两角及及差余弦公式证明

1、两角和与差的余弦公式的五种推导方法之比较沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形获取的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往获取了广大教师的关注.对于不同样版本的教材采用的方法经常不同样，认真领悟各种不同样的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的解析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常有推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角a的终边与单位圆的交点为Pi，/POPi= B,则/POx= a卩.1；sM lil过点P作PM丄

2、x轴，垂足为M,那么OM即为a B角的余弦线，这里要用表示a, p的正弦、余弦的线段来表示OM.过点P作PA丄OPi，垂足为A，过点A作AB丄x轴，垂足为B，再过点P作PC丄AB，垂足为C,那么cosp=OA,sinp=AP,而且/PAC=ZPiOx=a,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa +APsina=cospcosa+sinpsina.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单了然，构想巧妙，简单理解导方法对于如何可以获取解题思路，存在必然的困难是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑广问题.综上所述,此种证明方法的另一个问题是公式*0的角度从锐角向任意角的推但这种推方

3、法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设Pi(xi，yi)，P2、P3和P4点，单位圆与X轴交于Pi，贝yPi（1,0）、P2（cosa,sina）、P3（COS（a+B）,sin（a+B）、伽（一处血（词）.琨=比*炊日治用二妙马| 乌|=p耳| =丄-,且,在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角a, a+氏和，它们的终边分别交单位圆于P2(X2,y2)，则有IP1P2| =X/Ml III.s(af+/6)= cos Qfcos sin asiti 0 cos (a- cos a cos jfl+sinasinJ5说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，

4、利用单位圆上与角坨f月嗣M融嚼通晶右马仙3町a土再严竝（载+5建立起等式关系，经过将等式的化简、变形就可以获取吻合要求的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，别的对于-J-三点在一条直线和 上i:三点在一条直线上时这一特别情况，还需要加以解 释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设一； :有关的四个点则埠-1 Bosa- cosS) 4(sin a-au /?)T = 2-2fcosacts /5-l-sin crsin林OPQ中，. W|OF卄血卜刘细 Q 冰游OQ,说明：此题的解题思路和构想都是简单实现的.因为要求两角和与差的三角函数

5、，因此构造出和角和差角是必定实现的.构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系简单出现，因 此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较简单理解的一种方法.但此种方法必定是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用.别的也同样需要考虑F2三点在一条直线上的情况 方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设a、B是两个任意角，把a、B两个角的一条边拼在一起，极点为0,过B点作0B的垂线，交a另一边于A,交B另一边于C,则有SOAC=SOAB+SOBC.=:ex. T :，：sin(a+B)=si

6、nacosB+sinBcosa.依照此式和引诱公式，可连续证出其他和角公式及差角公式(1) si n(a-B)=si na+(-B)=s inacos(-B)+si n(-B)cosa=si nacosB-si nBcosa；(2) cos(a+B)=sin90-(a+B)=sin(90-a)-B=sin(90-a)cosB-sinBcos(90-a) =cosacosB-sinasinB；(3) cos(a-B)=cosa+(-B)=cosacos(-B)-sinasin(-B)=cosacosB+sinasinB.说明：此种推导方法经过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角

7、函数和联系在一起，表现了数形结合的特点.缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展(五)应用数量积推导余弦的差角公式2依照三角形面积公式，有】.创血q汕 g 斗冈二|U5|o|斗归c|ai. |a|=o4OC/V5sin 5在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O,以Ox为始边作角a, B,它们的终边与单位圆 的交点为A,B,贝V由向量的数量积的坐标表示，有由向量数量积的看法，有二(cosa,sin與竝 =（匚轉知述i直鏗仙贖底实庭/）戶牺単迂鸟轉韓半曲艇静直于是，有cc，s( /=cos ffcas戸+躬nimn Q说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是获取每个角的三角函数 值都是简单实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数