《复变函数与积分变换(刘建亚)》作业答案

1、复变函数与积分变换作业参考答案习题1: 4、计算下列各式 (13i(3i(1+3i-; (323(3i-(513i 2z +=,求2z ,3z ,4z ; (7 61-。解:(13i(3i(1+3i=3i(3+3i i+3=3i(2i+23=6+63i -;(32333(223i3(223i333i 41288(3i223i (223i(223i+=+-+; (5213i 3i 3223i 13i 4422z +-+=-+,3213i 13i 131224z z z -+-=-, 4313i 22z z z =-.(7 因为1cos isin -=+,所以6221cosisin66k k +-

2、=+,即0k =时,031cosisini 6622w =+=+; 1k =时,133cosisin i 66w =+=; 2k =时,25531cosisin i 6622w =+=-+; 3k =时,37731cosisin i 6622w =+=-; 4k =时,499cos isin i 66w =+=-; 5k =时,5111131cosisin i 6622w =+=-.习题2:3、下列函数在何处可导?何处解析?在可导点求出其导数. (2 2(i f z x y =-; (4 (sin ch icos sh f z x y x y =+(6(az b f z cz d+=+。解:(

3、2 因为2(,u x y x =,(,v x y y =-,2x u x '=,0y u '=,0x v '=,1y v '=-.这四个一阶偏导数都连续,故(,u x y 和(,v x y 处处可微,但柯西-黎曼方程仅在12x =-上成立,所以(f z 只在直线12x =-上可导,此时1122(21x x f z x =-=-'=-,但复平面上处处不解析. (4 因为(,sin ch u x y x y =,(,cos sh v x y x y =,cos ch x u x y '=,sin sh y u x y '=,sin sh x

4、v x y '=-,cos ch y v x y '=.这四个一阶偏导数都连续,故(,u x y 和(,v x y 处处可微,且满足柯西-黎曼方程,所以(f z 在复平面内解析,并且(i i i i iz iz (i cos ch isin sh cos isin 22cos isin cos isin 2222cos 22y y y yx x y y y y x x y x y x e e e e f z u v x y x y x x e e e e x x x x e e e e e e z-+-+-'''=+=-=-=-+=+=.(6020(1(

5、limlim (lim(z z z f z z f z a z z b az b z z c z z d cz d ad bc ad bccz c z d cz d cz d +-+=-+-=+所以,(f z 在除dz c=-外处处解析,且2(ad bc f z cz d -'=+.4、指出下列函数的奇点. (1221(4z z z -+; (2 222(1(1z z z +.解:(122343242242232322(4(1(483448(4(43448(4z z z z z z z z zf z z z z z z z z z z +-+-+-+'=+-+-+=+所以,(f

6、 z 的奇点为0,2i ±.(222232422322(1(12(2(1(213953(1(1(1(1z z z z z z z z z f z z z z z +-+'=-+ 所以,(f z 的奇点为1-,i ±.10、如果(i f z u v =+在区域D 内解析,并且满足下列条件之一,试证(f z 在D 内是一常数.(2(f z 在D 内解析;证明:由(i f z u v =+在区域D 内解析,知(,u x y 、(,v x y 在区域D 内可微,且x y u v ''=,y x u v ''=-.同理,由(f z 在D 内解析

7、,知x y u v ''=-,y x u v ''=.从而我们得到0x y y x u v u v ''''=,所以(,u x y 、(,v x y 皆为常数,故(f z 在D 内是一常数.15、求解下列方程: (210z e +=解:1ze =-,于是Ln(1ln1iarg(12i=(21i,z k k k Z =-=+-+18、求Ln(i-,Ln(34i-+的值及主值.解:Ln(iln i i arg(i2i i 2i 2k k -=-+-+=-+,所以其主值为i 2-; 4Ln(34iln 34i i arg(34i2i l

8、n 5i(arctan 2i 3k k -+=-+-+=+-+,所以其主值为4ln 5i(arctan 3+-.19、求1i2e-,1i 4e+,i 3,i(1i+的值.解:1ii(22cos(isin (i 22ee ee e -=-+-=-;(1i 11i444444222cos isin i 1i 44222ee ee e e +=+=+=+ ; (i iLn3i(ln32i2+iln323cosln3isinln3k k k e e e e +-=+; 11i ln 2i 2i 2iln 22i iln(1i444ln 2ln 2(1icos isin 22k k k e eee+-+

