于NBM = AH 同理可证：AEN也=GAHF图3 BM 二 EN又 /BMP= /ENP =90 , BPM EPN BPM 也 EPN s BPM-S.epn S.ABE - S ABM S AEN= 90。- BAM , . DAH = 90。- BAM = /DAH 又： AMB = DHA =90AB 二 DA ABM s ADAH S 必bm Sdah SAEN - S GAH EN = AH S Abe = S ad

29、g由得 ABM也 DAH , AEN也 GAH AM = DH ,AN-GH又 S Adg - S DahS gah - S Abm S aen MP 二 NP AM AN 二 DG ,又/ BPM 也 EPN AM AN = 2AP1AP =丄 DG2所以AP1A匚为定值丄DG7.(1)方法一：如图1-1. EDB =/ACB =90 , EM 二 MB1 CM =DM EB =BM2 E1 Z3 4=24 Z2 Z5 6=26D图1-1又 AC =BC ABC =45 . 1. 2 =2(. 4.6)= 2 ABC =90 即.CMD =90 CDM是等腰直角三角形方法二：如图1-2.把A

30、CD绕着点C逆时针旋转90，点A落在点B处，点D落在点F处，连接MF .则 BF =AD， CF =CD , BCF =/ACD，BF _ AD/ AD _ DE A = 45 AD =DE BF =DE BF / DE 四边形 DBFE 是矩形.又 EM =MB点M是矩形DBFE的中心 DM MF点D、M、F在同一直线上.且DM二MF又 DCF =/DCB . BCF =/DCB . ACD =90是等腰直角三角形C CM =DM ZCMD =90 所以 CDM 方法三：如图1-2.延长DM到F，使得DM二MF，连接BF、 / DE _ AB 于 D . EDB =90 又 EM =MB 四

31、边形DBFE是矩形. . CBF =90 -/ABC =45 =/A又 BC =AC , BF =DE =AD BCF 也 ACD BCF 二 ACD , CF 二 CD DCF DCB BCF DCB ACD =90 CMD -90 CM = DM 所以CDM是等腰直角三角形方法一：在 Rt ADE 中 . ADE = 90 A 二 45 AD = x AE 二 2x CE 二 AC - AE 二 2 2 - 2x又 ECB =90 , BC 二 2 2 BE2 二 BC2 CE2 =(2,2)2(2.2 - .2x)2 =2(x-2)281 2 1 2 1 2 S 二一CM 二 BE =

32、(X-2)1284方法二：如图1-3.过点C作CH _ AB于/ AC =BC =2 .2，/ACB =90 AB AC2 BC2 -4 AH =CHAB2DH =2 -x CD2 二 DH2 CH2 =(2-x)24又:CM =DM ZCMD =902 1212 12 12- CM 2 CD2 S CM 2 CD2(x2)21 ( 0 ： x 2 )2244方法一：如图2-1.把ACD绕着点C逆时针旋转90，点A落在点B处，点D落在点F处，连接MF、EF .则 BF =AD， CD =CF , BCF =/ACD BF _ AD ,/ AD _ DE . EAD =45 /. AD = DE

33、 BF = DE BF / DE四边形DBFE是平行四边形图2-1又 EM二MB点M是平行四边形点D、M、F在同一直线上.且DM又 DCF DCB BCF DCB NCMD =90 , CM = DM所以 CDM是等腰直角三角形EF、CF、MF .方法二：如图2-2.延长DM 到F，使得DM MF，连接BF则四边形DBFE是平行四边形 BF 二 DE / AD _ DE .EAD =45 AD = DE BF = AD 3 二/12, AED =45 . AEB =45 3 =45 1 2设 ADE绕点A逆时针旋转角 DAB 则.4 =45二， EAB =45 : ABE =45 _2, .

34、AEB EAB ABE =180 (4512) (45 ： ) (45 - 2) =180 1 二“4 又 BC =AC BCF 也 ACD BCF 二 ACD DCF DCB BCF DCB ACD =90 CMD =90, CM = DM 所以 CDM 是等腰直角三角形8. (1)连接AC如图1.四边形 ABCD是菱形，/ BAD=120 / ACBM ABC2 CAB2 ACN=60 AC=AB 又/ / MAN=60 / / BAMM CAN=60- / MAN / BAIWA CAN AM=ANAMN是等边三角形 BAMWA CAN BM=CN CM+CN=BC=AB=4四边形 AM

35、CN的周长=AM+CM+CN+AN四边形AMC的周长=2AM+4 当AM最小时，四边形AMCN勺周长最小即 当AML BC, a =300时，四边形AMCN勺周长最小.此时 / AMB=90，/ BAMa =300 BM=1AB=22- AM = . AB - BM = . 4 - 2 = 2、：,3 四边形 AMCN勺周长最小值为： 4,- 3 4(3) PQ = , 3DQ理由：方法一：把厶ABM尧着点A顺时针旋转， 使得点B与点D重合，点 P落在点p处如图.则 BP=EP =2DQ / P DA=/ PBAM ADQ=30/ pDQ=60，连接pq,记pd的中点为T，1连接 TQ.又T

36、TD=DQ=DP2 DTQ是等边三角形 TQ=TD=P / DPQ=Z PQT=30，/ / DQT=60 / DQP=900 PQ2 二 PD2-DQ2=3DQ2 P Q = 3DQ/ / PAQ=60，/ BAD=120 / PAB/ DAQ=60 / pad=/ pab / paq/ PAQ=60又 AP=AP, AQ=AQ paqa paq pq=pq PQ = 3DQ方法二：作点 D关于直线AN的对称点D， 连接 dq pd、ad，取 pd的中点 T，连接 QT则 DQDQ AD= ad.证厶dafwa bap得pd=bp,其它步骤与 方法一类似。pBB9. 解（1）如图 2， OE

37、 / AC BOE s ：BAC , . AOP s BACAOAPPOAOxPO-即BABCCA556 AO = x , PO = x5(2)如图 3,在等腰：ABC 中，AB =BC =5, AC = 6则AC边上的高为4.所以 S ABC =12.由 AOP s .汨AC得 SAOP =(AP)2 即 IaOP =(?)2SBAC BC12512 2所以 S aop = x .25图3又/ aop与.poq是同高三角形，所以S.POQOQ 5 _2xAO 一 x图45 -2x12 2 X24x2 見,X25255于是y = S poq0 ： 52(3)如图 4，: AQ = 5 - x

38、, BE = BO = 5 - x - AQ = BO又 AP / BC PAQ PAQ 也 QBE PQ =QE PQE是等腰三角形/ PQE与- POQ有一个公共的 P ,而且 POQ PEQ只存在 POQ二 PEQ的情况。当. PQE s APOQ时， POQ也是等腰三角形， OP二OQ625 一x =5 - 2x，解得：AP = x =51610. (1 )T A、D关于点Q成中心对称, . HQD =/C=90, HD=HA ,二HDQ = A, DHQ ABC.3x ,415x .4(2)如图1,当0 : x乞2.5时,ED=10 -4x , QH= AQ tan ./A1 33此时 y=(10-4x)x =_ x2 42x=5时，最大值y =冬432如图2，当2.5 : x _5时,ED= 4x -10 , QH= AQ tan _A此时 y =丄(4x -10) 3x24y与x之间的函数解析式为215x .43 2x2注-2当x = 5时，最大值15 x(0 ： x 乞2.5),415x(2.5 ： x _ 5).4y的最大值是(3)如图1,若 DE=DH，754当 0 ： x _ 2.5 时， DH =AH = QACOS/ADE=10 4x， 1