不确定环境下供应链的生产订购决策问题

1、不确定环境下供应链的生产订购决策问题尉磊1、 摘要为解决不确定规划问题，论文主要采用了比较常见的随机期望值模型.假设产业链中出现的随机变量均服从正态分布，这既简化了模型又不失合理性；又假设生产商与销售商的交易均协议化，这是个新颖而又符合实际且使得模型更加完整的假设。在具体给出随机期望值模型之前做了3项技术性处理使得模型更加简化。之后用随机期望值模型给出了各个问题的解答。值得注意的是，在问题（1）的求解之后，给出了所发现的经济学中的两个规律：（*）：在产业链中，一个成员有随机波动变量X，只要产业链所有成员的利润函数关于X是线性的，则该成员的随机波动性不对其他成员的最优订购量、最优计划生产量造成影

2、响，而只对自己造成影响。（*）：在产业链中，N个成员的随机变量X1，X2，Xn互相独立（该条件也可减弱为互不线性相关从而更具一般性），且产业链所有成员除含有N个成员的随机变量的任意相乘组合（每个组合项中每个成员随机变量仅出现一次）项外的其他项均是关于X1，X2，Xn线性的，则这N个成员的随机性只对自己的最优订购量、最优计划产量造成影响。而且从概率论的期望角度分析证明了（*）与（*），之后把二者用于（2）、（3)的解答中，简单有效。最后对模型做了相应的改进与推广。2、 问题的重述供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,在其运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生

3、产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。（1） 题只考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，且假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的。要求建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。并根据建立的数学模型，求解一个具体供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。（2） 题在问题（1）的供应链中，假设商品的市场需求量也是随机的，要求建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量，再求解一个具体供应链算例。 (3) 题引入了供应链的两级生产不确定性，即原产品（原材料）生产的不确定性和产成品生产的不确定性，在此情况下建立数学模型，研究在两级生产

4、不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量，并计算一个实例。最后，假设产成品的市场需求量也是一个随机变量，要求改进所建立的数学模型，确定二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。3、 模型的假设与合理性分析（1）1、生产商的计划产量、销售商的订购量均按连续变量处理；2、商品实际产量服从以计划产量为中心的正太分布（由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量在计划产量周围波动，而正太分布是最常见的连续分布，所以这样的假设是合理的）；3、生产商与销售商的交易均协议化：生产商在有效时间内给销售商所定购的商品，若由于生产商的失约造成销

5、售商的损失，则生产商应赔偿给销售商。（显然，在现实的交易过程中该协议是可接受的）；4、生产商和销售商赚取的差价（售价减去成本价）为正，且均大于库存成本（这种假设排除了类似经济大萧条时有积压货宁愿倒掉的浪费现象）；（2）在（1）中假设的基础上：1、 商品的市场需求量也是随机的.且假设商品市场需求量服从以最优订购量为期望的正态分布。2、 商品的市场需求量的随机性与商品的生产量的波动性相互独立（3）在（1）中假设的基础上：假设该产业链具有两级生产不确定性。所有不确定性均相互独立。4、 符号说明（1） 题X:单位商品生产成本Y:单位商品库存成本Z:单位商品批发缺货成本H:单位商品批发价格C:单位商品销

6、售缺货成本B:单位商品销售价格A:市场需求量M:销售商的订购量Q：生产商的计划产量EQ：计划产量为Q时的实际生产期望值（2） 题X:单位商品生产成本Y:单位商品库存成本Z:单位商品批发缺货成本H:单位商品批发价格C:单位商品销售缺货成本B:单位商品销售价格A:市场需求量，为随机变量EA：市场需求量的期望M:销售商的订购量Q：生产商的计划产量EQ：计划产量为Q时的实际生产期望值（3） 题X:单位原产品生产成本Y:单位原产品库存成本Z:单位原产品缺货成本H:单位原产品批发价格G：单位产成品加工成本C:单位产成品缺货成本B:单位商品销售价格D：单位产成品库存成本A:市场需求量M:二级生产商的订购量Q

7、：一级生产商的计划产量EQ：计划产量为Q时的实际生产期望值K:二级生产商投入单位原产品产出产成品数量5、 模型的建立、求解与讨论（1) 题确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量属最优化问题，但由于生产商生产商品是不确定的，所以采用线性随机期望值模型进行讨论。在讨论之前先做三个技巧性处理，这样在模型求解时会方便很多。a) 由于假设4、生产商和销售商赚取的差价（售价减去成本价）为正，均大于库存成本，还有销售缺货成本，所以对于销售商来说，M>=A.这样分析之后简化了随机期望值模型的讨论情况（省去了3种不必要的讨论）。b) 在概率论中，E（aX+b)=aE(X)+b,所以线性随机期望值模型

8、可转化为随机变量的期望的线性规划模型（这可以当做线性随机期望值模型中的一个定理）。c)又由于假设，商品实际产量服从以计划产量为中心的正太分布，所以EQ=Q。以后用Q直接代表EQ。现在给出a) 、b)、c)处理之后的线性随机期望值模型：Q>=M>=A时, 生产商的利润：MHXQ（QM）Y 销售商的利润：ABMH（MA）YM>=Q>=A时, 生产商的利润：QHXQ（MQ）Z 销售商的利润：ABQH（QA）YM>=A>=Q时, 生产商的利润：QHXQ（MQ）Z（A）C 销售商的利润：(AQ)BQH+（AQ）C求解该线性规划问题，易知：生产商和销售商的最大利润都在Q