9、-+ +=+ .20、求21,2(2-,i 1-,i i ,1i(34i+-的值.解:22Ln122i1cos(22isin(22k e e k k =+;(22Ln(22ln 2(212i2(22cos (212isin (212k eek k -+-=+;i iLn1i(2i21k k e e e -=;1i i 2i 2i iLni22i k k eee+-+ =;(444(1iln5arctan i 2i ln5arctan 2i ln5arctan 231i(1iLn(34i332(34i45cos ln 5isin ln 5,arctan ,3k k k k eeee k Z +-

10、+-+-+ +-=-+-=22、解方程: (1ch 0z =;解:1Arch0Ln(001Lni 2i 2z k =+-=+ ,k Z.习题3:1、沿下列路径计算积分2i20z dz +:(1 从原点至2i +的直线段;(2 从原点沿实轴至2,再由2铅直向上至2i +; (3 从原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平方向向右至2i +. 解:(1 从原点至2i +的直线段的复参数方程为i2x z x =+,1(1i2dz dx =+,参数:02x ,所以22i22323330001111(1i(1i(2i2323z dz x dx x +=+=+=+(2 从原点沿实轴至2的直线段的复参数方程为z x

11、 =,参数:02x ,由2铅直向上至2i +的直线段的复参数方程为2i zy =+,参数:01y ,所以122i212222202132300(2i i 18i 2111(i 44i24i=i (2i333333C C z dz z dz z dz x dx y dyx y y dy +=+=+=+-+=-+=+(3 从原点沿虚轴至i 的直线段的复参数方程为i z y =,参数:01y ,由i 沿水平方向向右至2i +的复参数方程为i zx =+,参数:02x ,所以122i1222222012223300(i i (ii 1i 1i (i(2i(2i3333C C z dz z dz z d

12、z y dy x dxy dy x dx +=+=+=-+=-+=+2、分别沿y x =与2y x =算出积分1i20(i x y dz +-的值.解:y x =的复参数方程为(1iz x =+,(1idz dx =+,参数:01x 所以1i122051(i (i (1ii 66x y dz x x dx +-=-+=-; 2y x =的复参数方程为2i z x x =+,(12idz x dx =+,参数:01x 所以1i 1222051(i (i (12ii 66x y dz x x x dx +-=-+=+5、计算积分Czdz z的值,其中C 为正向圆周: (13z =解:设1C 是C

13、内以被积函数的奇点0z=为圆心的正向圆周,那么111132i=6i CC C C z z z zdz dz dz z dz z z z z z =6、试用观察法得出下列积分的值,并说明观察时所依据的是什么?C 是正向圆周1z =:(12Cdzz +; (2 223Cdzz z +; (3cos C dz z ;(413Cdzz -; (5 z Cze dz ; (6i 522C dzz z + ç .解:(1 02C dzz =+ ,根据柯西积分定理;(2 2023C dz z z =+ ,根据柯西积分定理;(3 0cos C dz z = ,根据柯西积分定理;(42i 13C dz

14、 z =- ,根据复合闭路定理;(50z Cze dz =,根据柯西积分定理;(64ii 55i 22C dz z z =-+ ç ,根据柯西积分定理及复合闭路定理.7、沿指定曲线的正向计算下列积分:(13zCe dz z - ,:31C z -=; (222Cdz z a -,:C z a a +=;(3i 21zCe dz z + ,4:2i 3C z -=; (43Czdzz +,:2C z =; (523(1(1C dzz z +- ,:1C z r =<(63cos Cz zdz ,C 为包围0z =的闭曲线;(722(1(4C dzz z +- ,3:2C z =;

15、 (8sin C zdz z ,:3C z =;(92cos 2Czdz z - ,:3C z =;(105z C e dz z ,:1C z =.解:(1332i 2i 3z zz C e dz e e z =- ;(22212i i C z adz z a z aa=-=- ;(3i i 2i 2i 1i z z C z e e dz z z e=+ ; (403Czdzz =+; (5230(1(1C dzz z =+- ;(63cos 0Czzdz = ;(7222222i i 1(1(42i (i(4(i(411102i 44C C C z z dz dz dzz z z z z z

