数学分支巡礼之二十五：数学物理学

1、.数学分支巡礼之二十五：数学物理学数学分支巡礼之二十五数学物理学是以研究物理问题为目的的数学理论和数学方法。它讨论物理现象的数学模型，即寻求物理现象的数学描绘，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。物理问题的研究一直和数学亲密相关。作为近代物理学始点的牛顿力学中，质点和刚体的运动用常微分方程来刻画，求解这些方程就成为牛顿力学中的重要数学问题。这种研究一直持续到今天。例如，天体力学中的三体问题和各种经典的动力系统都是长期研究的对象。在十八世纪中，牛顿力学的根底开场由变分原理所刻画，这又促进了变分法的开展，并且到后来，许多物理理论

2、都以变分原理作为自己的根底。十八世纪以来，在连续介质力学、传热学和电磁场理论中，归结出许多偏微分方程通称数学物理方程也包括有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程。直到二十世纪初期，数学物理方程的研究才成为数学物理的主要内容。此后，联络于等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术核技术等方面的需要，又有许多新的偏微分方程问题出现，例如孤立子波、连续解、分歧解、反问题等等。它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来。复变函数、积分变换、特殊函数、变分法、调和分析、泛函分析以致于微分几何、代数几何都已是研究数学物理方程的有效工具。从二十世纪开场，由于物理学内容的更新，数学物理也有了新的相貌。伴

3、随着对电磁理论和引力场的深化研究，人们的时空观念发生了根本的变化，这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论。许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式在讨论大范围时空构造时，还需要整体微分几何。量子力学和量子场论的产生，使数学物理添加了非常丰富的内容。在量子力学中物质的态用波函数刻画，物理量成为算子，测量到的物理量是算子的谱。在量子场论中波函数又被二次量子化成为算子，在电磁互相作用、弱互相作用和强互相作用中描绘粒子的产生和消灭。因此，必须研究各种函数空间的算子谱、函数的谱分析和由算子所形成的代数。同时还要研究微扰展开和重正化处理发散困难的数学根底。

4、此外，用非微扰方法研究非线性场论也是一个令人注目的课题。物理对象中提醒出的多种多样的对称性，使得群论显得非常有用。晶体的构造就是由欧几里得空间运动群的假设干子群给出。正交群和洛伦茨群的各种表示对讨论具有时空对称性的许多物理问题有很重要的作用。根本粒子之间，也有种种对称性，可以按群论明确它们的某些关系。对根本粒子的内在对称性的研究更导致了杨-米尔斯理论的产生。它在粒子物理学中意义重大，统一了弱互相作用和电磁互相作用的理论，提供了研究强子构造的工具。这个理论以标准势为出发点，而它就是数学家所研究的纤维丛上的联络这是现代微分几何学中非常重要的一个概念。有关纤维丛的拓扑不变量也开场对物理学发挥作用。死

5、记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生才能开展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为进步学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背与进步学生素质并不矛盾。相反,它恰是进步学生语文程度的重要前提和根底。微观的物理对象往往有随机性。在经典的统计物理学中需要对各种随机过程的统计规律有深化的研究。随着电子计算机的开展，数学物理中的许多问题可以通过数值计算来解决，由此开展起来的“计算力学“计算物理都发挥着越来越大的作用。计算机直接模拟物理模型也成为重要的方法。此外各种渐近方法也继续获得开展。单靠“死记还不行,还得

6、“活用,姑且称之为“先死后活吧。让学生把一周看到或听到的新颖事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即稳固了所学的材料,又锻炼了学生的写作才能,同时还培养了学生的观察才能、思维才能等等,到达“一石多鸟的效果。观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观

7、察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。科学的开展说明，数学物理的内容将越来越丰富，解决物理问题的才能也越来越强。其他各门科学，如化学生物学、地学、经济学等也广泛地利用数学模型来进展研究