9、=M=A处取得。即生产商的最优计划产量为A，销售商的最优订购量为A。这是一个比较好的结果。直接应用于具体的算例，其中A=400，所以生产商的最优计划产量为400，销售商的最优订购也为400。 得出的两个经济学规律：模型至此并不算完，令人欣喜的是通过对问题（1）的本质分析，可得出两个更好的经济学规律，用此规律可直接解决问题（2）、（3），简洁明了。易知，若生产商生产商品的实际产量不是个随机变量，生产商的最优计划产量与销售商的最优订购量同为市场需求量。这个结果与考虑商品的实际产量的波动性的结果相同，于是稍加思考的人会问“商品的实际产量的随机性影响在哪了？”对（1）进行深入分析会发现，商品实际产量的

10、随机性影响生产商的最优计划产量，这是显然的，只不过我们假设商品实际产量服从以计划产量为期望的正态分布，这样最优计划产量=实际产量的期望=市场需求量。事实上，要想生产商的利润最大，实际产量的期望应该等于市场需求量，而若商品实际产量服从其他分布，则实际产量的期望有可能不等于最优计划产量了，这就是商品实际产量波动性对最优计划产量的影响。但商品实际产量的随机性却没影响销售商的最优订购量！由此我们就得出了一个经济学中的规律（*）：在产业链中，一个成员有随机波动变量X，只要产业链所有成员的利润函数关于X是线性的，则该成员的随机波动性不对其他成员的最优订购量、最优生产量造成影响，而只对自己造成影响。要证明（

11、*）是很简单的，其本质是源于概率论中的期望的性质：E（aX+b)=aE(X)+b.若再进一步，得到（*）的推广式（*）：在产业链中，N个成员的随机变量X1，X2，Xn互相独立（该条件也可减弱为互不线性相关从而更具一般性），且产业链所有成员除含有N个成员的随机变量的任意互相相乘组合（每个组合项中每个成员随机变量仅出现一次）项外的其他项均是关于X1，X2，Xn线性的，则这N个成员的随机性只对自己的最优订购量、最优计划产量造成影响。这个证明也很简单，E（X）（X）E（Y）X，不线性相关(2) 题解法一： 根据假设得，。因为（）题只是在（）题的基础上加入了市场需求的随机性，而现在由M对市场需求的随机性

12、做处理后，再用EA代替（1）中随机期望值模型中的A，为节省篇幅，这里不再具体写出。求解得，生产商的最优计划产量和销售商的最优订购量均为EA。应用到具体算例中，应为EA=400，所以商品生产商的最优计划产量和销售商的最优订购量为400。 解法二： 由于（2）题满足（*）条件，所以两个成员的随机性互不影响对方，又由假设，生产商的商品实际产量服从以最优计划产量为期望的正态分布，市场需求量服从以最优订购量为期望的正态分布，所以各期望可直接被相应的最优计划产量、最优订购量代替，这时的模型已完全可按一般线性规划求解，求解结果为：商品生产商的最优计划产量和销售商的最优订购量为400。 与解法一同，可视为对原

13、理（*）的一个验证。(3) 题解法一：同（1）中a) b) c)相应处理后得到简化了的随机期望值模型：1、 K 二级生产商的利润 AB（K ）GK（MKA)DK一级生产商的利润 HMQX（QM）Y2、 M>=Q>=K 二级生产商的利润 ABAG（QK ）GK（QK ）DK一级生产商的利润 H（）3、 >=K >=Q二级生产商的利润 QKBQK（AQK）CQH一级生产商的利润 HX（）（）求解该线性规划问题，易知：一、二级生产商的最大利润都在Q=M=K 处取得。即生产商的最优计划产量为K ，销售商的最优订购量为K 。直接应用于具体的算例，其中A=280，K=0.7，所以生

14、产商的最优计划产量为400，销售商的最优订购也为400。解法二： 应用规律（*），分析过程同（2）中的解法二，这里不再赘述。在这里再次可看到（*）的正确性。若在（3）的基础上，再加上市场需求量的不确定性，同样假设市场需求量服从以二级生产商最优订购量的K倍为期望的正态分布，则以EA代替（3）中模型的A即可，同（2）。且结果为一、二级生产商的最大利润都在Q=M=K EA。6、 模型的改进与推广1、 模型的改进本论文的基本框架基于随机变量的期望值模型，但是，期望值模型并非总是有效的。因为我们并不总是关心期望收益的最大化，在实际中，我们往往要考虑可靠性，即有利事件发生的概率，并非随机优化的一个平均情况

15、。如，在相同投入的情况下，我们可以选择两种不同的回报方式：以概率1得到100元，或是以概率0.1得到1000元。这两种投资方式在期望值模型下的收益是相同的。但在实际中，不同的投资者有不同的答案。所以有必要再从另一些角度描述此问题。经济学家把市场划分为四种类型：完全竞争市场、垄断性竞争市场、寡头垄断市场和完全垄断市场。其中寡头垄断市场指的是行业中只存在几家相互关联相互作用的企业的情况。在分析寡头垄断企业的均衡问题时需要依据由纳什提出的均衡思想：企业将根据竞争对手的行为进行最佳决策的选择。本题只考虑仅有一家生产商和一家销售商的情况，即双边垄断。博弈论常常被用来解决寡头垄断市场中的各成员的决策问题。所以可从博弈论角度找一种有效的分析方法，其中变量视为离散的，遍历各个情况得出最优纳什均衡解。2、 模型的推广本题的（3）种情况已经包括了单一链中的多级不确定性，很自然的，我们会把问题推