16、 z z =-=-=-+-+-=-= - ;(80sin 2i sin 0z C z dz z z = ;(9(22cos 2sin 21!2Cz zidz z i z =-=- ;(10 502(51!12z zC z e i idz ez =- .21、证明:22ux y =-和22yv x y =+都是调和函数,但是i u v +不是解析函数.证明:因为2u x x =,222u x =,2u y y =-,222u y=-, 2222(v xy x x y -=+,223222362(v x y y x x y -=+,22222(v x y y x y -=+,232222326(v

17、 y x y y x y -=+, 所以22220u u x y +=,22220v vx y+=,且x y u v '',y x u v ''-. 即22u x y =-和22y v x y =+都是调和函数,但是i u v +不是解析函数.22、由下列各已知调和函数求解析函数(i f z u v =+,并写出z 的表达式:(122(4u x y x xy y =-+;(222y v x y =+,(20f =;(32(1u x y =-,(2i f =-.解:(1 因为(i f z u v =+是调和函数,所以22363v u x xy y x y =-=-

18、+,22363v u x xy y y x=+-. 于是22223(363(33v x xy y dy g x x y xy y =+-=+-.那么222(63363vg x xy y x xy y x'=+=-+, 则3(g x x C =-+,所以322333v x x y xy y C =-+-+,3223322332233(33i(33i (1i3(i 3(i (i i (1ii f z x x y xy y x x y xy y Cx x y x y y Cz C=+-+-+-+=-+=-+(22222(v xy x x y -=+,22222(v x y y x y -=+

19、.因为(i f z u v =+是调和函数,所以222222222222222(i 11(i i (i y xx y xy x y f z v v x y x y x y x y z -'''=+=+=+,从而1(f z C z=-+.由(20f =知12C =,所以11(2f z z=-.(3 因为(i f z u v =+是调和函数,所以2(1v u x x y =-=-,2v uy y x=. 于是22(v ydy g x y =+.那么(2(1vg x x x'=-, 则2(2g x x x C =-+,所以222v x x y C =-+,2222(2

20、2i(2i i (i 2(i 1i i(1i f z xy y x x y Cx y x y Cz C=-+-+=-+-+=-+由(2i f =-知0C =,所以2(i(1f z z =-.习题4: 1、下列数列n z 是否收敛?若收敛,求其极限.(11i 1i n n z n +=-; (2 i 12nn z -=+ ; (3i(11nn z n =-+; (4 i2n n z e -=.解:(1222221i 12i 12i1i 111n n n n n n z n n n n +-+-=+-+,当n 时,实部22111n n -+,虚部2201nn+,所以n z 收敛于1-. (2i i

21、 5122n nn n z e -=+= ,当n 时502n- ,那么0n z ,所以n z 收敛于0.(3 当n 时,实部(1n-是发散的,所以n z 发散.(4 i 2cosisin 22n n n n z e-=-,实部和虚部都发散,所以n z 发散.2、判断下列级数的收敛性与绝对收敛性:(121131i nn n n =+ ; (3 i 221n n en -=.解:(1 记2131i nn z n n =+ ,则当n 时1Re(1nn z e n =+ ,那么n z 不趋近于0,所以级数发散.(3i 222111n n n en n-=收敛,即级数i 221n n en -=绝对收敛

22、,所以收敛.7、将下列各函数展成z 的幂级数,并指出它们的收敛半径. (1311z +; (32cos z .解:(13363311(111(n n z z z z z =-=-+-+- . 因为1(1lim1(1n nn +-=-,所以收敛半径1R =.(322021*cos 211(2cos (1122(2!21222(11(2!22!4!6!nn n n n n n z z z n z z z zn =-=+=-+=-+=-+-+因为211212(1(22!4limlim0(21(222(1(2!n n n n n nn n n n +-+=+-,所以收敛半径R =.8、将下列各函数在指

23、定点0z 处展成泰勒级数,并指出它们的收敛半径. (321z ,01z =-; (4143z-,01i z =+; (6 arctan z ,00z =.解:(3(20(1(1!1!n n n n z z f z n z c n n n -=-+=+,则201(1(1n n n z z =+.因为1lim1n n n+=,所以收敛半径1R =. (4(101(3!(433!(13in n n nn n z z f z n z c n n -+=-=-,则 1013(1i43(13in nn n z z +=-+-. 因为121333lim(13i(13i10n nn n n +=-,所以收敛半

