双曲线导学案及答案

1、 2014级高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制：高春芳 审阅：厉强 第二讲双曲线（2课时） 班级 姓名 【考试说明】1.了双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、）2.理解数形结合的思想.3.了解双曲线的简单应用.【知识聚焦】（必须清楚、必须牢记）1双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的_等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做_，两焦点间的距离叫做_.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当_时，P点的轨迹是双曲线；(2)当_时，P点的轨迹是两条射线；(3)当

2、_时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a>0，b>0)1 (a>0，b>0)图形性质范围对称性顶点渐近线离心率实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|_；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|_；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2_ (c>a>0，c>b>0)3实轴和_相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率e是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其方程为x2y2(0).4.巧设双曲线方程 (1)与双曲线1 (a>0，b>0)有共同

3、渐近线的方程可表示为t (t0) (2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn<0)【链接教材】（打好基础，奠基成长）1(教材改编)若双曲线1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为() A. B5 C. D22(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y±2x的是() Ax21 B.y21 Cx21 D.y21 2014级高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制：高春芳 审阅：厉强3(2014·广东)若实数k满足0<k<9，则曲线1与曲线1的() A焦距相等 B实半轴长相等 C虚半轴长相等 D离

4、心率相等4已知F为双曲线C：x2my23m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为_5(教材改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.6. 设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x±2y0，则a的值为() A.4 B.3 C.2 D.17 ()已知0<<，则双曲线C1：1与C2：1的() A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等8. 已知曲线方程1，若方程表示双曲线，则的取值范围是_.【课堂考点探究】探究点一双曲线定义的应用例11.已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2

5、相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_ 2. 设P是双曲线上的一点，F1F2分别是双曲线的左右焦点，若为() A.1 B.17 C.1或17 D.以上答案均不对总结反思 探究点二双曲线的标准方程的求法例21.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)经过两点P(3,2)和Q(6，7)2 .()已知双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1 总结反思 变式题 (1)(2015·课标全国)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y±x，则该双曲线

6、的标准方程为_(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_探究点三双曲线的几何性质例3(1)过双曲线1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若2，则此双曲线的离心率为()A. B. C2 D. 2014级高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制：高春芳 审阅：厉强(2)(2015·山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C

7、2的焦点，则C1的离心率为_总结反思 变式题(1)(2015·重庆)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A± B± C±1 D±(2)(2015·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a，b，e1<e2 B当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2C对任意的a，b，e1>

8、;e2 D当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2探究点四直线与双曲线的综合问题例4(1)(2015·四川)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于() A. B2 C6 D4(2)若双曲线E：y21(a>0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点求k的取值范围；若|AB|6，点C是双曲线上一点，且m()，求k，m的值总结反思变式题已知双曲线C的两个焦点分别为F1(2,0)，F2(2，0)，双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过

9、点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；(3)已知定点G(1,2)，点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|DG|的最小值 2014级高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制：高春芳 审阅：厉强【课后作业】1(2015·广东)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为() A.1 B.1 C.1 D.12设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为() A. B. C2 D33(2014·江西)过双曲线C：1的右顶点作x轴的

10、垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为() A.1 B.1 C.1 D.14(2015·课标全国)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是() A. B. C. D.5已知椭圆1 (a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线1 (a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2.则e1e2等于() A. B1 C. D26已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q

11、为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则PQF的周长为_7已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，椭圆1的焦距等于4，则n_.8若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为_9(2014·浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_10已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点 (1)求双曲线C

12、2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围 双曲线 参考答案【基础回眸】1答案A解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2答案A解析由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x21的渐近线方程为y±2x，故选A.3答案A解析因为0<k<9，所以两条曲线都表示双曲线双曲线1的实半轴长为5，虚半轴长为，焦距为22，离心率为.双曲线1的实半轴长为，虚半轴长为3，焦距为22，离心率为，故两曲线只有焦距相等故选A.4解析双曲线C的标准方程为1(m>0)，其渐近线方程为y±

