一道解几题的几个变式

1、是先设M,P坐标，利用三点共线统一两者坐标，再利用椭圆二是先设直线 AM方程，然后求 M,P的坐标,由A,M,P共线得yoX 2.2:-=m 二4、24 2yoXo 22 OM OP =2血冷 +my0 =2V2x0 + 4*2yo_x0 + 2 J2 2 22.2x04 2y0 8x0Xo + 2运2 2 X。2 2y。2 8x。冷+2占8xo 2 2x。2 厂8为定值一道解几证明题的几个变式研究2 2题目在平面直角坐标系中，椭圆- 仝=1，左右顶点分别为 A,B，直线I过点B且垂84直于x轴，点M为直线I上的动点，直线 AM交椭圆于点P .(1) 求证：OM OP为定值；(2) 设以线段M

2、P为直径的圆与直线 BP交于点Q，求证：直线MQ过定点.【分析一】本题是解析几何中常见的定值、定点问题首先，第一问探求动点下的定数量积，常见处理有两种:方程进行消元，该方法的理论依据为，要求数量积，需 要点坐标，于是想到设坐标过程涉及联立方程消元、韦达定理的应用两种解法最终都是要解决点的坐标，只是出发点不同, 一为直接设点，二为间接求点 但切记两条线一般不交叉使用，否则很容易绕不出来 【解】方法一：设M (2： 2, m),P Xo，y° =冷22yo2=8【意识很重要，该式子一定后面肯定会用到】方法二：设AM方程为y = k(x 2 2)联立椭圆方程x2 2y2 =8得:x2 +2

3、k2(x+2l22 =8，化简得(1 +2k2 x2 +8(0k2x + 16k28=0则Xp冷忡，所以xp2、22k2-14、2k,yp =1 2k21 2k2同时，M 2 2,4 2k OM OP8 2k2-132k22 21 2k 1 2k16k281 2k2【不难发现，方法二在运算上略烦一些】【分析二】本题的第二问探求动直线过定点问题，根据经验，将M分别取为关于x轴的动点，不难发现所得动直线 MQ必关于x轴对称，所以直线 MQ所过定点必为x轴上的点， 为后面证明提供明确方向那一般情形如何证明？动直线过定点，当然要把动直线方程求出来，即求MQ的方程 如果第一问用方法一，则第二问应这样完成

4、：解：由题意MQ _ PB，所以kMQ =-怡_2 2 y。 MQ 的方程为 y _mX0 _2 2 x 2 2yo令八。，x»202 22，下面只要能证明x为常数即可由（1）可知 m=-4-2y° ,x。+2J2 2 2代入得 X-4理 2 2=纟尘 2、. 22、. 2 2、. 2=0X。8_2y°即MQ过定点0,0【因为前面已经作出猜想，定点在x轴上，所以就可以按上述方案处理】如果第一问用方法二，则第二问应这样完成：解：由题意 MQ 丄 PB，且 kPB = - 彳 K，所以 kMQ = 2k，而 M(2J2,4/2k )8( 2k22k MQ 的方程为 y

5、4 2k=2kx 2、2，即 y =2kx显然MQ过定点0,0该问最关键的步骤应该是将条件“以线段MP为直径的圆与直线 BP交于点Q”等价转化为“ MQ丄PB ”，否则将可能因方法选取不当，无功而返下面给出一些变式，供大家研究参考2 21.在平面直角坐标系中，椭圆-=1的左右顶点分别为 A, B，直线l过点B且垂直于x42轴，点M为直线丨上的动点（异于 B点），直线AM交椭圆于点P.（1）求证：OM，OP为定值；（2）求证：直线 0M与直线PB的斜率之积为定值；（3） 设以线段PM为直径的圆为圆 C，过点0作圆C的切线，切点为 T，求证：0T长 为定值；x22.在平面直角坐标系中，椭圆4轴，点M为直线丨上的动点（异于 圆交直线PB于点Q，求证：直线2y二1的左右顶点分别为 A, B，直线l过点B且垂直于x3B点），直线AM交椭圆于点P .设以线段PM为直径的MQ过定点.X223.在平面直角坐标系中，椭圆=1的左右顶点分别为 代B , P为椭圆上的动点,4E 1,0，过点E作直线PB的垂线交直线 AP于点M，求证：点 M在一定直线上.4.在平面直角坐标系中，为直线丨上的动点（异于