24、径103R =. (621222000000arctan (1121n zz z n n n n n n dz z z z dz z dz z n +=-=-=-+. 因为1(1(1lim12321n nn n n +-=+,所以收敛半径1R =.10、求下列各函数在指定圆环域的洛朗级数展开式: (221(1z z -,01z <<,11z <-<+;(521(iz z -,在以i 为中心的圆环域内;(71(2(3z z -,3z >.解:(2 在01z <<内,由于011nn z z =-,且211(11z z '= -,所以 21(1(1n

25、 n n z z =+-, 从而211(2(1nn n z z z =-=+-.在11z <-<+内,由于111z <-,所以 011111111(111111nn z z z z z z =- +-+-,从而2301(1(1(1nn n z z z +=-=-. (5 当0i 1z <-<时,由于211z z '=- ,且10011111i (i(1i i (ii i i i 1inn n n n n z z z z z +=-=-=- -+-+,所以12111(i(1i n n n n n z z -+=-=-,从而212111(i(1(ii n n

26、n n n z z z -+=-=-.当1i z <-<时,由于i11z <-,所以 10011111i i (1i i (ii i i (i1inn n n n n z z z z z z z +=-=- +-+-, 且211z z '=- ,从而2211(1i (1(in n n n n z z +=+=-,所以2311(1i (1(i(in n n n n z z z +=+=-.(7 由于21z <且31z<,所以 1n n n n n z z z z z z z z z z z zz +=-=- -=-= 习题5:1、求下列函数的孤立奇点并确定它

27、们的类别,若是极点,指出它们的级. (1221(1z z +; (33sin z z ; (4 ln(1z z +; (7 21(1zz e -; (11 1sin 1z -. 解:(1 易见0z =,iz =±是221(1f z z z =+的孤立奇点.由于221lim(1z z z =+,22i 1lim(1z z z ±=+,所以0z =,i z =±是极点.0z =,一级极点,i z =±,二级极点.(3 30sin limz zz =,所以0z =是极点.0z =,二级极点. (4 易见0z =是ln(1(z f z z +=的孤立奇点,且0l

28、n(1lim1z z z+=,所以0z =是可去奇点; (7 0z =,三级极点,2i 1,2,z k k =±± (,一级极点; (11 1z =,本性奇点.5、求下列各函数在有限奇点处的留数. (2(211z z -; (3 (2221z z +; (621sinz z.解:(2 记(21(1f z z z =-,则易见0,1±是(f z 的孤立奇点,且他们都是一级极点.由规则, (201Res(,0lim 0(lim11z z f z z f z z =-=-,(1111Res(,1lim 1(lim(12z z f z z f z z z -=-=-+,(

29、1111Res(,1lim 1(lim(12z z f z z f z z z -=+=-.(3 记(222(1z f z z=+,则(f z 有二级极点i ±.由规则,(3i i 12i iRes(,ilim i (lim (21!(i4z z d z f z z f z dz z =-=-+, (3i i 12i iRes(,ilim i (lim (21!(i4z z d z f z z f z dz z -=+=-. (6 记21(sinf z z z=,则(f z 有本性奇点00z =.因为1sin z 在00z =的去心邻域0z <<内的洛朗级数为2101(1

30、sin (21!n n n z z n -=-=+于是有(21201(1sin 0(21!n n n z z z z n -+=-=<<+其中1n=的项的系数113!c -=-,所以1Res(,06f z =-6、利用留数定理计算下列积分. (122(1(1Cdz z z -+ ,C 为圆周222(x y x y +=+ 解:被积函数(f z 在圆周C 的内部有一级极点0i z =和二级极点11z =,由留数的计算规则、得(2ii11Res(,ilim i (lim(1(i4z z f z z f z z z =-=-+, (22211121Res(,1lim 1(lim (21!

31、(i2z z d z f z z f z dz z -=-=-+.于是由留数定理得积分值22i2i Res(,iRes(,1(1(12Cdz f z f z z z =+=-+ (2222(1zz e dz z =- 解:被积函数(f z 在2z =内有一个二级极点01z =,由留数的计算规则得(222111Res(,1lim 1(lim 22(21!z z z d f z z f z e e dz =-=-于是由留数定理得积分值22222iRes(,14i (1zz e dz f z e z =- (432sin z z dz z =解:被积函数(f z 在32z =内有可去奇点00z =,