13、x，即y±x，不妨选取右焦点F(，0)到其中一条渐近线xy0的距离求解，得d.51解析设双曲线的方程为±1(a>0)，把点A(3，1)代入，得a28，故所求方程为1.6.C解：由双曲线方程可知渐近线方程为y±x，又a0，可知a2.故选C. 7.D解：易知双曲线C1实轴长为2cos，虚轴长为2sin，焦距为2，离心率为；双曲线C2实轴长为2sin，虚轴长为2sintan，焦距为2tan，离心率为，又0<<，所以sincos，tan1，综上知两双曲线只有离心率相等.8.(，2)(1，).解：方程1表示双曲线， (2)(1)0，解得2或1. 【典例精讲

14、】例1 1.x21(x1) 2.B1.解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)例2解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a>0，b>0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标

15、准方程为1或1.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn>0)解得双曲线的标准方程为1.2.A解：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线yx与直线y2x10平行，2.又双曲线的一个焦点在直线l上，2c100，c5.a2b2c225.将b2a代入上式得a25，b220，故双曲线的方程为1.变式答案(1)y21(2)1解析(1)由双曲线渐近线方程为y±x，可设该双曲线的标准方程为y2(0)，已知该双曲线过点(4，)，所以()2，即1，故所求双曲线的标准方程为y21.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|8.由双曲线的

16、定义知：a4，b3.故曲线C2的标准方程为1.即1.例3答案(1)C(2)解析(1)如图，2，A为线段BF的中点，23.又12，260°，tan 60°，e21()24，e2.(2)由题意，不妨设直线OA的方程为yx，直线OB的方程为yx.由得x22p ·x，x，y，A.设抛物线C2的焦点为F，则F，kAF.OAB的垂心为F，AFOB，kAF·kOB1，·1，. 设C1的离心率为e，则e21.e. 变式答案(1)C(2)B解析(1)如图，双曲线1的右焦点F(c,0)，左，右顶点分别为A1(a,0)，A2(a,0)，易求B，C，则kA2C，kA1

17、B，又A1B与A2C垂直，则有kA1B·kA2C1，即·1，1，a2b2，即ab，渐近线斜率k±±1.(2)e1 ，e2 .不妨令e1<e2，化简得<(m>0)，得bm<am，得b<a.所以当b>a时，有>，即e1>e2；当b<a时，有<，即e1<e2.故选B.例4(1)答案D解析右焦点F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y±2，A(2,2)，B(2，2)，|AB|4.(2)解由得故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，

18、y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直线与双曲线右支交于A，B两点，故即所以1<k<. 故k的取值范围是k|1<k<由(*)得x1x2，x1x2，|AB|·26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1<k<，k，所以x1x24，y1y2k(x1x2)28.设C(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)点C是双曲线上一点80m264m21，得m±.故k，m±.变式答案 解(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a1，半焦距为c2，所以其虚半轴长b.又其焦点在x轴上

19、，所以双曲线C的标准方程为x21.(2) 设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减，得3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为M(2,1)为AB的中点，所以所以12(x1x2)2(y1y2)0，即kAB6，故AB所在直线l的方程为y16(x2)，即6xy110.(3)由已知，得|DF1|DF2|2，即|DF1|DF2|2，所以|DF1|DG|DF2|DG|2|GF2|2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号因为|GF2|，所以|DF2|DG|2|GF2|22，故|DF1|DG|的最小值为2.【必做题】1C解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率

20、为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为1，故选C.2答案B解析设双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y±，故|AB|，依题意4a，2，e212，e.3答案A解析由得A(a，b)由题意知右焦点到原点的距离为c4，4，即(a4)2b216.而a2b216，a2，b2.双曲线C的方程为1.4答案A解析由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)·<0，(x0)(x0)y<0，即x3y<0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y<0，<y0<.故选A.5答案B解析由ba1c1，得aca1c1，e1.由ba2c2，得caa2c2，e2.e1e2×1.6答案44解析由双曲线C的方程，知a3，b4，c5，点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|QA|PA|4b16，由双曲线定义，得|PF|PA