32、则Res(,00f z =,所以由留数定理知 32sin 0z z dz z =(6sin 2212(1zz e dz z z =+解:被积函数(f z 在12z =内有一个二级极点00z =,由留数的计算规则得 sin 2sin 222001(1cos 2Res(,0lim (lim 1(21!(1z zz z d e z z ze f z z f z dz z +-=-+于是由留数定理得积分值sin 22122iRes(,02i (1zz e dz f z z z =+9、(12053cos d +解:令i z e =,则i dzd z=,21cos 2z z+=.于是221253cos

33、i 3103z d dzI z z =+ 被积函数21(3103f z z z =+在1z =内有一个一级极点13z =-,其留数 11331111Res(,lim (lim 333(38z z f z z f z z -=+= +所以212i i 82I =(5222(1(4x dx x x +解:222(1(4x R x x x =+是偶函数,而(R z 在上半平面内有一级极点0i z =和12i z =,且(22i i iRes(,ilim i (lim (i(46z z z R z z R z z z =-=+, (222i 2i iRes(,2ilim 2i (lim (1(2i3z

34、 z z R z z R z z z =-=-+,所以2221i i 2i (1(42636x dx x x +=-= +(622cos (1(9xdx x x +-+解:421(109R x x x =+,4m =,0n =,1m n -,且(R z 在实轴上无孤立奇点,故积分 i 22(1(9xe dx x x +-+存在,所求积分I 是它的实部. 函数(R z 在上半平面有两个一级极点0i z =和13i z =,而且(i i i 2i i iRes(,ilim i (lim (i(916z zzz z e R z e z R z e z z e=-=-+, (i i i 233i 3i

35、 iRes(,3ilim 3i (lim (1(3i48z zzz z e R z e z R z e z z e =-=+,从而(i 22233ii 2i 31(1(9164824x e dx e x x e e e+-=-+=- +所以(2223cos 31(1(924x dx e x x e+-=-+习题8: 4、试求(tf t e-=的傅氏变换.解:(f t 的傅里叶变化为0j j j 00(1j (1j 0(1j (1j 02(111j (1j 1121j 1j 1t t t t t t t t tF f t e dt e e dt e e dte dt e dt e e +-+-+

36、-+-+-=+=+=+-+=+=-+5、试求矩形脉冲,0,(0,A t f t =其他的傅氏变换.解:(f t 的傅里叶变化为j j 0j j 0(1j j tt t F f t edt Ae dtA A e e +-=-=-6、求下列函数的傅氏积分:(10,1,1,10,(1,01,0,1.t t f t t t -<<-<<=<<<<+ 解:(f t 是(.-+上的奇函数,则(0a =,12221cos (sin sin b f d d +-=,于是(cos (sin 21cos 21cos sin sin f t a td b td td

37、td +=+-=7、求函数2221,1,(0,1t t f t t -=>的傅氏积分,并计算3cos sin cos 2x x x xdx x +-. 解:(f t 是(.-+上的偶函数,则123224(sin cos (cos (1cos a f d d +-=-=,(0b =,于是33(cos (sin 4(sin cos 4sin cos cos cos f t a td b td td td +=+-=10、求符号函数1,0,sgn 1,0t tt -<=>的傅氏变换.(提示:sgn 2(1t u t =-.解:方法一:12sgn 2(2(2(2(j j t u t

38、=-=+-= FF . 方法二:0j j j 02(sgn j ttt F t edt edt e dt +-=-+=.11、求函数(sin 2cos f t t t =的傅氏变换.解:(sin(2sin(21(sin 2cos sin 3sin 22t t t t f t t t t t +-=+,则(1(sin 3sin 2j (3(3(1(12f t t t =+=+-+-F F F15、利用位移性质计算下列函数的傅氏变换: (1(u t C -;(21(2t a t a +- 解:(1j j j 11(j j C C Cu t C e u t e e -=+=+F F ; (2 j j

39、 (cos 222a at a t a t a t a e e a -+-+-+=F F F .23、求下列函数的傅氏变换: (20j (t f t e u t =;(3 0j 0(t f t e u t t =-;(4 0j (t f t e tu t =.解:(2 记0j 10(2(t F e =-F ,21(j F u t =+F ,由卷积定理有111(2(22j(1(j(11(j(j(t f t F F d t t dt t t t t +-+-=*=-+-=+-=-=+-=+-令F(3 记0j 10(2(t F e =-F ,221(j (F tu t '=-+F ,由卷积定理有000111(2(j (22(1(j (11j (j (t f t F F d t t dt t t